S III

Prenons un cylindre vertical, ayant pour section droiu un cercle G; traçons sur ce cylindre une hélice H j divisons le cercle G en un certain nombre de parties égales entre elles, et marquons les points de division des numéros i ^ 2, 3, 4 , etc. r par ces points concevons les génératrices G', G', G\ GS etc. , du cylindre, lesquelles couperont Thélice H en les points m\ m% in , m% etc. ; enfin , en ces derniers points construisons les tangentes t\ i', i", l^, etc., de l'hélice H.

Toutes ces tangentes seront les génératrices d'une surface développable D, ayant pour arête de rebroussement l'hélice H , surface à laquelle les géomètres ont donné le nom d'hélicaide développable*

Concevons maintenant un second cylindre concenlrique au premier, et coupant la surface D suivant une hélice H'. Cette nouvelle hélice rencontrera les génératrices!', t\ l", t\ etc., en les points n, n% n% n\ etc., et les portions des génératrices de la surface D , comprises entre les deux cylindres , seront égales entre elles.

Si par les divers poinis n\ n\ n\ n\ etc., Ton fait passer des plans perpendiculaires à Taxe des deux cylindres, l'on aura pour courbes de section, sur la surface D, des développantes de l'hélice H , lesquelles seront des courbes identiques , et qui ne seront autres que les développantes respectives des sections circulaires obtenues dans le cylindre, ayant pour base le cercle G, par ces mêmes plans parallèles et équidistants entre eux.

Désignons par N' la développante qui passe par le point n' ; par N' celle qui correspond au point n% et ainsi de suite.

Comme les courbes M', N% N', N^ etc., sont équidistantes, leurs origines seront situées sur l'hélice H, en des points p\ p\ p% p\ etc., qui détermin^ont des divisions égales sur cette hélice H, et leurs projections sur le cercle G donneront aussi sur celte courbe des divisions égales.

Gela posé :

Si Ton considère la génératrice f^, elle sera coupée par les développantes N', N% N' en les points r*, r\ r*, qui seront également distants entre eux et du point n*.

Il est bien évident , d'après ce qui précède, que les rayons de courbure de la surface D sont tous égaux entre eux pour les divers points de Thélice H', et que

les angles formés par les diverses génératrices r,r, f,!*, l*,!^, sont aussi égaux entre eux ; par conséquent, les rayons de courbure de la surface D, pour les

lîivers poibts r, r^^ r*, r*, de la génératrice t\ seront proportionnels aux dislances tle ces points au point mV Les centres de courbure correspondant à cette génératrice seront donc tous distribués sur une droite passant par le point m^ de l'hélice H.

Démontrons maintenant que la surface réglée, lieu des centres de courburic minimum de Vhélicaide développable ^ n'est aulre que le cylindre sur lequel se trouve située Thélice circulaire arête de rebroussement de la surface.

Concevons une génératrice G du cylindre à base circulaire et un plan tangent à ce cylindre suivant cette génératrice; ce plan contiendra une génératrice i de la surface hélicdidej laquelle coupera G en un point m situé sur Thélice H, arête de rebroussement de Vhélic<nde. Prenons un point n sur la droite t, et par ce point faisons passer un plan perpendiculaire à la droite G ; il coupera cette droite G en un point p, et la surface /lé/icoide suivant une développante circulaire, qui aura son rayon de courbure r, pour le point n, égal à np.

Concevons maintenant le cylindre de révolution osculateurà Vhélicoide au point n de la génératrice f, et désignons par p le rayon de sa base circulaire ; p sera le rayon de courbure minimum de la surface hélioAde pour le point n.

Gela posé :

Le plan de la développante coupera le cylindre osculateur suivant une ellipse osculatrice par son sommet au point n de la développante , son grand axe dirigé

suivant r sera a=-^ (désignant par a l'incUnaison de l'hélice H sur la droite G),

et son petit axe sera 6£=3p«

Or , pour le sommet n de cette ellipse on aura :

eos« d'où

COSa

Par conséquent le rayon de courbure de Vhélicdide pour le point n est égal à la partie de la normale, comprise entre ce point et la génératrice G. Désignant par q le point en lequel la normale coupe la droite G, on aura nq=p.

Tous les centres de courbure de la surface hélicaUte pour les divers points de sa génératrice i seront donc distribués .sur la droite G.

On peut donc énoncer le théorème suivant i

Le lieu ies centres de courbure mnimum de fhéticmde développable ayant pour arête

de rebrousuemeni mue hélice circulaire , est le cylindre $ur lequel cetie hélice se trouve tracée.

Le cône de révolution engendré par la rotation d'une génératrice t de ta snrfixce hélicoideautour de la génératrice du cylindre^ laquelle la coupe sur F hélice arête de rebrous* sèment , est oscviaXeur à ta ssrface tout le long de cette génératrice I.

Les cônes ogeulaleurs à la surface hélicoide suivant ses diverses génératrices droites sont tous égaux, puisque Tinclinaison de Thélice arête de rebroussement sur les génératrices du cylindre est constante.

Remarquons en outre que le cûne oblique, qui aurait son sommet au point m de rhélice H , et pour base le oerde tracé dans le plan mené perpendiculairement à la droite i par le point n^ et décrit du point q comme centre avec le rayon nq=^j serait encore ûscolaieur à la sorftice au point n, et en tons les autres points de la génératrice t ; tous les cônes obliques et oseulateurs seront égaux entre eux.

Démontrons maintenanjt qu'un théorème analogue peut ôtre énoncé pour une surface développable , quelle que soit son arête de rebroussement.

Étant donnée une surface développable D et son arête de rebroussement A , traçons sur cette surface la courbe B développante de A.

L^on sait que la surface D', enveloppe des pbns normanx à la courbe B , est une surface développable sur laquelle se trouve située la courbe A , et que cette courbe A est une hélice sur cette surface D\ ( Voir la fin du Traité 4e géométrie descriptive de Monge. )

Désignons par m un point de la courbe A , par t la génératrice droite de la surface D passant ce point, et par 6 la génératrice de la surlace D' passant par le même point.

Désignons par n le point en lequel la dr<Me t coupe la développante à double courbure B.

En vertu de ce qui a été dit ci-dessus , si au point n on construit le plan P osculateur de la courbe B , il sera perpendiculaire à la droite G , et il coupera cette droite en un point p qui sera le centre de courbure de la courbe B pour le point n.

Le plan R qui passera par les droites t et G sera normal à la courbe B, tangent à fa surface D' suivant G et normal à la surface D suivant i.

Je mène par le point n et dans ce plan R une droite N perpendiculaire à la droite i, et qui coupera la droite G au point q.

Gela posé :

Si je désigne par p le rayon de courbure minimum de la surface D pour le point n j le rayon de courbure sera dirigé suivant la normale N ; et si je désigne par r le rayon de courbure de la courbe B pour le même pointu, on aura rssnp.

Concevons maintenant le cylindre de révolution oaculaleur à la surface D au point n : le plan P coopéra ce cylindre auivant une ellipse oaculatrtce en son som* met à la courbe B pour le point n ; et Ton voit que Ton est conduit aux calculs précédents , et par conséquent à des résultat» indentiques à ceux énoncés pour la surfoce héliçoide développable.

Seulement , tous les cônes de révolution oscuiateurs ne seront pas égaux , parce que l'angle que les droites l et G font entre elles ne sera pas constant , puisque Tinclinaison de la courbe A sur les diverses génératrices de la surface D' n'est pas constante ; de même aussi tous les cônes obliques oscuiateurs ne seront pas égaux entre eux.

Cherchons quel serait le lieu des points de la surface D pour lesquels les rayons de courbure seraient égaux entre eux.

Désignons par L la distance des deux points m* et n de la droite t, et par « Tangle des deux droites tel G.

Prenons sur la courbe A un autre point m', pour lequel on aura la génératrice i' de la surface D et la génératrice G' de la surface D\ l'angle des droites t' et G' étant d'ailleurs désigné par a*^ prenons sur la droite i' un point n', et désigne^ par p le rayon de courbure de la surface D pour ce point, et par U la distance nW.

On a évidemment :

tang « = £• ; tong a' = £j.

11 faudra d(HEic, pour que p=p', que l'on ait l'équation :

L tang a =s U tang oJ

Par conséquent , il faudra prendre sur les génératrices de la surface D , à partir de l'arête de rebroussement A , des longueurs qui seront entre elles dans le rapport inverse de celui des tangentes des angles que cette courbe A fait avec les génératrices homologues de la surface D", et les points ainsi déterminés seront ceux pour lesquels la surface D aura des rayons de courbure minimum égaux entre eux.

Si a^=a', on voit que L=iV; par cooséqu^t toutes les fois que la surface D' sera une sur&ce cylindrique. Y ayant pour section droite une courbe v, le lieu des points cherchés sera la courbe intersection de la surface D et d'un cylindre Y' ayant pour seetion droite une courbe v' telle que les parties des tangentes menées a la courbe t; , et interceptées entre les deux courbes vetv\ seront toutes égales entre elles.

Si donc la courbe v est un cercle, la courbe v^ sera un cercle concen-

trique au premier ; ce qui confirme le résultat auquel nous étions parvenu directement pour la surface liétiçolde déveioffpable ayant pour arête de rebroussement une hélice circulaire.

Les diverses propriétés que je viens de démontrer pour les surfaces développaUes étaient connues, mais le mode de démonstration que j'ai employé diffère de celui dont on s'est servi jusqu'à présent.

§ IV

On peut démontrer directement la propriété dont jouissent les plans oscula-' leurs des hélices tracées sur une surface développable générale, en employant les considérations géométriques qui nous ont servi dans le cas où Ton considérait une hélice tracée sur un cône du deuxième degré (*).

Remarquons que le théorème sur les plans osculateurs des hélices tracées sur une surface développable est le réciproque du théorème démontré par Monge à la fin de son Traité de géométrie descriptive , savoir, qu'tme courbe à double courbure a une infittté de développées situées sur une surface développable , enveloppe de C espace parcouru par un plan normal à la courbe donnée , et que toutes ces développées sont des hélices.

DE LA COVRBURC ET DE LA FLEXION d'uHE COURBE A DOUBLE COURBURE (**).

RSSITMS.

Lorsqu'on veut déterminer Tinclinaison d'un élément d'une courbe plane ou à double courbure, par rapport à une droite ou à un plan ayant une position déterminée, on compare la courbe à une ligue ayant une inclinaison constante en chacun de ses points, et c'est ainsi que l'on est conduit à comparer une courbe à

(*) Voyei chap. Ul de cet ourrage le rémmë du mémoire pnblië flous le n* 2.

(*7 Communiqué à la Société Philomalhique, séance du 38 mars 1835 , et extrait du 24* cahier du Journal de TÉcole Polytechnique.

sa tangente , lorsqu'il s'agit de rinelinaisond'un élément de la courbe ou de la direction d'une courbe en un de ses points.

Lorsqu'on veut déterminer la courbure d'une courbe plane ou à double courbure, on la compare à une courbe ayan#une courbure constante, et comme le cercle est la seule courbe plane qui jouisse de cette propriété, c'est au cercle que Ton compare la coaii)e donnée, et c'est ainsi que l'on est conduit à comparer une courbe à son cercle osculateur, lorsqu'il s'agit de la courbure d'une courbe en un de ses points.

Pour une courbe à double courbure^ on devrait atissi, pour déterminer en même temps sa courbure et sa flexion en un point , la comparer à une courbe ayant une courbure constante et une flexion constante.

On serait donc conduit à la comparer à une hélice cylindrique circulaire qui

jouit en effet de cette double propriété et dont l'équation différentielle est -^= P

(c représentant Tangle de contingence, / Tangle de flexion et P une quantité constante ).

A la première vue on serait porté à croire que l'on peut toujours construire une hélice cylindrique circulaire ayant un contact du troisième ordre avec une courbe à double courbure ; puisque l'on peut évidemment construire une hélice circulaire ayant même angle de contingence et même angle de flexion que ceux qui existent en un point d'une courbe à double courbure.

Cependant, ce contact du troisième ordre, en général, ne peut exister; en effet, supposons deux courbes à double courbure B et D ayant un point commun m. Pour que ces deux courbes aient un contact du troisième ordre en ce point m, il faut que leurs projections sur deux plans des coordonnées aient aussi un contact du troisième ordre. Comme ces projections auront sur l'iui et l'autre plan un point commun , on aura pour chaque plan trois équations de condition , par conséquent les équations de la courbe D devront renfernoer six constantes arbitraires.

Supposons maintenant que la courbe D soit une hélice cylindrique et circulaire ; nous pourrons placer dans l'espace l'axe du cylindre de l'hélice ; les équations de cet axe renfermeront quatre constantes arbitraires, et comme Thélice et la courbe 6 ont un point commun, il s'ensuit que le rayon du cercle section droite du cylindre se trouve déterminé ; Thélice sera donc complètement déterminée si l'on se donne son inclinaison ou son pas.

Ainsi* , les équations de l'hélice circulaire ne renfermeront que cinq constantes. Cette courbe ne pourra donc avoir une osculation du troisième ordre avec la courbe B.

Toutefois y comme il suffit, en géoméirie, pour se faire une idée, nette de la courbure et de la flexion d'une courbe à double courbure B en un de ses points , de connaître une courbe D à courbure et à flexion constantes, et ayant même courbure et même flexion que la couvlp donnée B, sans qu'il soit besoin que les deux courbes B et D aient uneosculation du troisième ordre, il sera toujours commode et facile de comparer une courbe à double courbure à une hélice circulaire.

Ainsi , la double courbure d'une courbe sera bien connue lorsqu'on connaîtra son rayon de courbure et son pas (appelant pas d'une courbe à double courbure le pas de rbélice circulaire H qui a même courbure et par conséquent un contact du deuxième ordrç avec elle , et aussi même flexioa que cette courbe).

Toutefois, pour mieux définir encore la double courbure d'une courbe, on devra donner son rayon de courbure ^ son pas, et le.ro^on de la sphère ayant un contact du troisième ordre avec elle; et le rayon de cette sphère osculatrice du troisième ordre pourra prendre le nom de rayon de flexion de la courbe (puisque le centre de eetle sphère osculatrice est l'intersection de trois plans normaux successifs^ et que sa position dans l'espace dépend dès lors de la flexion de la courbe).

Cependant on peut laisser à l'expression y le nom de rayon de flexion ^ ainsi que l'expression — a reçu celui de rayon de courbure.

Plus loin,' on verra que désignant y par r et — par p, on a toujours -=tanga

(a étant l'angle sous lequel Thélice circulaire H coupe les génératrices du cylindre

de révolution sur lequel elle est tracée).

c r En chaque point m d'une courbe à double courbure, on a: ^=:-, de sorte que

les rdiyons de flexiwi et de courbure p^ur un point m d'une courbe à double xM)ur« bure sont dans un rapport inverse de celui des angles de contingence ei deftexkm <iui excistent au même point deeelte courbe; ou mâeux , le produit du rayon de courbure et de Tangiede contingence est égal au produit du rayon de flexion et de l'angle de flexion,

Maispius loîn^on d^oittreraque pourehaquepeintm d'une courbe àdouble

courbuteon a toujours -;=rtànga( a étant l'inclinaison de Inélice cylindrique

circulaire ayant un contact du second ordre au point m de la courbe donnée).

Ainsi, en. résumé, la double courbure d'une courbe sera déterminée en chacun de ses points :

i "" Par so» roiyon de courbure : — = p ; .

ds

2* I^r son rayon deflèanon : -^ ^r=p . tanga ;

S'' Par le' rapport qui ejLÎate entre Tangle à% contingence et « Tangl» Aeflwkm :

^=(anga;

4* Par son pas^ qui sera celui d'une hélice circulaire H ayant un conlact du <leuxième ordre avec cetle courbe proposée :

( a étant Tangle sous lequel cetle hélice coupe les génératrices du cylindre sur lequel elle est tracée) ;

&" Par le rayon de la sphère osculatrice du troisième ordre, ou en d'autres termes, ayant un contact du troisième ordre avec la courbe donnée.

&"" Enfin, si Ton voulait construire une courbe ayant un contact du troisième ordre avec la courbe proposée , et ayant deâ angles de contingence et defleanon constants, on verra que cela est toujours possible, et que cette courbe sera la développante d'une des développées de diverses hélices circulaires ayant même inclinaison que rhélice H. De sorte que l'on peut construire une infinité de courbes à angles de contingence et de flexion constants et jouissant de la propriété d'avoir un contact du troisième ordre en un point d'une courbe à doid>te courbure donnée.

Sans doute j'aurais pu donner à ce Mémoire une forme.autre que celle qu'il a.

J'aurais peut-être dû montrer sur-le-champ que l'expression -r avait une traduction géométrique.

Ainsi, désignant par p l'expression — (rayon de courbure) , par r l'expression y ( nommée rayon de flexion ) , on voi t de suite que

, Si donc -^ a une représentation géométrique constante pour toutes les courbes,

le rayon de réflexion aura aussi une représentation géométrique tQUt «onime le rayon de courbure, qui, comme on le sait, est le rayon du. cercle ^osculat eu r.

Or, pour l'hélice cylindrique circulaire, c et / sont conataMs^ donc ^ est

constant. Et l'on peut toujours évidemment construire une hélice circulaire .ayant ses angles de contingence et de flexion respectivement égaux à ceux qui existent en un point d'une courbe à double courbure donnée.

Il suffisait donc de démontrer que: ^=tanga, pour l'hélice circulaire (autant

raogle sous lequel cette hélice coupe les génératrices du cylindre de révolufioB sur lequel elle est tracée ) .

La marche que je viens de tracer serait celle que Ton devrait suivre, sans contredit, dans un traité; mais il me semble qu'un mémoire doit être écrit dans un tout autre esprit ^ car il n'est pas sans intérêt, et peut-être n'est-il pas sans utilité, de connaître la série des idées qui ont conduit nécessairement aux divers résultats obtenus. C'est pourquoi j'ar laissé à ce Mémoire la forme que des recherches successives ont dû nécessairement lui donner.