DISCUSSION

N* 1. Au rayon de flexion des courbes à double courbure.

Les courbes à double courbure a'ont en chacun de leurs points qu'un seuf rayon de courbure absolue. Ce rayon dépend de l'angle de contingence, angle

formé par deux tangentes successives. On sait que ce rayon est égal à — (en désignant par ds l'élément de la courbe , ei par c l'angte de contingence).

Par analogie, les géomètres ont désigné par -r le rayon de flexion (/représentant Tangle de flexion, angle formé par deux plans osculateurs successifs) ; mais il parait que jusqu'à présent ils n'ont pas songé à interpréter géométrique * ment cette expression analytique.

M. Fourier a remarqué que l'arête de rebroussement A de la surface enveloppe des plans normaux d'une courbe D , avait ses angles de contingence respectivement égaux aux angles de flexion de cette courbe D. (M. Lacroix a con* signé cette remarque dans la V^ édition de son Traité élémentaire de calcu différentiel et intégrât, page 236. )

Mais la remarque ingénieuse de M. Fourier ne peut conduire à construire une ligne qui puisse être prise pour le rayon de flexion d'une courbe à double courbure; car cette remarque ne paraîtrait devoir conduire qu'à ce résultat, savoir : que le rayon de eourbure de l'arête de rebroussement A de la courbe D sera le rayon de flexion de cette courbe D , ce qui ne peut être admis.

/lu

Le rapport -T ne donne pas non plus une idée nette du rayon de flexion , car

cette expression n'a pas encore été traduite en géométrie.

Pour se feire une idée exacte de la courbure d'une courbe plane en ses divers

points, on l'a comparée à une courbe ayant une courbure constante en chacun de ses points, ainsi on l'a comparée au cercle, la seule courbe plane qui jouisse de cette propriété remarquable.

Pour les courbes à double courbure, ne pourrai l-on pas suivre une marche analogue et comparer, dès lors, en même temps la courbure et la flexion d'une courbe à double courbure de forme arbitraire, à une courbe à double courbure ajant une courbure et une flexion constantes^ c'est-à-dire ayant en chacun de ses points même angle de contingence et même angle de flexion?

Il existe en effet une courbe à double courbure jouissant de cette propriété remarquable, laquelle la place parmi les courbes à double courbure au même rang que celui occupé par le cercle parmi les courbes planes. Cette courbe est l'hélice cylindrique circulaire (désignant ainsi l'hélice tracée sur un cylindre ayant pour section droite un cercle).

La courbure d'une courbe à double courbure D dépend de deux éléments successifs; par conséquent son rayon de courbure p dépend de deux plans normaux successifs N', N".

La flexion d*une courbure à double courbure D dépend de trois éléments suc^ cessifs , par conséquent le rayon de flexion R doit dépendre de trois plans normaux successifs N', N", N'".

Les centres de courbure d'une double à double courbure D sont distribués sur la droite T,,, intersection des deux plans normaux successifs N', Nf'. (Une courbe à double courbure a une infinité de centres de courbure et dès lors une infinité de rayons de courbure.)

Pour pouvoir comparer entre elles les courbures des courbes , on prend le rayon de courbure minimum ^ rayon auquel on a donné le nom de rayon de courbure absolue. Dès lors le centre de courbure absolue d'une courbe à double courbure D est le point o, intersection de son plan osculateur et des deux plans normaux N' et N", ou en d'autres termes, intersection de la droite IV et du plan osculateur de la courbe D au point m, pour lequel on désire connaître la courbure de cette courbe D.

Le pointu, intersection des trois plans normaux successifs- N', N", N'", est un des points de l'arête de rebroussement A de la surface enveloppe des divers plans normaux de la courbe D. Gela posé, pour les hélices cylindriques, on sait que la courbe 9 lieu des centres de courbure ^ et que la courbe A arête de rebroussement de la swrface enveloppe des plans normaux, se confondent en une seule et même courbe»

On sait encore que l'arête de rebroussement A ^t une hélice cylindrique. Enfin, désignant par H l' hélice cylindrique donnée, par 6 l'angle qu'elle fait avec le

I)lan P de section droite du cylindre V sur lequel cette hélice est tracée , par h l'hélice lieu des centres de courbure , par 6' Tangle d'inclinaison de celte. hélice h sur le pian P ; on sait que les angles 6 et 6' sont compléments Tun de Tàutre ,et que riiélice h est tracée sur un cylindre v ayant aussi le plan P pour plan de section droite.

Si l'hélice H est une hélice cylindre circulaire, l'hélice /isera aussi une hélice cylindrique et circulaire tracée sur un cylindre concentrique à celui qui contient la courbe H.

Si rhélice If est une hélice cylindrique circulaire inclinée à 45*, Thélice h sera une hélice cylindrique circulaire inclinée aussi à 45% et dans ce cas les deux hélices H et /i seront des courbes identiques , car elles seront tracées sur le même cylindre.

On sait encore que tous les rayons de courbure de Thélice H sont, parallèles au plan P, et forment une surface gauche engendrée par une droite se mouvant parallèlement au plan P, en s'appuyant sur les deux hélices H et h.

On sait enfin que les deux hélices H et A sont réciproquement le lieu de leurs centres de courbure.

Si l'hélice H est une hélice cylindrique circulaire, tous ses rayons de courbure sont égaux. Dès lors il est évident que pour cette courbe l'angle de contingence est constant, et en vertu de la remarque de M. Fourier, Tangle de flexion est aussi constant.

En vertu des propriétés dont jouissent les hélices cylindriques , et que nous venons d^ énoncer ci-dessus, il est facile de résoudre sur-le-champ la question proposée et de reconnaître sur-le-champ qu'il est , en général , impossible de construire une hélice cylindrique (cirmlaire ) , pouvant avoir un etmtact du troisième ordre avec une courbe à double courbure. Car pour pouvoir, ^fi même temps, comparer la caurbureet Inflexion d'une courbe à double courbure D à la courbure et \zfleaA&n d'une hélice cylindrique H , il faut , puisque la flexion dépend de trois éléments successifs , pouvoir établir entre les deux courbes D et tt un contact du troisième ordre.

En eflet , puisque pour toutes les courbes à double courbure autres que les hélices cylindriques, les courbes V lieu des centres de courbure, et 2* ariie de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux , sont distinctes, séparées Tune de l'autre, il est impossible qu'une hélice cylindrique et une couribe à double courbure aient entre elles un contact du troisième ordre.

De ce qui précède , on peut établir comme conséquence ce qui suit :

Pour qu' une hélice cylindrique H ait un contact du troisième ordre avec la courbe à double courbure D, il faut que les courbfes H et D aient deux rayons de courbure

sucées^ifs ridspeclivement égaux ^ et deux plans osculaleurs successifs communs.

On sait que les rayons de courbure d^une hélice cylindrique sobt tous parallèles au plan de section droite Pdu cylindre V sur lequel elle est tracée; donc le cylindre stir lequel rbélice cherchée devra être tracée , devra avoir ses génératrices perpendiculaires à un plan P parallèle aux trois rayons de courbure successifs p^ p', p ', de b courbe D. Mais les rayons de courbure d'une courbe à double courbure forment, jen général , une surface gauche qui n'a ps.de plan directeur ; ainsi , en général , on ne pourra pas construire le plan P; donc, etc.

Mais si les trois rayons de courbure successifs p, p', ^'\ de la courbe donnée D , sont parallèles à un plan P, alor^ on pourra construire une hélice cylindrique H ayant un contact du troisiènoe ordre avec la courbe D ^ et le plan P sera le plan de section droite du cylindre sur lequel rhélice osculatrice H devra être tracée. Et Ton aura évidemment alors une infinité d'hélices osculatrices, car on pourra projeter orthogonalement la courbe D sur le plan P, et construire une infinité de courbes ayant un contact du troisième ordre avec sa projection et chacune de ses courbes osculatrices sera la base d'un cylindre ayant un contact du troisième ordre avec la courbe D.

Si des trois rayons p, p', p", parallèles au plan P^ deux p et p' sont égaux enlre eux, alors l'hélice H sera circulaire , parce que l'on pourra construire sur le plan P un cercle ayant un contact du troisième ordre avec la projection de la courbe D sur ce plan P.

Puisqu'on ne peut pas établir un contact du troisième ordre enlre une courbe à double courbure et une hélice cylindrique circulaire, et de ce que l'on ne connaît pas jusqu'à présent de courbe à double courbure, ayant un angle de contingence constant et un angle de flexion constant « autre que l'hélice cylindrique circulaire, on est tout naturellement amené à comparer une courl)e à double courbure à une surface de courbure constante , et par conséquent à la sphère.

Puisque la flexion d'une courbe à double courbure D dépend de trois éléments successifs, le point n intersection de trois plans nornaus succeâsifs N', N", N'", est donc lié à Inflexion de cette courbe , de la même manière que 'e point intersection de deux normales successives d'une courbe plane, se trouve lié à la courbure de cette courbe plane.

Dès lors il me semble que (par analogie) Fou doit regarder l'arête de rebroussement A de là surface enveloppe des plans normaux de la courbe D, comme le lieu des centres ^de flexion deœite eoorbe , et désigner par rayon de flexion le rayon de la sphère qui aj^nt son centre au point n , passera par le point m de la courbe D ; cette sphère aura un contact du troisième ordre avec la courbe D. Ainsi

la courbe A sera le li«u des centres de toutes les sphères ayant un contact du Iroi* sième ordre avec la courbe donnée D.

En admettant celte définition du rayon de fiemoa d'une courbe à double courbure, on aurait entre les rayons de courbure et deflexmn j les centres de cowrbuTe et de flexion i les relations suivantes (*) :

i** Les courbes lieu des centres de courbure et de flexion ne seront, ni Tune ni lautre, une développée de la courbe proposée, et les rayons de fiemm (tout comme les rayons de courbure) formeront une surface gauche.

2"" Lorsque pour un point de la courbe D, Tangle de flexion est nul , Tarète de rebroussement A a son point homologue situé à Tinfini ; dans ce cas, le rayon de flexion est infini. Bien effet la sphère osculatrice du troisième ordre devient dans ce cas un cylindre.

3* Lorsque le rayon de courbure en un point d'une courbe à double courbure devient infini, Tangle de flexion devient nul; et en effets la sphère osculatrice du troisième ordre devient dans ce ca^ un plan (qui ne sera autre que le plan osculaieur de la courbe en ce point singulier ).

4* Lorsque le rayon de courbure est nul , le rayon de flexion doit être nul \ et en effets dans ce cas, la sphère osculatrice se réduit à un point.

On peut trouver une relation simple entre le rayon de courbure et le rayon de flexion d'une courbe à double courbure.

Fig. 42. La sphère osculatrice du troisième ordre passant par les deux cercles osculateurs , successifs , et ayant p el p' pour rayon respectif, on voit que Ton devra chercher le diamètre R du cercle passant par les trois points a, fr , c, les Kgnes ab çioc étant, la première égale à p', et la seconde égale à p , et toutes deux comprenant entre elles Tangle de flexion/.

( Le diamètre R sera le rayon de la sphère osculatrice. )

On aura donc :

Rco6u> = p et Rco6W = p' et comipe (m = ca -^ /, on aura :

jR (cot^ cm/ — tin«» sin/) =zfj

et comme