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6in«»:7 V^ 1 — OW*»
(*) Jusqu'à la fin de eet artiele , ou doit ee rappeler qae c'est le rayon de la aphère oscnlatriee du
troisième ordre , que l'on désigne par rayon de flexion ; dans les articles suiranU , Ton emploiera
d# eette locution , consacrée par l'usage^ pour désigner l'expression analjrtiqne y.
on aura :
substiiuant^ on aura :
d'où Ton tire
c08«==- et sinu) = 55
f ooaf—nnfV'H'—f = p'
sin^
mais coroine p et p' sont deux rayons de courbure infiniment voisins , on doit poser p'c=3 p -|- dp.
Après les réductions, on trouve :
|/2ç(p+dp)(l-~co6/) + d^
cette expression montre sur-le-champ que ,
1* R est infini pour p=:oo ;
2* R;=0 pour p=0( car dp est nul lorsque p=:0);
3* R est infini pour sin/=0 ou/c=3 0, c'est-à-dire lorsque Tangle de flexion est nul.
( On ne peut pas supposer cos/=:0 , parce que Tangle de flexion est toujours infiniment petit et qu'il n'existe pas de poini singulier dans les courbes à double courbure, pour lequel deux plans osculateurs successifs soient à angle droit.)
Gomme/ est toujours infiniment petit , on pourra remplacer le sinus par Tare, el l'expression du rayon de flexion deviendra :
B y'Mp+dp)[i -Vi-n + d^'
Il suffira de remphcer dans cette expression, p, dp et/ par leurs valeurs en fonction des dérivées successives des équations de la courbe à double courbure (valeurs qui sont connues), et l'on aura la valeur de R exprimée en fonction des coordonnées du point considéré sur la courbe donnée.
La valeur de l'angle qd que les rayons de courbure et de flexion R font entre eux est donnée par :
On voit de suite que deux courbes à double courbure D et D' ayant un point
commun , peuvent avoir |)Our ce point des rayons de courbure égaux et des rayoM de sphère osculatrice du troisième ordre différents, ou dés rayons de courbure différents*et des rayons de sphère osculatrice du troisième ordre égaux, et que dès lors elles ne pourront avoir en ce point un contact du troisième ordre, qu'autant qu'elles auront même rayon de courbure et même rayon de sphère osculatrice du troisième ordre.
Il me parait que la courbure et la flexion d*uiie courbe à double courbure se trouvent complètement déterminées par le rayon de courbure et le rayon de la sphère osculatrice du troisième ordre.
N* 2. De la relation qui existe enire les angles de contingence et de flexion dCune hélice
cylindrique.
Fig. 43. Supposons deux courbes planes B et B' ayant même développée d; ces deux courbes sont diies courbes parallèles.
Nous désignerons par points homologues des courbî^ B et B' •ceux- qui -comme m et n seront situés sur utie normale commutae.
H est évident que pour les courbes parallèles, st-l'on marche sur la courbe B à partir du point m et en même temps sur la courbe B' à partir du point homologue n, on pourra marobcâr de deux manières difiEérentes.
i"" En prenant des angles de contingence égaux, et dès lors les arcs ds de Bet ds de B' seront entre eux comme les rayons de courèure mors p et tto =s p'.
2* En prenant des arcs ds sur B et ds' sur B' proportionnels aux rayons de courbure p et p', et dès lors on aura des angles de contingence égaux.
Fig. 44. Mais si Ton a deux couriier arbitraires fi et B' en contact en un point m, on ne pourra pas marcher sur ces courbes B et B'à partir du point m, de la môme manière qu'on peut le faire pour deux courbes parallèles. Ainsi i* prenant sur chacune de ces courbes B et B' el k partir du point m, dea arcs ds et ds proportionnels aul rayoAs^de courbure fMsrp et nu/ssp\ on n'aura pas des angles de contingence égaux <x)rresp€Adants à ces arcs élémentaîres. Ainsi S"", prenant des angles de contingence égaux, ils ne correspondront point à des arcs. élémentaires ds ei ds' proportionnels aux rayons de courbure p et p'.
Pour que les deux courbes B et B' se comportent au point m de la même manière que deux courbes parallèles , il faut que leurs développées d et i\ étant mises en contact par les points o ei</^ aient en ce point un contact du deuxième ordre.
Fig. 45. De sorte que, si deux courbes' B et B'oni même rayon de 'courbure,
et que ces deux courbes n'aient au point m qu'un contact :du. d^m^iéfine Qi^dre, on ne pourra pas dire qu'en marchant sur ces deux courbes à partir du point m, on aura pour des arcs élémentaires d$=ids'f, des angles de contingence égaux; ou réciproquement , que pour des angles de contingence égaux , on aura sur les deux courbes deux arcs élémentaires ds et cb' égaux.* Pour que cette propriété subsiste pour les deux courbes B et B', il faudra qu'elles aient un contact du troisième ordre en m ou en d^autres termes que leurs développées i et i' aient un contact du deuxième ordre en o, parce qu'alors pour le point m les deux courbes données pourront être assimilées à deux courbes parallèles.
On voit de suite que tout ce qui vient d'être dit pour les courbes planes , reçoit son application lorsque l'on considère des courbes à double courbure, et qu'ainsi :
i"" Deux courbes à double courbure qui auront mêmes développées auront leurs arcs élémentaires dans le même rapport que celui qui existe entre leurs rayons de courbure (en marchant sur les deux courbes , et à partir de points homologues , par angles de contingence égaux )•
2* Deux courbes à double coiirbure ayant un contact du troisième ordre, auront pour des angles de contingence égaux, des arcs' élémentaires égaux; mais cette propriété ne subsistera pas i si les deux courbes n'ont qu'un contact du deuxième ordre.
. Gela posé :
Soit B (fig. 46 ) la base ou section droite d'un cylindre ; d la développée de la courbe B.
Soit une hélice H tracée sur le cylindre (B) et coupant sous l'angle a les génératrices de ce cylindre.
On sait que, pour un point M de Thélice H, le rayon de courbure est -Ar;
p étant égal au rayon de courbure de la base B pour te pied m de la génératrice G du cylindre qui contient le point M de Thâice.
On sait que tous les rayons de courbure de Thélice sont horizontaux du pjir^lr lèles au plan de la courbe B.
I ' Ainsi , supposons que
I «Iftar-T-V- et mOssù
• sin c
on aura en nia projection du centre de courbure de Thélice H pour le point M :
— — [I * — Sllia p
mn*a ^ «n'a '^ tang'
Ainsi , désignant on par r, on aura :
tang a
Donc, pour tous les points n, n , n'', de la courbe B', on aurja des rajons de courbure qui seront proportionnels aux rayons de courbure pour les points homologues m , m\ m'\ de la courbe B.
Les deux courbes B et B' seront donc des courbes parallèles , elles auront même développée d.
Dès lors y en marchant de l'élément curviligne «i» sur la courbe B et à partir du point m , et de l'élément curviligne ds' sur la courbe B' et à partir du point n , on
aura:
d$:d$* \: piriip: ^ ^, :: i : —
^ tang « tang 'et
Et comme rbélice H a pour courbe lieu de ses centres de courbure une hélice h tracée sur le cylindre ayant pour section droite la courbe B', et que Ton sait que (H coupant les génératrices du cylindre sur lequel elle est tracée , sous Tangle «) h coupera les génératrices du cylindre sur lequel elle est tracée, sous l'angle de 90"* — a , on aura, en désignant par dS , Télément de l'hélice H projeté en ds et par dS', l'élément de Thélice h projeté en de'
dS . sin a= cb
et
iS' tin (90"— «) = d/ = dS'. coa «
Donc en vertu des résultats précédents , on. a :
dSsina rdS'^éosa:: i
tang a OU
dStongariS' :: i:~î—
tang. a
d'où
tangd ^ '
mais les courbes H et A ont même rayon de courbure puisqu'elles sont réciproquement le lieu des centres de courbure de l'une et de l'autre.
Donc , en désignant par R le rayon de courbure de H , et l'angle de contingence par c, et par/ l'angle de flexion , on aura :
dS „ dS' „
— =R et -7- = * c f
( puisque les angles de flexion de la courbe H sont les angles de contingence de la courbe h). Donc en substituant dans Féquation (a) , on aura :
c: f:: tang a : l — d'où — tang « = J
Telle est la relation qui lie entre eux les angles de contingence et de flexion , et Ton voit «ur-le-champ que cette relation est constante | qu'elle est la même en chacun der points de Thélice H, et qu'elle est indépendante de la forme de la section droite B du cylindre.
Si «= 0 (c n'étant pas nul) , /doit être infini : dans ce cas , rhélice a dégénéré en une ligne droite.
Si a:= 90"" ( c n'étant pas nul ) » /*doit être zéro : dans ce cas , Thélice n'est autre chose que la section droite B*
Si tanga = l| alors «=45% alors f=c.
Ainsi pour toutes les hélices cylindriques inclinées à 15% quelle que soit la sec* tion droite B du cylindre, les angles de contingence et de flexion sont égaux. Si Ton suppose que la courbe B est un cercle , alors :
tang z 2n,R
(désignant par pie pas de Thélice et par R le rayon du cercle base du cylindre.) On aura donc pour une hélice cylindrique circulaire :
c îir.R
et comme Ton sait que pour une hélice cylindrique circulaire y le rayon de courbure
est égal à -r^, R étant le rayon du cercle section droite du cylindre sur lequel
l'hélice est tracée (quel que soit d'ailleurs l'angle «» quelle que soit l'inclinaison de l'hélice circulaire), on aura, en désignant par p le rayon de courbure de l'hélice :
c 2}r . p . sin*2
N* 3. Propriétés géométriques des développantes des développées dune hélice
cylindrique.
Étant donnée une hélice cylindrique H, on sait que Farète de rebroussement h de l'enveloppe de ses plans normaux , est une héli«e cylindrique dont la section
droite est une courbe ayant même développée que la section droite du cylindre sur le(|uel la courbe H est tracée.
La surface enveloppe des plans normaux de la courbe H est une surface Aé/tcdide développable qui contiendra toutes les développées de cette hélice H.
On sait que les développées d'une courbe à double courbdre D sont des hélices tracées sur la surface enveloppe des plans normaux de cette courbe D, et Ton appelle hélice sur une surface développable la courbe qui, lorsque Isu^rfaceest planifiée, se transforme en une ligne droite. Dès lors la surface enveloppe des l^ilans normaux d'une hélice cylindrique H , étant une surface développable qui a pour arête de rebroussement une hélice cylindrique A, on ne doit pas confondre lesjiélices cylindriques qui peuvent être tracées sur cette surface développable, avec les courbes dites hélices de Ut surface développable.
Ainsi, pour une hélice circulaire H, Tarête de rebroussement A sera aussi me hélice circulaire \ toutes les hélices cylindriques que l'on pourra tracer sur la sur^ face enveloppe des plans normaux de la courbe H seront toutes des hélices circulaires , mais ces courbes ne seront pas des hélices tracées sur la surface dévielop* pable, elles ne se transformeront pas eii lignes droites lorsque la surface développable sera planifiée^ car elles se transformeront, au contraire, en cercles concentriques ;.en un mot, elles ne seront pas des développées de l'hélice H.
On sait aussi que si par un point m de l'hélice H on mène le plan normal N de cette courbe, ce plan sera osculateur à l'hélice h en un point n , et que 'ce plan N sera tangent à la surface enveloppe des plans normaux (dont h est l'arête de rebroussement) suivant une droite t tangente à la courbe h au point n.
. Gela posé, si dans le plan N et par le point m de l'hélice H on mène une droite arbitraire G, elle coupera la droite t en un point g.
Et si l'on plie cette droite G sur la surface 1 enveloppe des plans normaux de l'hélice H , elle formera sur cette surface 2 une hélice 0.
Cette hélice 0 aura un point de rebroussement situé sur la courbe h. Toutes les tangentes de 8 s'appuieront sur la courbe H et lut seront normales. EHes.(brf meront une surface développable E, et toutes les courbes parallèles^ Thélice H, et tracées sur la surface E, seront des développantes de la courbe 0.
Tpute$ les courbes à double courburo4raeées sur une même surface développable E, et ayant pour développée commune l'arête de rebroussement 0 de cette surface E, jouissent des propriétés suivantes , savoir :
l"" D'avoir des angles de contingence égaux et des angles de flexion' égaux , aux points homologues ( désignant par points homologues ceux situés sur une même tangente à la courbe 0 )*.
2"" D'avoir leurs élémentsiiomologiies ds proportionnels aux rayons de courbure.
Gâr pour les points hoiBologues, ces courbes ont des plans ôseaiateurs parallèles et des plans normaux qui se confondent en un seul et même pian ; en d*anires ternies , pour les points hotnologues , ces courbes ont même plan normal .
Les développantes y des développées 9 d'une hélice cylindrique H , jouissent donc pour leurs angles de contingence et de flexion des mêmes propriétés que riiélice elle-même.
Ainsi l'éqaation ^=Ung(x existe pour ies développantes y tout comme pour
l'hélice H.
Ainsi Ton peut dire que -=tanga est l'équation différentielle de toutes les
hélices cj^lindriqueset de toutes Jeurs courbes parallèles , en d'autres termes, de toutes les développantes y de leurs diverses développées 0.
Cela posé, on doit remarquer que Thélice 9 développée de Thélice H aura pour tangente en son point de rébroussement, qui est situé sur T hélice A, précisément le rayon de courbure de cette courbe /i, ou mieux sa normale.
De sorte que, désignant par p ce rayon prolongé, toutes les développantes y de la courbe 6 auront pour les points en lesquels elles couperont p même plan osculateur que la courbe H.
(Désignons par k le point en lequel y coupe p. )
Nous pourrons dès lors énoncer ce qui suit :
Les centres de courbure des diverses développantes y seront distribués sur la droite i (en considérant les points homologues des courbes y situes sur la droite G.)
Mais parmi toutes les droites G il y en aura une qui se confondra avec p, et pour tous les points homologues des courbes y situés sur p, les plans osculateursse conTondront en un seul et même plan qui sera le plan osculateur de la courbe H, tandis que pour tous les points homologues situés sur les autres droites G, les plans oscuiateurs seront parallèles.
Et remarquant que toutes les courbes y ont même arête de rébroussement pour la surface enveloppe de leurs plans normaux et que cette arête n'est autre que la courbe h , nous pourrons énoncer ce qui suit :
Pour l'hélice H , les courbes lieu de ses centres de courbure et lieu de ses centres de flexion se confondent en une seule et même courbe h.
Mais pour toutes les courbes y parallèles h la courbe H cela n'existe pas; toutefois pour chacune de ces courbes y, la courbe lieu des centres de courbure et la courbe lieu des centres de flexion ont un point commun, qui n'est autre que celui en lequel la courbe, /i est coupée par p.
De sorte que les courbes y pour leur point particulier, tel. que A, auront même rayon de courbune et de flexion , ainsi que cela arrive pour tous les points
de rhélice H ; mais pour tous leurs autres points , le rayon de flexion et le rayon de courbure seront distincts » seront séparés , ne seront pas égaux. Cetle propriété remarquable nous permettra de trouver, parmi les développantes des diverses développées de Thélice circulaire» celle qui peut avoir un ooniact du troisième ordre en un point d*une courbe à double courbure donnée D , lorsque l'on connaîtra pour ce point Tangle de contingence et Tangle de flexion de cette courbe D.
Nous terminerons par la remarque suivante :
Mous avions dit précédemment : jusqu'à présent nous ne connaissons queThétice circulaire, qui, parmi les courbes à double courbure, jouisse de la propriété d'avoir même angle de contingence et même angle de flexion en chacun de ses points. Maintenant, en vertu de ce qui précède, nous savonsque les développantes des développées de Thélice circulaire jouissent aussi de la même propriété.
Et rappeions-nous que Féquation : - = — = tang a, existe pour toutes les courbes parallèles de T hélice circulaire.
N* 4. De la forme de la développée dune hélice cylindrique circulaire.
Soit une hélice cylindrique circulaire H {fig. 47) tracée sur un cylindre de révolution ayant pour section droite le cercle C.
Soit A l'hélice cylindrique circulaire arête de rebroussement de la surface hélicoîde 2 qui est l'enveloppe des plans normaux de la courbe II.
Si lou fait mouvoir sur les courbes H et A une droite parallèle au plan du cercle C, on sait qu'elle s'appuiera en même temps sur l'axe B qui est commun aux deux cylindres sur lesquels les courbes H et A sont respectivement tracées.
Prenons sur l'hélice H un point m , et menons par ce point une droite G horizontale, s'appuyant sur l'hélice h et sur l'axe B , cette droite coupera l'hélice h en un point n qui sera le centre de courbure de l'hélice H pour le point m. Cette droite G sera en même temps normale aux courbes H et A aux points respectifs m et 91 ; elle sera la plus courte distance qui existe du point m (de la courbe H) à la courbe h.
Désignons par a Tinclinaison de H sur les génératrices de son cylindre , (90*— a) sera l'inclinaison de h sur les génératrices de son cylindre.
Désignons par pie rayon de courbure mn, par R le rayon du cercle C , on aura :
siii*a
El par suite: pcos' a=R', R' étant le rayon du cercle C concentrique à C et qui est la section droite du cylindre sur lequel l'hélice k est tracée.
Si Ton planifie la surfaœ 2, rhélice h se transformera en un cereie X {fig. 48).
Le point n se plaçant en a, la ligne G prenant la position du rayon <w, eiao que
j*indique par p' étant égal à :
. ^ ■ ou
Si Ion avait plié la droite G sur la surface 2 , on aurait eu une courbe ii' ayant enn un point de rebrousseroent , et laquelle aurait été une branche d'une développée de rhélice H. Dans le développement de la surface Z cette courbe se transforme en la droite ao prolongée.
Or, si Ton mène une tangente T" au cercle X et parallèlement à la droite ao que je désigne, en la supposant prolongée, par Y, ces deux droites T^^' et Y ne se couperont pas ; par conséquent, la tangente k Thélice h pour le point correspondant au point b*"y contiendra un point de la courbe d^, mais ce point sera situé à l'infini.
Cherchons à quel arc du cercle G" tracé avec le rayon R', correspondra le point b"' du cercle X tracé avec le rayon p.
Les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons, on a donc :
2ir.û 2itR' ., , 4R'
Ainsi , l'arc compris entre le point n de l'hélice h et le point du cercle section droite G' passant par ce point it, sur lequel se projettera le point de l'hélice h
correspondant au point 6"', sera à Tare ab*" du cercle X , dans le rapport -- .
Pour les hélices inclinées à 45% p=2R= 2R'.
Par conséquent, 9=2, ainsi prenant sur X un quadrant, il faudra prendre sur G' un arc double ou une demi-circonférence; on devra donc diviser l'hélice H en arcs égaux entre eux , et se projetant sur le cercle G suivant des arcs aussi ^ux entre eux et doubles de l'angle soutendu par l'arc trouvé sur le cercle X« Â ciiacun de ces arcs de l'hélice H correspondra une développée telle que dd', laquelle (géométriquement parlant) pourra servir à tracer un arc d'hélice*
Une hélice H a donc sa développée composée d'un nombre infini de branches, symétriquement disposées sur l'hélice h.
Pour l'hélice inclinée à 45*, les points de rebroussement de ces diverses branches sont placés les uns des autres à la distance d'une demi-^pire.
•On a ainsi la développée complète d'une hélice H, mais il ne serait pas possible de tracer complètement cette hélice , si Ton n'employait que les seules branches de la développée complète.
En effet , on sait que 8i l'on a une courbe plane ayant des branches infinies comme une hyperbole^ par exemple , il n'est pas possible de déterminer le point de la développante de l'hyperbole qui correspond au point situé à l'infini sur cette hyperbole.
Mais comme une hélice H a' une infinité de développées qui toutes sont identiques, alors on pourra prendre des branches de développées intermédiaires, et s'en servir pour tracer l'hélice H par des arcs plus petits que ceux qui correspondent aux branches d'une seule développée.
Ainsi, pour Thélice à 45"", on prendra des branches espacées d'un quadrant, par exemple , entre elles ; chacune de ces branches servira à tracer uo quart de spire (*).
Conclusion.
De la représentation géométrique des deux courbures d'une courbe à double courbure.
Jusqu'à présent, les géomètres désignant par ds l'élément de la courbe, par c
l'angle de contingence et par/ l'angle de flexion, ont dit que •- représentait le
cb rayon de première courbure ou de courbure proprement dite," et que -r représentait
le rayon de deuxième courbure ou Ae flexion.
Et que ces deux expressions suffisaient pour donner une idée complète de la double courbure d'une courbe en un de ses points.
Les géopètres ont donné une construction géométrique de l'expression analy-
' tique — ; ils ont fait voir que cette expression algébrique se traduisait en géomé-
trie par le rayon du cercle osculateur; mais aucun géomètre. n'a encore donné
4a traduction géométrique de l'expression analytique --z. On est porté à pens^
que c'est, par analogie seulement , qu'ayant posé cette expression on Ta désignée jusqu'à présent par le nom de rasyan deflexiond'une courbe à doublecourbure(^^).
(*) J'avais déjà remarqué les propriétés des déireloppées des hélicesoylmdriques lorsque je professai en 1 823 à l'école de Marieberg , où le roi de Saéde m'avait fait appeler en 1821 pou* y fonder la chaire de géométrie deamptive et de ses applications anx dirers services militaires.
A cette même époque j'avais aussi remarqué que les diverses développantes de la développée d'une hélice cylindrique circulaire avaient leurs angles de contingence et de flexion constants.
Analogie (en géométrie) : rayon du cercle osculateur (rayon de courbure )y rayon de la sphère oscul atrice du troisième ordre ( rayon de flexion ).
D'après ce qui précède, on voit que l'on peut comparer une courbe à double courbure à une autre courbe ausBi à double courbure^ mais telle qu'elle ait ses angles de contingence égaux entre eux ^ ainsi que ses angles de flexion ; en d*au- 1res termes que pour cette courbe les angles de contingence et de flexion soient constants.
Cette courbe peut être l'hélice cylindrique circulaire, ou l'une des développantes de l'une des dévdoppées de cette hélice , puisque l'hélice circulaire et les développantes de ses développées ont pour équation différentielle commune,
f=JL
c 2icR*
Ainsi, connaissant pour un point m d'une courbe à double courbure D, le rayon de courbure
l'angle de flexion
dxds ((PyePjj — d^zéPy)
et l'angle de contingence :
( Remarquant que pour les deux premières expressions x est pris pour variable indépendante , et que l'on devra , dans la troisième expression , prendre aussi x pour variable indépendante. ) *
On connaîtra dès lors le rapport j qui donnera pour le point considéré sur la
courbe Dy en y substituant les coordonnées particulières de ce point, 1^ valeur de : tanga, et ainsi delà tangente de l'inclinaison (sur les génératrices du cylindre) de l'hélice circulaire ayant un contact du deuxième ordre avec la courbe D pour le point m.
Ainsi , Ton connaîtra par l'équation :
e âftR
le pas d'une hélice cylindrique circulaire H , dont le rayon de courbure sera égal au rayon de courbure p de la courbe D pour le point m , car on aura :
nn'fic
et comme
on aura
- = tanga , et que md a = -— ; — ^— r- ^^ tti — j f ^ ^ l+tang*« f* + c'
p = 2ic . p . ,J\^^ et R = ^
Dès lors on pourra toujours comparer les deux courbures d'une courbe donnée D à celles d'une hélice circulaire H, tracée sur un cylindre de révolution ayant pour section oblique une ellipse qui aura pour cercle osculateur en son sommet celui de la courbe D pour le point m.
Le pas p de l'hélice H prendra le nom de pas de la courbe D donnée pour le point m.
En géométrie , et pour les diverses applications, il suffira » dans la plupart des cas , de connaître , pour un point de la courbe donnée D , le rayent de courbure
p =— et le pas p =27r . p . ,^1 ». , pour que les deux courbures decette courbe
soient complètement ou plutôt suffisamment déterminées en ce point.
Examinons maintenant quelle peut 6tre la traduction géométrique de l'expression analytique y.
Dans l'équation -==a^> on peut remplacer e par sa valeur analytique — ,
ds «
puisque — = p I on aura donc :
A 2ir . R . p ( T~
Ainsi , l'expression -^ que les géomètres disaient représenter le rayon de
flexion j peut être traduite en géométrie ; elle a une représentation , une signification géométrique , et l'on peut dire : te rayon de flexion est une quatrième pro^ portionnelleà : V la circonférence (2nR) du cercle base du cylindre de révolution sur lequel est tracée une hélice ayant un contact de deuxième ordre avec la courbe donnée ; 2* le rayon de courbure p et 3*" le pas p de cette hélice. On peut énoncer cette propriété d'une manière plus simple , car désignant par r le rayon deflemm^
on aura i
ds 2«r . R . p
y=r = — ï.=ptang.a
Mais si l'on remarque que l'hélice H n'a pas un contact du troisième ordre avec la courbe D y mais seulement un contact du deuxième ordre , peut-être^ dans
ceriains cas, pourrait-on désirer connaître une courbe ayant un contact du troisième ordre avec la courbe donnée D, et telle que ses angles de contingence fussent constants et égaux à c , et aussi que ses angles de flexion fussent constants et égaux à / (c et /étant les angles de contingence et de flexion de la courbe à double courbure D pour le point m considéré sur cette courbe )•
Or, d'après ce qui précède, on sait que les développantes des diverses développées de l'hélice circulaire H ont même équation différentielle
-7 = constante = tang a
que cette hélice H, et jouissent de la propriété énoncée , savoir : d'avoir des caigles de contingence et de flexion constants; dès lors if sera toujours facile de construire une courbe à angles de contingence et de flexion constants ayant un contact du troisième ordre avec la courbe donnée D pour le point m.
En eflet :
Supposons une courbe donnée D (fig. 49) et & double courbure; un point m sur cette courbe ; supposonaque nous connaissions , en vertu des équations de la courbe D (et pour le point m), le rayon de courbure p, et les angles de contingence c et de flexion/.
Dès lors on aura l'équation :
ait. --
p et R pourront varier proportionnellement entre eux , et de telle sorte que toutes les hélices H, H\ H", etc., tracées sur des cylindres de révolution dont les rayons des sections droites seront respectivement R, R', R", etc., auront même courbure et même flexion que la courbe D , si l'on prend leurs pas tels qu^ils satisfassent à la progression suivante r
p : R :: p' : R' :: p" : R" :: , etc.
(et l'on ne doit pas oublier que toutes ces hélices H, H', H", etc., auront dès lors même inclinaison).
Ayant déterminé le centre de courbure 0 de la courbe D pour le point m, et son centre de flexion n pour le même point , c'est-à-dire le point en lequel se coupent les trois plans normaux successifs, en d'autres termes le point homologue de m et situé sur l'arête de rebroussement A de la surface enveloppe des plans normaux de la courbe D ; on aura en on la génératrice G de la surface enveloppe des plans normaux à la courl>e D.
Par le point n on mènera la droite ng parallèle i om (rayon de courbure p de la courbe D pour le point m) ; ensuite on prendra ng égal 2 une ligne arbitraire , et dès lors le point g sera un point de l'hélice H (ayant mêmes angles de contingence et de flexion que la courbe D pour le point m ; et ayant son rayon de courbure au point g , égal à ng que je désigne par /.
On aura donc :
C 2ic . / . BÏn*a
d'où Ton tirera :
pz=zZft , l . - , sin*a
De sorte que cette hélice H sera complètement déterminée^ puisque» Ton connai*
tra i*" son pas p ; 2'' son angle a d'inclinaison [puisque tang a s= O ; et 3* le rayon
R du cercle section droite du cylindre sur lequel elle est tracée (puisque R = /• sin'a ).
Si Ton trace la droite mg , elle sera dans le plan normal N de la courbe D pour le point m. Cette droite coupera la droite G au point k , et cette droite mg sera une des génératrices de la surface développable Z , ayant pour arête de rebroussement une des branches de la développée de rhélice H ; et je désigne par Y, Y', etc., les diverses génératrices droites de la surface Z.
Si donc on plie la droite m^ ou Y sur la surface enveloppe des plans normaux N de la courbe D , elle donnera une branche i^ de la développée de Thélice H ; et traçant au moyen de la courbe dd' et sur la surAce Z, la développante U passant par le point m, on aura en cette développante U, une courbe ayant des angles de contingence et de flexion constants et égaux à ceux de Thélice circulaire H et dès lors égaux à ceux de la courbe donnée D et qui existent sur cette courbe pour le point considéré m ; et, de plus , cette courbe U aura, au point m, avec la courbe D , un contact du troisième ordre.
Mais cette courbe U serait difficile à tracer ; on serait forcé de faire une épure assez longue pour arriver à sa représentation géométrique au moyen de ses projections ; mieux vaudra donc , en général , ajouter au rayon de courbure p et au pas p de la courbe D , le rayon de la sphère osculatrice du troisième ordre , c'està-dire la ligne mn.
Pour chaque valeur donnée à n^ ou /, on aura une hélice circulaire particulière.
Ainsi, prenant n^'que je désigne par /', on aura une hélice H' dont le pai sera :
rgt
La droite mg (ou V) sera une des génératrices de la surface développable Z qui est formée par les tangentes à Tune des branches 6' de la développée de Thélice H'; cette courbe 6' étant obtenue en pliant la génératrice droite V sur la sttrÊree enveloppe des plans normaux de Thélice H'.
Dès lors on est conduit à penser que l'on doit obtenir une développante U, autre que U^ et ayant aussi un contact du troisième ordre avec la courbe 0 et en son point m.
Et en effet , on sait :
V Qu'une courbe H peut avoir une infinité de développées i tracées sur la surface 2 enveloppe de ses plans normaux ;
2'' Qu'une des développées d est la développée d'une infinité de développantes U , tracées sur la surface développable Z dont i est l'arête de rebroussement ;
3"* Qu'une développante arbitraire U de la courbe H , a une infinité dedévelop* pées(dont une seule est en même temps la développée de la courbe H), toutes tracées sur la même surface développable 1.
Mais comme pour chaque hélice H, H', H", etc., l'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plasâ normaux change y et que dès lors les développées des courbes H, H', H", etc., ne sont plus tracées sur la même surface développable, ces développées ne peuvent les développées d'une même courbe U ; ainsi Ton pourra construire une infinité de courbes telles que U , ayant un contact du troisième ordre , au point m, avec la courba donnée D.
Toutes ces courbes U auront aussi entre elles un contact du troisième ordre.
Toutes ces courbes U auront même équation différentielle que l'hélice correspondante avec laquelle elles auront même développée ; en un mot , toutes les courbes U et toutes les hélices H , auront pour équation différentielle générale
e y=:tanga.
Et chacune d'eiles aura pour équation différentielle particulière ^ = ^ (p et R ayant pour chacune de ces courbes des valeurs particulières, mais satisfaisant à l'équation -c=-^-Y
' En résumant tout ce qui précède , on voit que : I* La double courbure d'une courbe est déterminée par les expressions analy-
j tiques^ et y qui, pour chaque point d*une courbe donnée, prennent des va-
leurs finies , déterminées ;
2"* Les géomètres avaient trouvé une représentation géométrique de — (ainsi Ton
connaissait le rayon de courbure qui était celui du cercle osculateur) ; mais ils n*a-
valent point encore donné la représentation géométrique de y ^ expresriwi analytique qu'ils désignaient par rayon de flexion;
S"" En comparant une courbe à double courbure à une hélice cylindrique circulaire , on reconnaît que cette hélice ne peut avoir un contact du troisième ordre avec la courbe proposée , et avant d'avoir trouvé les propriétés qui existent pour les angles de contingence et de flexion de l'hélice, et celles qui subsistent pour la développante d'une développée de l'hélice, on est conduit à trouver dans le rayon de la sphère osculatrice du troisième ordre, une espèce de rayon de flexion;
i^ Mais étant parvenu à la propriété remarquable dont jouissent les hélices par rapport à leurs angles de contingence et de flexion ; ainsi, ayant trouvé l'équation
--: =: tanga, on a dû proposer de déterminer la double courbure d'une courbe par
son rayon de courbure et son pas;
S" Mais en vertu des équations -j=tanga et r ./=p .c qui lient entre eux les rayons de flexion et de courbure , et les angles de flexion et de contingence , on a pu dire que l'expression y qui , jusqu'à présent , n'était qu'une expression analytique, avait une signification , une représentation géométrique.
Mais comme le pas et le rayon de flexion sont liés l'un à l'autre, de telle sorte que , l'un étant connu , l'autre s'en déduit , il paraîtra peut-être, en générai, plus commode de donner le rayon de courbure et le pas d'une courbe que le rayon de courbure et le rayon de flexion de cette même courbe ;
&" Enfin , ayant examiné les propriétés dont jouissent les développantes des développées des hélices cylindriques circulaires , on a pu dire : l'hélice circulaire n'est pas la seule courbe qui jouisse de la propriété d'avoir ses angles de contingence et de flexion constants , toutes les courbes qui lui sont parallèles , qui ont mêmes développées qu'elle, jouissent aussi de la même propriété.
El dès lors on a pu donner la construction d'une courbe à angles de contingence et de flexion constants, ayant un contact du troisième ordre avec une courbe i double courbure donnée.
- ÎOl
CONSTRUCTION DES DIVERSES HÉLICES CYLINDRIQUES AYANT UN CONTACT DU SECOND
