ORDRE AVEC UNE COURBE A DOUBLE COURBURE

Dans le mémoire publié sous le n"" 4^ dans ce chapitre 2*, j'ai fait remarquer que rhélice cylindrique et circulaire ne pouvait avoir un contact du troisième ordre avec une courbe à double courbure, puisque les équations de l'hélice circulaire ne renfermaient que cinq constantes arbitraires, et que le contact du troisième ordre exigeait six équations de condition.

/'aurais dû alors faire remarquer que le contact du deuxième ordre n'exigeant que quatre équations de condition , les équations de l'hélice circulaire contenaient une constante de trop (pour ce contact), et que dès lors cette constante devenait arbitraire et susceptible de prendre diverses valeurs ; que par conséquent on devait évidemment avoir une infinité d'hélices cylindriques et circulaires ayant un contact du deuxième ordre avec la courbe proposée, et différant entre elles de pasi et par suite ayant toutes entre elles, et avec la courbe à double courbure, même cercle osculateur et même angle de contingence c^ maisd^^ angles de fleaAon (d^érenis entre eux; que dès lors II devait être toujours possible de trouver parmi cette série d'hélices , une d^entre elles ayant même angle defieoÀon que la courbe proposée.

Je me propose dans ce second mémoire, ou plutôt dans cette note qui servira de complément y sur plusieurs points, au premier mémoire ci-dessus et publié sous le n"" 4 , de rechercher la loi à laquelle sont assujetties tes diverses hélices cylindriques et circulaires ayant un contact du deuxième ordre avec une courbe à double courbure*

Dans le mémoire précédent, j'ai fait remarquer que Ton pouvait > toujours construire une courbe ayant en chacun de ses points des angles de contingence et de flexion constants, et telle qu'elle peut avoir avec une courbe à double courbure donnée un contact du troisième ordre ; mais dans cette partie du mémoire , je n'ai peut-être pas assez fait ressortir les relations qui existent entre le cercle osculateur, F angle de flexion, et la sphère oscukUrice du troisième ordre , comme étant les conditions géométriques du contact du troisième ordre entre deux courbes à double courbure.

(*) Extrait du 74* cahier du Journal de TÉcole polytechnique , 15 jantier 1836. Ce mémoire y a été publié fous le tkre : Mdition au Mémoire sur la courbure et la Itexùm éTune courbe à double courbure.

Je me propose donc, dans celte note, de faire voir que deux courbes à double courbure se peoTeot avoir un contact du troisième ordre, en parlant la langue géométrique, qu'autant qu'elles ont:

Même cercle osculateur, même angle deflexbm ou même pas , et même iphère osculairice du tnnsième ardre.

De la loi à laquelle sent assujetties les diverses hélices circulaires ayant entre elles

un contact du deuxième ordre.

Dans le premier mémoire, nous avons démontré que pour une hélice cylin*

drique et circulaire , on avait toujours -^ = tang a{c représentant Fangle de

contingence ou de deux éléments rectilîgnes successifsy/rangle de flexion ou de deux plans osculatettrs successifs; el « Fangle sous lequtl Thélice coupe les gêné* ratrices du cylindre de févolution sur lequdL elle est tracée ).

De là nous avons déduit r=:p tang a (rs=s jetant le rayon de flexion; et

p = — étant le rayon de courbure j .

Gela posé :

Supposons une série de cylindres verticaux et de révolution (/$r.50), dont les axes se projettent verticalement suivant la même droite A, A', A"... etc., et ayant pour bases ou sections droites sur le plan horizontal , les cercles C, C, C'\.. etc., tous tangents entre eux an point m.

Les axes de ces cylindres se projetteront horizontalement sur les centres o, Oj o", etc., des cereles^bases de ces cylindres.

Supposons maintenant que par le point dont m et m' sont les projections, point qui est situé sur la génératrice de contact de tous les cylindres , on fasse passer des plans perpendiculaires au plan vertical de projection.

Ces divers plans auront tous même trace horizontale H', H'', etc. , et pour traces verticales, respectivement, les droites V, V",.-- etc.

Le plan (V',H') fera, avec le plan horizontal, et par conséquent avec lesgénératrices des cylindres, un angle a ; le plan (V", H"), un angle «", etc.

Le plan horizontal pour lequel a=o, coupera le cylindre (C) suivant le cercle G dont le rayon est p ; le plan (V, H') , pour lequel (x=<x', coupera le cylindre (C), suivant une ellipse E', ayant pour demi-petit axe le rayon R' du cercle G^, et pour demi-grand axe mV=â'-

Le plan (V", H"), pour lequel a=a", coupera le cylindre (ensuivant uneellipse£"

ayant pour demi^petit axe le rayon R" du cercle C", et pour demi-grand axe , m'q"=ia", et ainsi de suite pour tous les autres plans sécants.

D'après la notation précédente , le rayon du cercle osculateur de Fellipse E"

pour le point (m , m) sera p=^ g? î pour l'ellipse E" , il sera p rr — , etc. , et si

l'on veut que tous ces cercles osculateurs aieqt même rayon p , il faudra que :

Puis remarquons :

V que les plans sécants (V, H% (V", H"), etc., sont les plans osculateurs des hélices l' tracée sur le cylindre (C) , et coupant les génératrices de ce cylindre sous l'angle «' ; 2" tracée sur le cylindre (C") et coupant les génératrices de ce cylindre sous l'angle a" y etc. ;

2"" Que les angles a\ a" y etc., smt les angles sous lesquels les plans sécants (V, H'), (V", H"), etc., coupent respectivement les axes A', A!\ etc., des cylindres (C), (C"), etc. ;

Et S"" que le rayon de courbure de l'hélice i est exprimé par p= -r-7-7; celui de

R" l'hélice 2" par p=-r-rT?, etc.

Dés lors on aura :

et par conséquent on devra avoir :

Maintenant, si sur la projection verticale (fig. 50), on trace sur wnzszp comme

diamètre un cercle , ce cercle coupera les projections des génératrices extrêmes

G' du cylindre (G'J au point 9'; G'' du cylindre (G") au point q'\ etc. ; si ensuite on

abaisse des points 9', q", etc., des perpendiculaires sur la droite (A , A', A'", etc.),

ou aura : .^

ç'd'=R', ^^R", etc.

et les triangles rectangles m'tfifi m'q"(t% etc., donneront :

my. rina' =» R', mV'.sin«'' = R% etc.

donc ( puisque m 9' = a' , m'q" = a'', etc. ) on aura :

a'=;- — :, = o" -7— T/i «te., et auaai rf* « ûR', a'^ss? pR", etc. ama ' «mer" ^

Par celle construction on retrouve les équations précédentes (a) et (b) ; ainsi il est bien démontré que les points q\ q'\ etc., doivent être situés sut une circonférence tracée sur le rayon am'=:p, comme diamètre , pour que les ellipses E', ^'\ etc. y aient toutes au point (m, m) même rayon de courbure et égal à p.

Fig. 51. Si maintenant on suppose que les divers cylindres (C), (C'% etc., prennent un mouvement de rotation autour de la droite abaissée perpendiculairement sur le plan vertical et du point (m , m') , et que dès lors leurs axes respectifs A\ A", etc., s'inclinent respectivement ( par rapport à Taxe A du cylindre (C), lequel reste fixe) des angles &' complément de <x', ê" complément de a', etc., mouvement qui dès lors amènera toutes les ellipses E', E'^, etc., dans le plan du cercle horizontal G dont le rayonzzp ; on doit voir sur-lerchanlp que, toutes les ellipses, en cette nouvelle position, auront toutes au point m un contact du deuxième ordre, et pour cercle osculateur commun le cercle G du rayon p. On doit voir aussi que dès lors les hélices 2', 2^', etc., prendront de nouvelles positions tt^ i\y etc. (en vertu de ce mouvement de rotation); et qu'en ces nouvelles positions 2"., 2", , elc, elles auront entre elles un contact du deuxième ordre, elles auront toutes même cercle osculateur G du rayon p.

Mais en même temps on ne doit pas oublier que toutes ces hélices 2^, , 2",,. etc., n'ont pas la même inclinaison sur les génératrices des cylindres sur lesquels elles sont respectivement tracées, et comme Tangle de flexion dépend de cette inclinaison , toutes ces hélices auront des angles de flexion différents.

Et comme Y=tanga , et que le rayon de courbure p est constant, et fue dès

lors l'angle de contingence c est aussi constant, on voit que l'angle de flexion/ peut varier avec les valeurs de tanga.

Si dans l'expression /=-- — , on suppose

!• « = 0, j alors : tang(x=0 et/=0.

2"* a=:l. droit (alors : tanga=; et /=:0.

Expliquons ces résultats extrêmes.

Lorsque a = 0 , le cylindre sur lequel l'hélice 2 doit être tracée se réduit à la génératrice de contact de tous les cylindres {fig. 50) ^ dont les bases ou sections droites sont les divers cercles G, G^, G", etc.

Dans ce cas, l'hélice 2 se réduit à cette génératrice de contact , l'ellipse E se réduit aussi à cette même génératrice; après le mouvement de rotation, cette génératrice (hélice et ellipse) devient tangente au cercle G qui est le cercle osculateur commun aux diverses hélices 2'. , 2", , etc.

~ 205 — II n'y a plus dans ce cas de contact du deuxième ordre entre le cercle C et rhélice 2,. Aussi l'expression p=i-r-^ devient | pour B =0 et a=: 0.

Lorsque a=3 1 • droit , le cylindre sur lequel l'hélice doit être tracée n'est autre que le cylindre ayant pour section droite le cercle G du rayon p, et l'hélice et Tellipse, devant avoir pour cercle osculateur communie cercle C, se réduisent à ce

même cercle G; aussi trouve-t-on que l'expression p=-r-r devient p=:p dans ce

cas particulier.

Revenons sur nos pas et cherchons maintenant quel est le lieu géométrique des sommets des ellipses , sections faites dans les cylindres verticaux ayant une génératrice de contact commune et pour bases les divers cercles G, G', Ç", etc. {fig. 50; , ces ellipses satisfaisant à la condition d'avoir pour le point (m, m') même rayon de courbure =p.

D'après ce qui précède, on voit que les projections verticales q\ q*\ etc., de ces sommets , seront sur un cercle tracé sur p comme diamètre.

Et comme les angles a, a', d'\ etc., que les plans de ces ellipses font avec la génératrice de contact passant par le point (m, m'), peuvent être comptés à droite ou à gauche par rapport à cette génératrice de contact, on voit {fig. 52) que les points tels que q' et p' projections verticales des sommets de ces diverses ellipses, seront situés sur deux cercles tracés l'un suc am\ l'autre surfin comme diamètre. Et comme (fig. 52 ) ç'd' = le raryon R' du cercle G' base ou section droite du cylindre vertical, on voit de suite que les sommets extrémités du grand axe a! de l'ellipse E' auront pour projections horizontales les points n' et /, points situés de telle manière que no==^om=^q'd':=i R', et oV=o'm = ç'cr=R'.

Ainsi , les points tels que n' et s sont situés , les premiers sur la droite ma\ et les seconds sur la droite mb\

Dès lors on voit que les sommets des ellipses E", E'', etc., seront sur deux eUipses e et e, la première ayant pour ses deux projections, i** le cercle tracé avec le rayon atn\ et T la droite a m , et la seconde ayant pour ses deux projections , 1* le cercle tracé avec le rayon bm\ et 2* la droite 6'm , de telle sorte que les sommets inférieurs des ellipses E', E", etc., inclirlées à droite par rapport à la génératrice de contact , seront sur l'ellipse e et leurs sommets supérieurs sîir l'ellipse e', et réciproquement lorsque les ellipses E', E", etc., seront inclinées à gauche.

Supposons maintenant que les cylindres aient successivement tourné autour de la perpendiculaire abaissée du point (m, m') sur le plan vertical, et qu'ils aient tourné des angles compléments de <x', a", etc., pour que les ellipses de section E', E", etc. , viennent se placer dans le plan du cercle C qui est horizontal ; cela posé ,

cherchons la courbe qui unira tous les sommets des ellipses lorsqu'elles seront arrivées en celte nouvelle position.

On voit de suite que celte courbe aura pour coordonnées rectangulaires d'un de ses points , le demi-petit axe = R et le demi-grand axes= a d'une des eUipses ; les abscisses R étant comptées sur la droite perpendiculaire au plan vertical et passant par le point (m, m').

Or, on sait quep=: j^, donc «'=p. R, sera l'équation de cette courbe; et

cette courbe évidemment n'est autre qu'une parabole ayant Çfig. 53) le point ni pour sommet.

Mais on doit remarquer que l'arc amb de celte parabole satisfait seul au problème qui nous occupe ; le reste des branches ah et bg satisfait à un autre problème dont il est facile de trouver l'énoncé.

En effet :

Les premiers cylindres que nous avons considéré^ ont , après le mouvement de rotation , leurs axes inclinés par rapport au plan du cercle G des angles respectivement compléments des angles a , a", etc., et la droite se projettent sur le plan du cercle C suivant des parallèles à ces axes ab {fig. 53). Et lorsque Ton rapporte la position de ces cylindres à celle du cylindre vertical dont la seetion est le cercle G, on voit qu'une série de ces cylindres s'incline à droite, et que l'autre série s'incline à gauche.

Mais on peut supposer de nouveaux cylindres dont les axes s'inclineraient de plus en plus par rapport au plan du cercle G , et se projetteraient tous sur le plan de ce cercle , suivant la drohe m/; et dès lors les ellipses sections de ces nouveaux cylindres, par le plan du cercle C, ont leurs grands axes dirigés suivant la droite m/ et enveloppent le cercle G, tandis que les premières eUipses avaient leurs petits axes dirigés suivant la droite ml et étaient toutes enveloppées par le cercle G.

De sorte que la parabole hmg est le lieu des sommets des ellipses qui auraient toutes au point m un contact du deuxième ordre , et auraient totttçs pptir cercle osculateur commun le cercle G d'un rayon e=z p.

On pourrait désirer connaître, en supposant que tous les cylindres di^it nous venons de parler soient devenus verticaux, et par conséquent tangents entre eux et au cylindre ayant pour base le cercle G du rayon p , quelle sera la courbe Heu des sommets extrémités des grands axes, et quelle sera aussi celle lieu des sommets extrémités des petits axes des diverses ellipses de section.

Remarquons que pour ramener tous ces cylindres à la position où leurs axes seront verticaux , il faut se figurer {fig. 54) qu'ils ont tous tourné autour de la

tangente tm au cercle C du rayon p, les cercles bases C\ etc. , de ces cylindres étant d'ailleurs tous plus grands que le cercle C.

Toutes les ellipses de section arriveront donc, après le mouvement de rotation , dansles plans (Y, H), etc., faisant avec le plan horizontal les angles o^, etc. , et toutes auront pour sommet commun le point (m , m) .

Si nous considérons un de ces cylindres (C) du rayon R', on voit que l*ellipsede section aura son centre en r, point situé sur le plan vertical ; et l'extrémité de son grand axe , m'p=26, sera en p, point aussi situé sur le plan vertical.

Toutes ces ellipses ayant pour le point (m , m!) même rayon de courbure = p , on aura donc :

p =: *- OU mV= —r- (^)

'^ b mr

Et comme kr => mV. sio «, on aura :

m'f)=:m'r.nn*a ou p=6.8in*cc

peiMT l'équation polaire de la courbe lieu des centres r des ellipses. On aura réquation polaire de la courbe lieu des sommets p de ces ellipses , en multipliant par 3 l'équation (1), ce qui donnera :

^-^^^ - *^* «„ wF- ^^^' -;;?«««•

ou

La courbe i^, lieu des sommets p des ellipses , est donc semblable à la courbe 77'; lieu des centres r de ces ellipses ; le pôle de similitude étant le point m\ Dès lors ,

on voit de suite que la courbe Hf ou 77' est infinie et symétrique par rapport à la ligne droite mif\ et Ton voit aussi de suite que les sommets extrémités des petits axes 2R des eiUpsas se projetteront sur le plan horizontal , sur les droites (supposées indéfiniment prolongées) ah et bh' qui se croisent au point m contact des cerdes G, C, etc. , bases des cylindres (G), (C), etc., et qui font chacun un angledemidroh avec la ligne droite md» laquelle est le lieu des centres 0, Of etc., de ces bases. Ainsi les cylindres de révolution qui ont pour base la série des ellipses ayant en un de leurs sommets un contact du deuxième ordre , se divisent en deux groupes ; pour le premier grompe, les projections des axes sur le plan des bases elliptiques sont perpendiculaires au rayon de courbure p , et pour le second groupe , les axes se projettent sur le même plan , suivant le rayon de courbure p. Pour ramener le premier groiwpe à avoir ses axes perpendiculaires au plan du; cercle G du rayon p (en supposant que le cylindre qui a ce cercle pour base reste immobile), il faut

faire tourner tous les cylindres autour du rayon oms=:p (Jig. 52 et 52 bis ) ; tandis que pour ramener le J^eœnd groupe en la même position , il faut faire tourner les cylindres autour de la droite mt, tangenteau cercle G et perpendiculaire à la ligneom. Dans cette position verticale , tous les cylindres des deux groupes sont tangents entre eux et au cylindre (G), suivant la génératrice droite qui passe par le point m.

Les cercles bases des cylindres du premier groupe sont plus petits que le cercle C y et les cercles bases des cylindres du deuxième groupe sont plus grands que le cercle C.

Gela posé {Jig. 52 et 52 6i«), imaginons deux plans verticaux de projection, Tun LT perpendiculaire à la droite om ou parallèle à la droite ml, et Fautre L'T' parallèle à la droite om ou perpendiculaire à la droite mt.

Le point m se projettera sur le plan LT en m', et en m" sur le plan L'T'.

Tous les cylindres seront tangents entre eux et au cylindre (G) suivant la génératrice passant par le point m, et projetée dès lors en G sur le plan LT, et en G' sur le plan LT.

Tous les plans , coupant suivant des ellipses le premier groupe de cylindres , passent par la droite om ; toutes ces ellipses de section se croisent au point m.

Tous les plans, coupant suivant des ellipses le second groupede cylindres, passent par la droite mt] toutes ces ellipses de section sont tangentes entre elles au point m. ,

Et les unes et les autres (de ces ellipses) ont leur rayon de courbure au point m égal à p. Pour le premier groupe^ les sommets extrémités des grands axes des ellipses se projettent horizontalement sui vant les deux droites rectangulaires a'm^ b*m^ et sur le plan vertical LT suivant les deux cercles X, X' et sur le plan vertical VT suivant le cercle X"^ ces trois cercTes ayant leur rayon = ;p. Pour le deuxième groupe f les sommets extrémités des petits axes des ellipses se projettent horizontalement suivant les parties indéfinies ah'\ b'Ii des deux droites rectangulaires et sur le plan vertical L'T', suivant la courbe i , courbe du quatrième degré , dont réquation polaire estp=6sin « (le pôle étant le point m", et dont Téquation en co-

ordonnées reetangulaires est P — ■> , .) , le point m" étant l'origine des coordonnées en prenant la ligne de terre L'T' pour axe des x et la droite G' pour axe des y ; et par suite elles se projettent sur le plan vertical LT suivant les deux courbes H et 2", identiques avec la courbe d, mais tournées l'une par rapport à l'autre en sens opposé.

Ainsi, pour une ellipse du premier groupe j les deux sommets extrémités du grand axe auront pour projections, l'un le point q' sur le plan vertical LT, le point tf! sur le plan horizontal et le point q\ sur le plan vertical L'T'; et Fautre sommet

aura pour projections le point fl sur le plan vertical LT, le point d sur le plan horizontal , etje point p^ sur le plan vertical LT".

Bl pour une ellipse du deuxième groupe , les deux sdmmets extrémités du petit aie auropt pour projections, l'un le point ^ sur le plan vertical L'T\ le point A' sur le plan horizontal , et le point ^, sur le plan vertical LT. Et l'autre sommet aura pour projections le point ^, sur le plan L'T', le point h" sur le plan horizontal, et le point l'\ sur le plan LT.

Telles sont les relations qui doivent exister entre les deux groupes de cylindres verticaux et de révolution tous tangents entre eux et à un cylindre de révolution ayant pour base un cercle C du rayon p , pour qu'en inclinant les premiers autour de om pour ramener leurs ellipses de section dans le plan du cercle C, et les deuxièmes , autour de mt pour ramener aussi leurs ellipses de section dans le plan du même cerele G, toutes ces ellipses aient au point m un contact du deuxième ordre, et en ce point m le cercle G pour cercle osculateur commun.

§ II

Deux courbei à double courbure ne peuvent avoir en un peint un contact du troi-' rième ordre t qu'autani qu* elles ont, en ce points même cercle osculateur ^ même angle de flexion ou même paSj et même sphère osculatrice du troisième ordre.

D'après ce qui précède, on voit que deux hélices cylindriques et circulaires ne peuvent avoir un contact du troisième ordre , et que lorsqu'elles ont un contact du deuxième ordre, elles ont des angles de flexion différents, ou en d'autres termes qu'elles coupent sous des angles différents les génératrices des cylindres de révolution sur lesquels elles sont respectivement tracées.

Dans le mémoire n* 4 on a vu que pour chaque point de la développante d'une développée d'une hélice circulaire, le rayon de la sphère osculatrice du troisième ordre variait de grandeur.

On pourra donc construire, pour un point d'une courbe à double courbure

donnée , une développante de développée d'hélice circulaire , ayant avec la' courbe

proposée, même sphère osculatrice du troisième ordre ^ même cercle osculateur f mais

des angles de flexion différents.

I Cesdeux courbes ne pourront avoir un contact du troisième ordre ; en effet, pour

que le contact du troisième ordre existe entre deux courbes, il faut que ces deux

courbesaientdeuxplansosculateurssuccessifscommuns, etcommel'angledeflexion

estprécisément l'angle decesdeux plans, il faut'impérieusementquelesdeuxcourbes

aient même angle de flexion^ pour que le contact du troisième ordre existe entre elles.

Ainsi j pour que deux courbes aient un contact du troisième ordre , il faut que les trois conditions géométriques suivantes soient satisfaites, sa vojr :

Même cercle oiculateuTj ce qui établit le contact du deuxième ordre, et même angle de flexion ou même pQS^ et même sphère osculairice du troinême ordre; ces deux dernières conditions établissant par suite le contact du troisième ordre.

Ainsi , en géométrie, le contact du troisième ordre entre deux couii)es qui ont un point commun , doit s'établir par les trois conditions précédentes ; tandis que, en analyse , ce même contact s'établit entre deux courbes dont les équations sont :

( ces deux courbes ajant aussi un point commun) en posant les six équations :

d/=dF df=dP'

c/y^cfF

dy=rf*F

<]ui , pour qu'en effet le contact du troisième ordre existe , doivent être satisfaites par les coordonnées du point commua entre les deux courbes.,

DES INDICATRICES DES DIVERS ORDRES DE CONTACT ENTRE DEUX SURFACES , ET DES CONDITIONS GÉOMÉTRIQUES AUXQUELLES DOIVENT SATISFAIRE DEUX SURFACES AYANT UN POINT DE CONTACT POUR Qu'eLLES AIENT UN CONTACT DU n**^ ORDRE