TOUT AUTOUR DE CE POINT

i. Supposons deux courbes (à double courbure ou planes) A et B ayant un point de contact m et en ce point un contact^ du n'^^ ordre (en d'autres termes n éléments rectilignes et successifs communs); désignons par dS Tare élémentaire suivant lequel ce contact existe entre les deux courbes.

Si Ton projette les deux courbes A et B sur un plan P quelconque , la projection étant déterminée par des droites parallèles entre elles, perpendiculaires ou

(*) Extrait du 25* cahier du Journal de l'École poly technique , féTrier 1837.

obliques au plan P, on obtiendra deux courbes A' et B' qui auront entre elles un contact de n*'^ ordre (car Ton pourra toujours choisir la direction du plan P, ou la direction des génératrices des cylindres projetants ^ de manière à ce que le contact ne soit pas au-dessus de Tordre n entre les deux courbes A' et B' ).

Désignons par dS' Tare élémentaire suivant lequel ce contact du n*^^ ordre est établi entre les deux courbes A' et B'; il est évident que l'arc dS' sera la projection de Tare dS.

Cela posé :

2. Au lieu de projeter les deux courbes A et B sur un plan P, projetons-les sur une surface 2;

Les nouvelles courbes A' ei B' seront les intersections de la surface I et des deux cylindres projetants ;

En conservant aux courbes A' et B' le nom de projections des courbes A et B iUr la surface 2, nous aurons encore Tare dS' pour la projection de l'arc cfS sur la surface 2.

3. Dès lors, imaginons deux surfaces 2 et 2, tangentes Tune à l'autre en un point m' et ajant tout autour de ce point un contact du n^ ordre ; si l'on trace sur ces deux surfaces arbitraires deux courbes A' et B' ayant un contact du n"^ ordre et passant par le point m', et une série de couples de courbes analogues arbitrairement tracées sur les deux surface, mais passant toutes par le point m', l'extrémité des arcs dS' formera une certaine courbe i.

Si ensuite l'on suppose deux nouvelles surfaces S et S' ayant un contact du ^ivhne Qf^p^ ^QQ^ autour de leur point de contact m , et si l'on trace sur ces deux surfaces deux courbes arbitraires A et B passant par le point m ; ces deux courbes auront entre elles un contact du n"^ ordre.

À. Si donc onsupposeque l'on projette ces deux courbes A et B sur les surfaces 2 et 2, par des cylindres dont les génératrices seront parallèles à la droite mm, on obtiendra pour les projections de la courbe A sur la surface 2 la courbe A', et sur la surface 2, la courbe A', , et pour les projections de la courbe B, sur la surface 2 la courbe B' et sur la surface 2, la courbe B',, et les quatre courbes A' et A', et B' et B', auront entre elles un contact du n*^* ordre ; l'arc élémentaire rfS', suivant lequel le contact du n'^^ ordre se trouvera établi entre ces quatre courbes , sera la projection de l'arc dS suivant lequel le contact du n*^"^ ordre est établi entre les deux courbes A et B.

5. De sorte que si l'on regarde la courbe S (qui limite la calotte superûcielle suivant laquelle le contact du n^ ordre est établi entre les deux surfaces 2 et 2, en contact par le point m') comme la base d'un cylindre dont les génératrices seront parallèles à la droite tnm', ce cylindre coupera les deux surfaces S et S' suiv^^nf

une courbe d' qui limitera la calolte superficielle suivant laquelle le contact du n*^ ordre est établi entre les deux surfaces S et S' en contact par le point m. Ce qui précède est vrai, quelle que soit la nature des surfaces 2 et 2,^

6. On pourra donc choisir pour 2 et 2, des surfaces r^lées; et il est évident que si deux surfaces réglées [ ou toutes deux développables, ou toutes deux gauches (^) ] ont un contact du n*^^ ordre tout le long de la|[énératrice de contact ^ c^est qu'elles ont entre elles (n + 1) génératrices droites successives et infiniment voisines communes; dès lors, la courbe d n'est autre qu'une droite lorsque les deux surfaces 2 et 2, sont des surfaees réglées; et dès lors la courbe ii sera toujours une courbe plane , quelles que soient les deux surfaces S et S'.

Dans ce qui va suivre, nous donnerons aux surfaces 2 et 2. le nom de transformées géométriques des surfaces S et S'.

7. {Fig. 55.) Supposons une surface S; un point m de cette surface; et en ce point m le plan tangent T à la surface S.

Supposons que sur la surface S on ait tracé trois courbes A , B, D se croisant au point m.

Menons par le point m, et dans le plan T, une droite arbitraire G , et transportons, parallèlement à elles-mêmes, les trois courbes A, B, D en A,, B. , D, , le point m venant se placer successivement en les points arbitraires m\ m", m'" situés sur la droite G.

Dés lors les trois tangentes aj6f i des trois courbes A , B, D , pour le point m, seront venues se placer en les trois tangentes a,, €., d, aux courbes A,, B., D,, et ces trois tangentes a,, 6,, d. seront dans le plan T.

Gela posé :

8. Si Ton fait mouvoir une droite G sur les trois courbes A., B,, D., on engendrera une surface gauche 2, et qui sera telle que si l'en désigne par G, 9, 9, , gf., ^ly-^^Sfn^ les positions successives et infiniment voisines de la génératrice droite G , les deux positions voisines G et 9 seront dans le plan T.

De sorte que la surface gauche 2 est développable tout le long de la génératrice G ; ou , en d'autres termes , si par un point quelconque A: de G on fait passer une courbe arbitraire , mais tracée sur la surface 2, la tangente au point k à cette courbé sera située dans le plan T.

(*) Lorsque les deux surfaces seront gattehes , elles deyront avoir toutes deux le même plan directeur; alors elles appartiendront à la famille des eonotdei; ou bien elles devront avoir chacnne un cône^irectmr; les deux cônes^direcimêrs [éuni supposés avoir même sommet) devront avoir un contact du n*^^ ordre suivant leur génératrice de contact ; les deux surfaces gauches générales , auxquelles les cdnes-directeurs sont liés , ayant aussi un conUct du n*^**^ ordre siÛTant leur génératrice de contact.

Cela posé : .

9. Supposons que par les diverses génératrices 9, g,j g^, 9%^ ••"iSn successives et infiniment voisines de la surface 2, on fasse passer respectivement les plans P, P', P"', P'", ..., P» assujettis à être tous parallèles à la droite G.

Le plan P ne sera autre que le plan T, et coupera la surface S suivant le point superficiel m.

Et les plans P'» P'', P"', ..., P* couperont respectivement la surface S suivant les courbes C,, C„ C,, ..., C^*

On pourra donc considérer la surface S , comme engendrée par la courbe C. , se mouvant sur les trois courbes A, B, D (comme directrices) , et se modifiant en sa forme, pour se transformer successivement (pendant son mouvement) en les courbes successives el infiniment voisines C», C^, ...) C,^.

Ainsi y il est évident que lea deux surfaces S et 2 seroni respeclivement les iranrfarmées géométriques Tune de Tautre.

De sorte que si l'on trace sur la surface S une courbe U passant par le point m ; cetle courbe U coupant G, en k,, G, en m,, ..., G,^^ en u^, si, ensuite, par les di- ' . vers points successifs et infiniment voisins ti, , t^ , • .., u^^ de la courbe U , on mène des parallèles à la droite G, lesquelles viendront respectivement couper les génératrices droites g, en u/, g^ en «/', g^en u,"\ •••y*^» ^ ^t^'l I^ divers points u/^ Wf •••» tt." formeront une courbe U, tracée sur la surface 2, et la courbe U, sera la transformée géométrique de la courbe U.

iO. Supposons maintenant deux surfaces S et &' en contact au point m , et ayant en ce point m môme plan tangent T.

Imaginons la normale N au point m.

Par la droite N faisons passer trois plans arbitraires :

R coupant la surface S suivant la courbe A et la surface S^ suivant la courbe A'

/ Transportons les trois plans R , R', R" parallèlement à eux-mêmes ( avec les

' courbes qu'ils contiennent), le point m venant se placer successivement sur la

droite G (tracée arbitrairement dans le plan T) en les trois points arbitraires m f m j m^

De sorte que les courbes A et A' seront transportées parallèlement à elles-mêmes en A, et A/ ayant un point de contact en m'; les courbes B et B' seront aussi transportées parallèlement à elles-mêmes en B, et B/ ayant un point de contact en m" ; et les courbes D et D' seront enfin transportées parallèlement à ellesmêmes en D. et D/ ayant un point de contact en m'".

Gela posé , faisons mouvoir la droite G sur les trois courbes A. , B., D, , nous engendrerons la surface gauche 2.

Faisons mouvoir la même droUe G sur les trois courbes A/, B/, D/, nous en* gendrerons une seconde surface gauche l\

Et les deux surfaces J, et 1^ auront même plan tangent T tout la long de la génératrice commune G.

Cela posé :

Supposons que les deux surfaces S et S' aient tout autour du point m un contact du n*^"* ordre.

Il s'ensuivra (en >ertu de ce qui a été établi précédemment ) :

1** Que les courbes A et A', B et h' y D et D' ( situées sur les surfaces S et S') auront un contact du n^"^ ordre.

Que par conséquent :

2** Les courbes A. et A/> B, et B/, D, et D/ (situées sur les surfaces 2 et 2') auront aussi , respectivement, un contact du nf^^ ordre.

Que par suite :

S"" Les deux surfaces gauches 2 et 2' auront (n + i ) génératrices successives et infiniment voisines. G, g^ g\ , 9,..., g^^^ communes; et qu'ainsi ces deux surfaces 2 et 2' auront tout le long de là génératrice G ( et tout autour de chacun des points de cette génératrice G) un contact du n**^ ordre.

Et que dès lors :

A"" Les deux surfaces S et S' devront avoir le point superficiel m , et les (n — 1) courbes successives et infiniment voisines C,, Ci, C^..., C„, communes.

il. Démontrons maintenant queTon pourra toujours obtenir une surface S\ et du degré n , qui ait une osculation du degré n avec la surface S , tout autour du point m de contact y et telle que Tosculation ne soit que du degré n tout autour de ce point.

En effet :

Supposons que la surface S soit du degré p^ son équation étant 2=/p (a;, y). L'équation de la surface S' (osculatrice) sera z=F^ (x, y). Supposons que l'équation soit complète ; sans chercher le nombre de ses termes, et par suite le nombre des coefficients qu'elle doit renfermer^ remarquons que

pour l'équation du degré n à deux variables, on a [2n + 1+ 7" j coefficients

(comme on le verra plus loin); par conséquent, l'équation contiendra un

nombre q de coefficients , q étant > [ 2» •+• 1 + ^^^~ ) , ow ( sous une autre

forme) q étant> [!Ll^±ii|+ (n+ 1)].

Or, pour établir le contact du rC^^ ordre entre les deux surfaces S et S', il faut poser les équations suivantes (en supposant que Xf y^z sont les coordonnées du point m de contact )•

d.fp d:Fn d,fp __ d.Pn

dx r' dx '^ dy "^ dy

d'.fp (f,Fn d\fp d'.Fn cP./p ^ J.Fn Ar' "" (te* • dxdy "^ (tedy ' daf "^ dy" ' ^^^'

On devra donc poser :

(1 + 2 + 3+4+ + n) ëquationd, on ^ 7^ ^

équations au moyen desquelles on pourra déterminer j' coefficients de la

surface osculalrice S'; on pourra donc donner des valeurs arbitraires à q = — 21-

d'entre les coefficients de cette équation.

Et la surface S', ainsi déterminée , aura évidemment un contact du n**^ ordre tout autour du point m , avec la surface S ; et n'aura qu'un contact du nf*^ ordre , avec cette surface S» tout autour de ce même point m.

Gela posé :

L'équation d'une courbe du degré n est :

^y* + %""*+ ^y*"* +P!/ (îi) termes.

+ 9*"* (mx) 4 (1) termes.

+ y*"' (mx + nx') (2) termes.

0 1= ( ' -+- y»-» (m"a: + n V 4- (/«:') (3) termes.

+ i^--^""'^(m'"a; + nV4-9'x'+. . . . +rx'^') ... (» — 1) termes. + oi + Sx + yx^+ ix* (n-f-l) termes.

L'équation aura donc en tout :

2n+l + [l+2 + 3 + ....4-(n— 1)] termes,

ou \2n + 1 H ^ — 1 termes, ou, sous une autre forme, h '^^ j termes.

Et comme Ton peut toujours diviser tous les termes d'une équation complète

(3fi -I- •i*\ — T^-j coefficients on canstantes tarbiiraire$

dans Féquation générale d'une courbe du degré n.

Une courbe du degré n sera donc déterminée en général lorsque l*on se don- — —- j conditions (points ou tangentes ).

i2. Si les deux surfaces S et S' ontuncontact dun'^^ ordre (lout autourdu point de contact m) , il faudra qu'elles aient une cowbe G^ (de l'ordre n) commune.

13. Cherchons maintenant le degré de la courbe C« (de Tordre n).

Supposons une surface du second degré 0, tangente en m à la surface S, et supposonjs que cette surface 0. ait avec la surface S un contact an deuxième ordre (tout autour du point m).

Il est évident que , pour que ce contact existe , il faut que les deux surfaces S et O, aient une courbe C. (du deuxième ordre) commune. Or la courbe C, est plane, et un plan ne peut couper une surface du deuxième d^ré que suivant une courbe du deuxième degré ; ainsi la courbe C, sera dû deuxième degré.

Si l'on supposait une surface 0, du troisième degré tangente au point m à la surface S ; et si Ton voulait que les deux surfaces 0, et S eussent entre elles , et tout autour du point m, un contact du troisième ordre, il faudrait que ces deux surfaces eussent une courbe C, (du troisième ordre ) commune; et comme C, est plane, cette courbe ne pourrait être que du troisième degré.

Ainsi, pour que les deux surfaces S et S' aient entre elles un contact du n'*^ ordre, il faudra qu'elles aient une courbe G. (de Tordre n et du degré n) commune.

44. Remarquons maintenant que si les deux surfaces S et S' ont tout autour du point m un contact du vf*^ ordre, il s'ensuit que si par le point m je fais passer un plan arbitraire Q coupant la surface S suivant une courbe J et la surface S' suivant une courbe ï, leâ deux courbes J et J' auront un contact du n^*^ ordre, mais de plus, les deux surfaces S et S' seront tangentes Tune à l'autre tout le long de Tare commun aux deux courbes J et J'.

— ^l—i conditions

( points ou tangentes ) , le sera de la manière suivante :

Posons p=: — ~~ : Si p est pair , la courbe C. sera déterminée par ^points et I tangentes.

Si p est impair, la courbe C, sera déterminée pnr ^^ points et par ^^^ tangentes.

On en doit donc conclure que, si l'on se donne ^ ou ^-^ points, de la courbe

C^, et que par le point met chacun de ces points on fasse passer un plan, les^

OU ^^^ courbes obtenues, soit sur la surface S , soit sur la surface S', auront

entre elles et au point m un contact du n'^^ ordre.