On peut donc énoncer le théorème suivant

Pour que deux surfaces S et S' aient entre elles un contact du n*^"*' ordre , tout autour de leur point de contact m , il faut que ces deux surfaces aient un contact du n*^'

ordre suivant ^ ( si p est pair ) ou ^—^ ( si p est impair ) directions arbitraires (planes ou à double courbure) â partir du point m rp étant d'ailleurs égal à — ^~)' Si 11= 1, on trouve p =2; d'où 5 = *-

Sin=2, on trouve ps=35; d'où^-^ =3, etc.

Ainsi, pour le contact du premier ordre, il suffit que les deux surfaces S et S' aient un contact du premier ordre dans une seule direction arbitraire; pour le contact du deuxième ordre , il faudra que les deux surfaces S et S' aient un contact du deuxième ordre suivant trois directions arbitraires.

16. Nous devons remarquer que les divers plans des courbes G,, G,..., C^\ étant tous parallèles à la droite G, ont pour surface enveloppe une surface cylindrique H, dont les génératrices seront parallèles à la droite G (*)•

17. Au lieu de transformer la surface S en une surface gauche ayant trois directrices courbes, nous pouvions la transformer en une surface gauche ayant un plan directeur.

En effet, nous pouvions dans le plan tangent T mener par le point m une droite arbitraire G, et transporter parallèlement à elles-mêmes les deux sections A et B en A. et B., et faire mouvoir la droite G parallèlement au plan T, et en s'appuyant sur les deux directrices courbes A^ et B,.

Dès lors les courbes telles que G,, G,..., G» seraient toutes situées dans des pians parallèles entre eux et au plan T.

(*} Noos Terrons plus loin quelle eit la loi géométrique et infinitésimale à laquelle sont soumis les angles que les plans des courbes C , €,, etc. font arec le plan tangent T.

Cette nouvelle maaière de transformer géométriquement la surface S en un ennoïfle 9 nous conduira à quelques résultais géométriques nouveaux.

Il est évident que les divers résultats précédents s'obtiendront, soit en considérant la surface 0 , soit en considérant la surface 2 comme la transformée gécmér trique de la surface S.

Mais en considérant la surface 0, les courbes C,, G,... , G» sont dans des plans parallèles au plan T tangent à la surface donnée S et au point m.

18. Dès lors , de ce qui précède, Ton peut facilement déduire ce qui suit :

1° Si en un point m d*une surface S on mène une tangente i à cette surface, puis que l'on fasse mouvoir la droite I parallèlement à elle-même, de manière à ce qu'elle engendre un c}'lindre U tangent à la surface S suivant une courbe y.

On pourra toujours concevoir le cylindre U comme étant Penveloppe de Tespace parcouru par le plan T mené tangenticllement en m à la surface S , ce plan se mouvant parallèlement à la droite t.

On pourra dès lors concevoir que le plan T prenne les positions successives et infiniment voisines T., T,, T,... , T^(*).

On pourra concevoir aussi que par la droite i on mène une suite de plans sécants P., P., P,... , P, respectivement parallèles aux plans T,, T,, etc.

Or ^ il est évident , d'après ce qui précède , que le plan P. sera, par rapport au plan T,, un plan sécant du deuxième ordre ; que P. sera, par rapporta T,, un plan sécant du troisième ordre , et ainsi de suite.

Dès lors on voit que les plans sécants (successifs et infiniment voisins) , menés par la tangente t, couperont la surface S ; savoir :

P, suivant une courbe du deuxième degré;

P, Suivant une courbe du troisième degré , et ainsi de suite.

2"" Étant donnés une surface S , le plan tangent T à cette surface et au point m; si l'on prend sur le plan T un point arbitraire a, et que l'on fasse rouler le plan T sur la surface S , de manière à ce que ce plan passe toujours par le point a , Ton aura pour surface enveloppe de l'espace parcouru par ce plan T un cône D tan» gcnt à la surface S suivant une courbe d, et dont le point a sera le sommet.

Désignant par T., T,^ T,..., T^ les positions successives et infiniment voisines de l'enveloppée T, si par le point m on mène une suite de plans P, , P., P,..., P» respectivement parallèles aux diverses positions successives du plan T, tous ces plans sécants envelopperont une surface conique ayant son sommet au point m, et qui sera parallèle au cône D ayant son sommet au point a.

(*) FYous donnerons plus loin la loi géométrique et infinitésimale à IftqoelYe eet plans suceeisifs et infiniment voisins sont soamis.

En d'autres termes ^ si Ton fait glisser le côoe D parailèlemeDt à lui-même ^ de manière à ce que son sommet a se transporte en m, en oette nouvelle position le cdne D sera l'enveloppe des plans sécants P,, P,, etc. ; et, en vertu de ce qui précède ,

Le plan P. coupera la surface S suivant une courbe du deuxième degré ;

Le plan P, coupera la surface S suivant une courbe du troisième degré , et ainsi de suite.

3"" Étant donnés une surface S, un point m de cette surface, un plan langent T en m à cette surface ; si Ton fait rouler le plan T sur la surface S d'une manière arbitraire, ce plan engendrera une surface développable M ; et si par le point m on mène une suite de plans P, , P,, etc., respectivement parallèles aux diverses enveloppées T,, T, , etc., ces plans sécants seront les enveloppées d'un cône K ayant son sommet en m.

Le plan P, coupera la surface S suivant une courbe du deuxième degré.

Le plan P coupera la surface S suivant une courbe du ti^oisième degré, et ainsi de suite.

La réciproque du théorème énoncé n"* 3 n'a pas toujours lieu. Ainsi Ton ne pourra pas dire :

4* Et vice versa , étant donnés une surface S, un point m de cette surface , le plan T tangent en m à la surface S , on peut regarder le point m comme le sommet d'un cône arbitraire N ayant une de ses génératrices tangentes en m à la surface S. Le cône N pourra être regardé comme l'enveloppe de l'espace parcouru par le plan T, lequel prendra, successivement en tant qu'enveloppée du cône N les positions successives et infiniment voisines P,, P., etc. Or, en faisant rouler le planT sur la surface S de manière à ce que ce plan prenne les positions successives et infiniment voisines T, parallèle à P| , T, parallèle à P, , etc. (ce qui est toujours possible), ce plan aura pour enveloppe de l'espace qu'il aura parcouru une surface développable dont les génératrices droites successives seront respectivement parallèles aux génératrices droites successives du cône N. Donc : le plan P. coupera la surface S suivant une courbe du deuxième degré; le plan P, coupera la surface S suivant une courbe du troisième degré, et ainsi de suite.

Car, évidemment , ce qui précède ne pourra avoir lieu qu'autant que le cône N sera parallèle à l'une des surfaces développables que l'on pourra engendrer en faisant rouler le plan T sur la surface S d'une manière arbitraire ; ce que Ton doit entendre, évidemment, de la manière suivante, savoir : que le point de contact de la surface S et du plan mobile T, sera situé sur une courbe géométrique tracée arbitrairement sur la surface S.

5* Étant donnée une surface S du d^ré n , on voit , par ce qui précède , que ce sera ic plan sécant P^...) de l'ordre (n — 4 ) qui , le premier, la coupera suivant une courbe du n'^*^ degré ; de sorte que tout plan sécant infiniment voisin , ou situé à distance finie (mais au delà) de ce plan P^».^^ , coupera toujours la surface S suivant une courbe du degré n.

19. Si Ton suppose une surface du second degré 0, tangente à la surface S au point m, et si l'on suppose que les deux surfaces S et 0, ont un contact du deuxième ordre tout autour du point m , il faudra que la courl)e C, du deuxième degré soit commune aux deux sur&ces. Les deux surfaces seront sécantes Tune à Fautre suivant la courbe €«.

(Les deux surfaces S et O^ ayant un contact du degré n tout autour du point de contact m, auront une courbe C. du degré n commune, et les deux surfaces S et 0^ seront tangentes Tune à l'autre suivant la courbe C. si n est impair, et se couperont suivant la courbe G^ si n est pair.)

Mais cette section conique G, sera la section faite dans une surface du second degré 0, par un plan parallèle au plan tangent T en un point m de cette surface O,.

Or, si nous recherchons l'espèce de cette courbe C,, on voit de suite que, si l'on suppose que la surface 0. est 1* un ellipsoïde , 2* un paraboloîde elliptique, 3"" un hyperboloide à deux nappes , la courbe G. sera toujours une ellipse.

Et 4* un hyperboloide à une nappe, 5'' un paraboloîde hyperbolique , la courbe G' est toujours une hyperbole.

Ainsi la courbe G, ne sera jamais une parabole.

C'est à cette courbe G. que Ton a donné le nom ^indicatrice.

20. Si Ton considérait une sur&ce 0,du troisième ordre , on doit penser que la courbe G, du troisième degré , qui devra prendre le nom d'mcficalriee du troisième ordre» ne pourra être que Tune ou l'autre d*entre un certain nombre des courbes du troisième d^ré, tout comme Vindicairice du deuxième ordre n'est que l'une ou l'autre des deux sur les trois courbes qui composent la famille des sections coniques.

Pour déterminer G, , il faudrait connaître les diverses surfaces qui composent la famille des surfaces du troisième degré , et voir la nature de la section faite dans chacune d'elles par un plan parallèle à un plan tangent mené en un point arbitraire de chacune de ces surfaces.

21. Ne doit-on pas être porté à croire que , de même que pour une surface S (quelconque) Ion est parvenu à trouver une relation entre la direction de ses lignes de courbure et celles des paramètres de la courbe G, indicatrice du deuxième ordre, de même on doit parvenir à trouver certaines relations qui doivent néces*

sairement exister entre les directions de certaines courbes tracées stir la surface S et se croisant au point m , et celles des paramétres de la courbe C,, indicatrice du îroisième ordre ?

Ne doit-on pas être porté à croire que y de même que lorsque deux surfaces S et S' ayant un point de contact m, et ayant entre leurs deux lignes de courbure un contact du deuxième ordre, elles ont un contact du deuxième ordre tout autour du poiiit m , et que dés lors il suffit que le conlâct du deuxième ordre sub*siste entre deux courbes seulement (et non entre trois , comme cela doit avoir lieu en général) si ces deux courbes sont les lignes de courbure; de même aussi, pour le contact du troisième ordre, au lieu d'avoir, en général , à établir le contact du troisième ordre entre deux surfaces suivant cinq directions planes ou à double courbure, un moins grand nombre de directions seraient probablement nécessaires, si- elles n'étaient point planes ou arbitraires, mais dirigées suivant certaines courbes à double courbure? Il est probable que ces directions remarquables seraient données par certaines courbes tracées sur le plan de l'indicatrice, lesquelles courbes seraient conjuguées entre elles par certaines conditions , ainsi que cela a lieu pour les diamètres de Tindicatrice du deuxième degré, lesquels satisfont à la condition de se couper à angle droit, et d'être dès lors les axes de cette indicatrice.

De la bi géométrique et infinitésimale à laquelle sont soumis les plans des indicatrices

des divers ordres de contact.

22. Considérons deux courbes C et C en contact par un point m ; imaginons la tangente ( commune et la normale N commune aux deux courbes.

Prenons les droites t et N pour axes des coordonnées, t étant l'axe des x et M celui des y.

Les équations des deux courbes étant pour la courbe C, y=:/(x), et pour la Courbe C, y = F(^')- En développant par la formule de Taylor, on aura :

Y = y + dy + d'y -j- (Py 4" •••• P®^ I* courbe C

Y' = y' + dy* + (fy' + dV+ .... pour la courbe G

En vortu de ce que les deux courbes ont un point commun m et même tangente t en ce point, et de ce que les droites N et t sont les axes des coordonnées, on aura :

y = y s= 0 et dy ^d^ :^0

En sorte que les deux développements se réduisent à :

Y = d'y + tf y -h .... -|- eTy + ...

Y'=d'y'+dy+.... + ^^3^+....

ËDcetétdt, les deux courbes ont un contact du premier ordre. Si Ton veut que les deux courbes aient un contact du second ordre, il faudra que (fyzzid'y \ et alors on voit que Tare élémentaire dS, suivant lequel ce contact sera établi entre les deux courbes , se projettera sur la normale N suivant une droite infiniment petite et égale à d'y.

Pour le contact du troisième ordre, il faudra poser ;

cf y = d'y et d^y = dy

et Tare élémentaire dS', suivant lequel ce contact sera établi entre les deux courbes, se projettera sur la normale N suivant une droite infiniment petite et égale à d'y + tfy» et ainsi de suite.

Par conséquent , si de l'extrémité de chacun des arcs de contact , dS du deuxième

ordre, dS' du troisième ordre , dS" du quatrième ordre , dS^"""^ du n^^^ ordre,

on abaisse des perpendiculaires sur la normale N , ces droites (étant désignées , la première par d, la seconde par d\ etc.) seront parallèles et distantes les unes des autres de la manière suivante :

La droite d sera distante de la tangente t de la quantité d'y

— d' — de la droite d — d^y

et ainsi de suite.

23. Cela posé, il est évident que, pour deux surfucesS etS'en contact par un point m, on aura des résultats analogues; ainsi, prenant le plan tangent T commun pour plan des xy et la normale N commune pour axe des 2, on voit de suite que les plans des indicatrices des divers ordres de contact seront soumis à la loi suivante :

Le plan P, de l'indicatrice du 2' ordre G. sera distant du plan tangent T de d^%

— P. — du 3* ordre C, — sécant P. de d'à

— P, — du 4* ordre C, — P.ded^a et ainsi de suite.

H. Charles Dupin, le premier, dans ses Développements de Géométrie ^ ensuite M. Navier; dans ses Leçons lithograplUées pour l'École polytechnique, et

d'autres géomètres , avaient démontré, par des méthodes différentes de celle que j ai suivie, que Tindicatrice du second ordre était du deuxième degré et plane, et que sou plan était situé à une distance infinitésimale du second ordre du plan tangent et lui était parallèle ; mais on s'était arrêté là.