En s'appuyant sur le théorème précédent , savoir

Que des plans parallèles au plan tangent, et distants entre eux, conformément à la loi infinitésimale, coupent une surface donnée et du degré p, suivant des courbes qui sont du deuxième, du troisième , du...., du p*^"^ degré, on peut arriver à un théorème général qui peut être énoncé ainsi qu*il suit :

Désignant par Cp la courbe {du p*^""^ degré) section d'une surface S {du degré p), par un plan Pp., distant du plan T ( tangent en un point m de la surface S ) de la quantité (d^z + d^z + '..* + d'^z ), ^t Con prend sur la normale N , menée au point ni de la surface S , un point a dont la distance au point m varie depuis zéro jusqu^à (d'z + d^z + ....+ d'z), et quon regarde chacun des points a comme le sommet cTun cône ayant pour base la courbe Cp , tout plan tangent à ces différents cônes coupera la surface S suivant une courbe du degré p.

En effet, nous avons vu que l'on pouvait prendre pour la transformée géométrique de la surface S une surface réglée ( développable ou gauche) ;

Et nous avons été conduit a transformer ainsi la surface S, parce que nous savions que deux sur&ces réglées qui avaient une génératrice droite commune et un contact du p'^^ degré tout le long de cette génératrice , avaient nécessairement p + i génératrices droites communes et infiniment voisines; et c'e^t ainsi que de cette propriété remarquable des surfaces réglées en contact, savoir que -pour elles la limite de la calotte superficielle de contact était une droite, on a conclu que la limite de la calotte superficielle de contact pour deux surfaces quelconques était une courbe plane.

En prenant pour la transformée géométrique de la surface S un conoîde (une surface gauche ayant un plan directeur) , nous avons été conduit à reconnaître que les plans parallèles au plan langent, et successifs et infiniment voisins, et soumis à la loi infinitésimale donnée par la formule deTaylor, coupaient la surface S suivant des courbes successives du deuxième, du troisième, du...., du pitm* degré ( la surface S étant du degré p).

Mais, précédemment, en prenant pour transformée géométrique de la surface S une surface gauche 1 ayant un cône directeur, nous avions remarqué que les

différents plaos successifs et infiniment voisins enveloppaient une surface cylindrique dont les génératrices étaient parallèles à la droite G arbitrairement tracée dans le plan tangent T et passant par le point m de contact du plan T et de la surface S.

Désignant la section droite de cette surface cylindrique par d, on reconnaît de suite que celte courbe i peut prendre une infinité de formes. Cnr la surfnce I peut varier de forme ; soit en changeant les positions respectives des points m\ m\ m"'\ soit en choisissant des courbes autres que celles A, B, D, mais toujours tracées sur la surface S.

25. \ulieu de prendre d'aune surface gauchegénéraleà trois directrices courbes (ou en d'autres termes ayant un cône directeur ), 2"* une surface conoide, on aurait pu prendre 3° une surface développable, et ainsi 4* un cône; alors, traçant dans le plan T, tangent au point m de la surface S donnée, une droite arbitraire G (mais passant par ce point m) et prenant sur cette droite G un point arbitraire a y on aurait pu considérer ce point a comme le sommet d'un cône K tangent à la surface S suivant une courbe y, et ce cône K aurait pu être rc^gardé comme la transformée géométrique de la surface S.

Ainsi , étant données deux surfaces S et S' en contact au point m et ayant tout autour de ce point m un contact du p*^^ ordre , les deux surfaces coniques K et k' ayantmèmesommet a et tangentes, la première K à la surface S suivant la courbe y, et la seconde K' à la surface S' suivant la courbe y', auraient été les transformées géométriques des surfaces S et S' ; et il est évident que les courbes y et y auraient eu un contact du p**^ ordre, et que les deux cônes K et K' auraient eu p + 1 génératrices droites successives et infiniment voisines G, g^ g\ g'^^'j g^^ qui leur auraient été communes.

Dès lors le plan mené par les deux génératrices successives et infiniment voi« sines ^et G n'aurait été autre que le plan tangent T ; et le plan

P, mené par les génératrices 9' et Gaurait coupé la surfaœ S suivant la courbe Gj qui serait du 2" degré P» — ~ jf'etG — — — G» — 3*d^ré

P» - — j"'etG -. — — G* — 4* degré

et ainsi de suite.

26. Cela posé, on voit de suite que, dès lors, le plan P. ou P, ou etc. qui coupe la surface S suivant une courbe du deuxième ou troisième ou etc. degré, peut prendre une infinité de positions infinitésimales par rapport au plan tangent T :

En ce sens , que- le plan P. ou P, ou P, etc. fait avec le plan tangent T un angle variable, mais toujours infiniment petit; un angle dont la tangente peut varier entre certaines limites infinitésimales.

Nous allons chercher à déterminer ces limites.

27. Au point m de la surface donnée S (fig. 56 et 57) , concevons le plan tangent Ij et dans ce plan deux droites X et Y se croisant à angle droit en ce point, puis la normale Z au point m de la surface S.

Par un point nt! arbitraire et si lue sur la droite Y, concevons un plan parallèle au plan ZX.

Ce plan sécant coupera le plan T suivant une droite X' parallèle à X, et le plan XZ suivant une droite Z' parallèle à Z.

Imaginons ensuite un cylindre tangent à la surface S, les génératrices de ce cylindre enveloppe étant parallèles à la droite Y ; ce cylindre touchera la surface S suivant une courbe à double courbure y, et sera coupé par le plan ZX suivant une courbe y tangente en m' à la droite X'.

Cela posé :

Prenons sur la droite Y un point arbitraire n {fig. 56 ) , pour le sommet d'un cône tangent à la surface S suivant une courbe à double courbure S.

Ce cône sera \di transformée géométrique de la surface S.

Si donc nous supposons que deux surfaces S et«S' aient un contact du vf^^ ordre toutautQur de leur point de contact m, les deux cônes ayant même sommet en n et enveloppant, le premier la surface S et le second la surface S\ toucheront, le premier la surface S suivant une courbe 6, le second la surface S' suivant une courbe 6„ et les deux courbes 6 et 6, auront entre elles un contact du it^'^ordre, aupoinitn.

Ces deux cônes auront donc entre eux (n + i) génératrices droites successives et infiniment voisines communes , etc. , etc.

Et il faudra aussi que les deux courbes y et y, suivant lesquelles s'établit respectif vement le contact des deux surfaces S et S', avec les cylindres enveloppes , dont les génératrices sont parallèles à la droite Y, aient entre elles un contact du iC*'^ ordre.

Si donc nous supposons que md soit Tare élémentaire du contact du second ordre entre les deux courbes à double courbure y et y,, l'arc ma sera aussi l'arc élémentaire du contact du second ordre , entre les deux courbes planes y et y',.

Et le plan mm' a coupera la surface S suivant une courbe a et la surface S' suivant une courbe a, , qui auront entre elles un contact du second ordre.

Ce plan mm' a coupera la courbe 6 en un point q^ tel que l'arc mq sera l'arc élémentaire du contact du second ordre existant entre les courbes 6 et €,.

Et ce plan mm'aj que nous désignerons par P., fera, avec le plan tangent T, un angle infinitésimal mesuré par l'angle am'b.

Or, en projetant l'arc m'a sur la droite X', on aura :

toDg am'6 =: -rr

ffia

El en supposant la surface S rapportée aux axes X, Y, Z, on a : ab^ssitz, et désignant l'angle amb par 9. et mb par X, j on aura :

tange.=: —

On voit de suite que, pour le contact du troisième ordre ^ on aurait :

tangô, = — ^

et ainsi de suite.

28. On doit remarquer que si Ton suppose que par le point i/ on mène un plan parallèle au plan tangent T, on coupera la surface S suivant la courbe C, indicatrice du second ordre, et que le plan mm a sera tangent au cône ayant son som^ met en m et ayant pour base la courbe G,.

Et comme dans le plan tangent T on peut prendre une inûnité de droites telles que Y et X , on doit en conclure que :

Tout plan tangent au cône ayant son sommet en un point m dune surface S ei pour base la courbe C^ section de la sur/ace S par un plan parallèle au plan tangent T en m , et mené à mie distance ( d'z + d^z + ..... + d'z ) de ce plan T, coupera la sur^ face S suivant une courbe du degré n .

29. Fîjr.57. Si, maintenant. Ton suppose que Ton fasse rouler sur lasutface S le plan tangent T, ce plan engendtwa une surface développableA ayant pour courbe de contact , avec la surface S , une courbe à double courbure 6.

Cette surface développableA sera coupée par le plan Z'X^ suivant une courbe d tangente en r à la droite X'.

Cetteconrbedvarieradeformesuivâùllaloidumouvementimpriméau plan T.

30. En vertu de ce qui a été dit pks haut , on voit que si Tare md est Tare élémentaire du contact du second ordre existant entre les courbes y et y, , Tare m'a sera aussi Tare élémentaire .du second ordre existant entre les courbes y et y\ ; et que Tare rr sera Tare élémentaire du contact du s^econd ordre entre les courbes d et di ; et que le.planpiNf parallèle à la droite Y et tangent en r à la courbe S , coupera la courbe g «n ufi point q et la surface S suivant une courbe a, de telle sorte que Tare mq sera Tare élémentaire du contact du second ordre entre les courbes « et «, ; et que la droite qr sera une génératrice de la surface développâble transformée géométrique de la surfafce S.

De telle sorte , encore^ que les deux surfaces développables enveloppant , Tune la surface S, l'autre la surface osculatrice S', auront un élément superficiel de contact de second ordre compris entre les deux génératrices droites successives et infiniment voisines qui leur sont communes, savoir : Y et r'q.

3i. Le plan coupant la surfeee S suivant la courbe <x fera, avec le plan tangent T, un angle égal à Tangle mpa^ et en emi loyant la notation précédente, mais représentant bp, par R,, on aura :

et

(Tz + éPz tange,= — ^ —

et ainsi de suite.

32. Si au lieu de prendre pour transformée géométrique de la surface S une surface développable , on prenait une surface gauche, on obtiendrait des résultats identiques.

33. Ainsi on peut conclure de tout ce qui précède que, si l'on coupe une surface S par un plan tangent à la courbe C. ( indicatrice du n^*^ ordre , et dont le plan est paraHèle au plan T tangent au point m de la surface S), ce plan coupera la surface S suivant une courbe du degré n si la tangente de son inclinaison sur le plan T est égale à :

R. étant compris entre l'infini et X^ (^); se rappelant, d'ailleurs, que X^ est la projection sur le plan T de Tare élémentaire du contact du n**^ ordre de la courbe y. Ainsi le théorème énoncé précédemment se trouve démontré.

S IV

34. L'on n'a considéré jusqu'à présentque le contact qui existe entre deux surfaces par un seul point; il ne serait peutrèiré pas sans intérêt d'examiner ee qui doit arriver pour le contact existant entre deux surfaces tout le long d'une courbe.

(*) Fig. 53. Si Ton projette la courbe G, anr le plan T. On voit que si Ton mène aux points d, d„ etc. de cette courbe des Ungentes I , t,, etc., et que du point m on abaisse des perpendiculaires X , X,, etc. sur ces tangentes, leurs divers pieds a^,a, , etc., formeront une courbe >, , dont les divers rayons vecteurs ma , ma, , etc., représenteront ce que nous avons désigne par X,.

Ainsi Ra variera entre IMnfini et les rayons vecteurs Xn de la courbe >«.

Ainsi , si Pon suppose un plan sécant infinitésiinal ( du danxième ordre ) parallèle à la dreite Y, son inclinaison sur le plan tangent pourra varier de manière à ce que R, prenne tontes les valeurs comprises entre l^infini et lL^=zma. Si ce plan sécant est parallèle à la droite Y., R, pourra varier depuis l'infini jusqu'à X, -= ma,.

Et ainsi de suite.

11 sera facile de traduire en analyse les divers rànltats géométriques auxquels nous avons été conduit en employant la méthode des projections.

Cette dernière que&Uon n'a encore été résolue que pour les surfaces réglées ayant une génératrice droite commune.

35. Supposons sur une surface S une courbe arbitraire A. Faisons rouler sur cette surface un plan tangent T de manière à ce qu'en ses diverses positions son point de contact avec la surfaceS soit situé sur la courbe A. Dans son mouvement, l'enveloppée T engendrera une surface développable 2., ayant pour arête de rebroussement une courbe a.

La courbe A ne sera pas, en général » une développante de la courbe a; cela n'aura lieu qu'autant que la courbe A sera une ligne de courbure de la surface S.

36. Concevons les diverses génératrices G, G', G", ... de la surface 2, lesquelles couperont respectivement la courbe A aux points m, m'j m', ... et toucheront Tarète de rebroussement a aux points 6, b'j b"....

Imaginons aux points m, m', m% ... les normales N, M', N", ... de (ji surface S ; puis traçons dans le plan T, tangent en m à la surfaceS, deux droites x et j^, se croisant en m, et étant l'une la tangente de la courbe A, «t l'autre la tangente conjuguée^ qui, comme on le sait, ne sera autre que la droite G.

Supposons que pour les divers plans, T' tangent en m', T" tangent en m\ ... on ait fait les mêmes constructions.

Gela posé :

Si Ton rapporte la surface S aux trois axes x, y, N (la normale N à la surfaceS étant l'axe des 2), son équation sera :

Si l'on suppose que la surface S (au moyen des formules de transformation des coordonnées) soit rapportée aux trois axes x', y\ N' ( le point m' étant la nouvelle origine des coordonnées ) , son équation sera :

Pour le point m'' on aura :

^' = ?. (af\ y') et ainsi de suite : *

En vertu de ce que les points m, m', m", ... de la courbe A se trouvent successivement être l'origine des coordonnées, et de ce que les plans tangents en ces points de la surface S sont aussi successivement les plans des x'y, des x Y'? 6tc... on aura :

mais, en général, l'on n'aura pas :

drz=drx!=drz" = ...

37. La série des normales N , N'^ N", ... formera en général une surface gauche , à moins que la courbe À ne soit une ligne de courbure de la surface S , auquel cas la surface $, lieu des normales, sera une surface développable^ qui deviendra un plan lorsque la courbe À, étant une ligne de courbure de la surface S, sera plane.

38. Si Ton trace sur la surface 1 une courbe D qui soit une développante de Tarêtede rebroussement a , on pourra concevoir les diverses normales à la surface 2 aux divers points de la courbe D.

Ainsi la courbe D coupant la droite G au point cf. G' au point d', G" au point d'\ ... on aura, en ces points, les normales it, n', n\ ... à la surface 1 qui formeront une surface dévelo|)pable 2,, ayant pour arête de rcbroussement une courbe a,. Les droites n, N — n', N' — n", N" — ... seront respectivement parallèles.

Cela posé :

39* Si Ton suppose deux surfaces S et S' en contact tout le long de la courbe A et que Ton suppose que le contact soit du 2* ordre tout le long de celte courbe, on peut se demander quelle sera la ligne qui limitera la calotte ou zone superficielle et élémentaire par laquelle ce contact s'établit entre ces deux surfaces.

40. Imaginons que Ton mène un plan P parallèle au plan T et à une distance d^z du point m et comptée sur la normale N, ce plan P coupera les deux surfuces S et S' suivant une courbe G, du second degré, laquelle limitera la calotte élé mentaire du contact du deuxième ordre existant au point m , entre les surfaces S et S'.

Il en sera de m'ême pour les plans, P' au point m', P"au point m" y etc., et toutes ces courbes du second degré G,, C\, G"., ... par leur ensemble formeront la zone élémentaire entre laquelle le contact du deuxième ordre existe entre les deux surfaces S et S' et tout le long de la courbe A.

41. Lacourbequi limite la zone élémentaire ne sera pas donnée par les intersections successives des courbes G,, G'., G",, ... quelque rapprochées qu*on suppose les normales N, N', N", ... car on doit remarquer que la courbe C. (qui , comme on le sait , a un système de diamètres conjugués parallèles aux droites a; et ^ , que nous avons tracé sur le plan tangent T ) se meut d*abord dans le plan P, son centre parcourant une droite infiniment petite parallèle à la droite x{x étant la tangente au point m à la courbe A) ; eMuite que le plan P s'incline pour passer en la position P', où il se trouvera perpendiculaire à la normale N' infiniment voisine de

N , et enfin que dans ce plan P' la courbe G, se transforme en la courbe G'.; de sorte que Ton voit que les courbes G, et G', pourront, en général, ne pas se couper. 42. Dès lors on voit que la courbe qui limitera la zone élémentaire de contact sera donnée par Tintersection de la surface S et d'une surface H qui sera , en gé néral , gauche et engendrée de la manière suivante.

Portons sur la normale N la distance d^% on aura le point o

— N' — dV — o'

— N" — d^i' ~ o" et ainsi de suite,

Les points o, o\ o',... détermineront une courbe I tracée sur la surface gauche * formée par les normales N, N', N'\...

Par le point o on mènera la droite g parallèle à G

— 0 — gf ^ G

et ainsi de suite.

La série des droites g^ g, g'\... formera la surface H.

43. On doit voir de suite que les droites g^ g'j g\ etc. ne sont autres que les diamètres des courbes G,, G'., G".,... conjugués des diamètres (de ces mêmes courbes), qui sont parallèles aux tangentes x^ Xj x\-.. de la courbe À.

44. En sorte que la courbe ^ intersection de la surfaces et de la surface gauche H, laquelle courbe /ui limite la zone élémentaire suivant laquelle le contact du 2* ordre s'établit entre les deux surfaces S et S' tout le long de la courbe À, sera le lieu des extrémités des diamètres des courbes G,, G'^, G",,... parallèles aux axes y, y , » , etc.

45. Et comme les plans P, P', P",... des courbes G., G'., G''.,... sont respectivement perpendiculaires aux normales N^ N', N",.** on ^oit de suite que la courbe |x ne peut être Tenveloppedes courbes G,, G',, C",,... qu'autant que la surface H sera développableet sera, dès lors, Tenveloppe des plans P, P\ P'', etc.. ou en d'autres termes, qu'autant que l'on aura (/"«zzicfs =dV=...(l) à moins que la surfaces ne soit un cylindre, auquel cas la surface H serait un cylindre (serait donc une surface développable sans que les équations (1) soient satisfaites )•

46. Lorsque, en général, les équations (i) seront satisfaites, on doit voir de suite que la courbe ^ coupera orthogonalement les normales N, N', N'', etc., et se projettera au moyen des droites 9, g\ g^\ etc. sur la surface 2^, suivant une développante de l'arête de rebroussement a. de cette surface 2,.

47. Or, lorsque d'«=d';s'=:rf'z"=.., on voit 9e suite encore que les courbes C., G',, G", ,... sont identiques; que dès lors la surlace S doit avoir même rayon de

ooiirbure maximum tout ie long de la courbe À , et aussi même rayon de courbure minimum tout le long de cette même courbe A.

48. On pourrait demander quelle sera la surface la plus simple qui aura avec une surface S un contact du 2* ordre et tout le long d'une courbe A, arbitrairement tracée sur cette surface donnée S.

D'après ce qui précède , il est évident que si Ton considère les diverses surfaces du 2* ordre osculatrices à la surface S aux différents points m, m\ m",.** ^^ '^ courbe A , et si l'on suppose que les axes de ces surfaces sont respectivement pour la surface osculatrice au point m,

C=K(rj8. a=\/rC; h=VfjC.

(K étant un coefficient constant, r et R étant les rayons de courbure , le 1*' maximum , le 2* minimum de la surface S pour le point m). Et pour la surface osculatrice au point m :

C'=Kirji'; a'=\/?C', h'^V'KG.

Et ainsi de suite :

Les sections coniques obtenues dans les surfaces osculatrices par les plans normaux menés successivement par les droites G et N, G' et N', G'' et N",.., formeront la surface la plus simple que Ton puisse construire.

Applications de ce qui précède à divers exemples .

49. Supposons l"" que la surface S est une surface de révolution, un ellipsoïde par exemple.

Supposons que la courbe A soit yn parallèle. La surface aura en chacun des points du parallèle A , des rayons de courbure maximum égaux et aussi des rayons de courbure minimum égaux.

Il est bien évident que Ton aura :

La surface 1 sera un cône droit ayant son sommet, sur Taxe de rotation de la surface S , en un point q.

Si Ton descend cette surface conique 2 parallèlement à elle->mème, son sommet q se transportera en q' sur Taxe de.rotation, et de telle sorte que

fz

qq'=

(a étant le demi-angle au sommet du cône 2). En cette nouvelle position le cône cou|)era la surface de révolution S suivant un cercle. Évidemment il en serait de rnftme si Ton descendait le sommet q du cône 1 en un autre point q" tel que :

qq =

cosa

Ainsi : la courbe limite de la zone élémentaire du contact du n' ordre » entre deux surfaces de révolution qui ont même axe de rotation ^ sera toujours un parallèle (un cercle). . 50. Supposons-2" que la surface S est encore une surface de révolution , mais prenons pour la courbe A , un méridien de cette surface S.

Alors la surface 1 devient un cylindre.

Alors la surface H est aussi un cylindre , mais la courbe fi n'est pas une courbe parallèle à la courbe méridienne A.

Ainsi , dans ce cas, la surface H est développable , mais non enveloppe de Tespace parcouru par les plans P, P', P"^... comme cela avait lieu dans le premier cas.

51. Supposons 3* que la surface S est une surface annulaire, et prenons pour la courbe A, le cercle culminant;

La surface 2 sera un plan; les équations d'z=d^z'=i(tz'^=i... seront satisfaites ; la surface H sera aussi un plan ; et tous les plans P, P\ P" ... se confondront avec le plan H. Dans ce cas la courbe limite de la zone élémentaire de contact du n' ordre sera aussi un cercle; et cela devait être , car on n'a ici qu'un cas particulier du cas général examiné dans Tart. 49 de ce paragraphe Y.

52. Supposons 4* que la surface S est une surface conique ; et prenons une des génératrices droites pour la courbe A. Alors la surface 1 devient un plan tangent; la surface H devient un cvlindre, qui n*est autre qu'un plan passant par le sommet de la surface conique S et perpendiculaire au plan normal mené à cette surface conique S par la droite A ; car, en effet, pour un cône on sait que : (tz^ tfz\ d^z^^ ... sont les ordonnées d'une droite passant par lé sommet et située dans le plan normal.

On pourrait multiplier ces exemples.