S VI
53.. Dans ce qui précède, nous n'avons examiné que ce qui devait arriver lorsque les deux surfaces S et S' en contact tout le long d'une courbe A , avaient seulement un contact du deuxième ordre tout le long de cette courbe.
Cherchons maintenant comment on peut déterminer, par laGéon^trie^ la courbe limite de la zone superficielle du contact du n' ordre , existant entre deux surfaces S et S' et tout le long d'une courbe A commune à ces deux surfaces.
54. Si l'on conçoil que la droite y tangente au point m à la courbe A se meuve parallèlement à elle-même et tangentiellement aux deux surfoces S et S', elle engendrera deux cylindres ayant pour courbe de contact | l'un avec la surface S , une courbe 6 , et l'autre avec la surface S' une courbe S^.
Et si l'on suppose la surface 0, osculatrice du deuxième ordre en m aux deux surfaces S et S', un troisième cylindre engendré par la droile y aura pour courbe de contact avec la surface O, une courbe pUme U,.
Si Ton suppose la surface 0, osculatrice du troisième ordre , on aura la courbe U^ qui sera une courbe à double courbure.
Et ainsi de suite.
55. Pour le point m\ on aura les courbes d^, d". et 13'., U', : ... Et ainsi de même pour les autres points m", m'\ ... de la courbe A.
Si les deux surfaces S et S' ont un contact du deuxième ordre tout le long de la courbe A.
Les courbes 3, 3,, U, — 3^, i',, U'^, — i", i", , l}'\ — ... auront un contact du deuxième ordre.
Si le contact tout le long de la courbe A est du troisième ordre, les couples de courbes analogues auront un contact du troisième ordre.
Et ainsi de suite.
56. Si donc Ton imagine une droite h se mouvant sur la normale N au point m et sur la courbe d et parallèlement au plan T tangent en m à la surface S , cette droite h engendrera un conoïde Z ayant le plan T pour plan directeur.
El si l'on suppose que Ton porte sur la normale N et à partir du point m , les
dislances : ^
{ifz) on aura un point o.
(d'z + iPz -f-d*») — 0, Et ainsi de suite.
Chacune des génératrices droites du conoïde Z ; savoir :
h^ passant par le point o, coupera la courbe d en un point d, *, — 0, — d,
etc. — etc. — etc.
Faisant les mêmes constructions pour les divers points m', m", ... de la courbe A, on voit de suite :
1* Que les points tels que d. détermineront sur la surface S la courbe limite de la calotte superficielle du contact du deuxième ordre qui peut exister tout le long de la courbe A^ entre la surface S et une autre surface S';
2* Que las points tek^que^d détenQineroat la pourbe limite du contact du Iroisrème ordre. El ainsi de suite.
57. Dès lors )a sfir/^ce. gauche H qui ,. par son intersection airec la surface 6 , déterminera les mêmes. çpyrb^»^ ^era formée» pour le contact du deuxième ordre , d^s droites telles, que /^« ; pour «Iq ooptact.du. troisième ordre , des droites telles que A, ; et ainsi de suite.
58. On doit remarquer que le conoideZ aura un élément développable; ce sera celui qui est déterminé par les deux génératrices G et h^^ qui sont deux génératrices successives et infiniment voisines , et qui sont parallèles ( en se rappelant que la droite G est la tangente conjuguée de la droite y).
SUR LES PARABOLOIDES OSCULATEURS (^).
1* Propriéiéê des parabolcUdesosculaleurSj en coniidérani les cantaéts des divers ordres ;
2* équation générale des inéicaJLrices ^ des divers ordres.
SI
' 'Propriétés des paraboUndes oscutateur s.
1. Soit z=:ay*+byx'i'€x* '^dy^ejO'^^f Téquation d'un paraboloide du deuxième degré : . ' ,
Si Ton suppose que l'origine desl côokrdonnées se trouve sur la surface , on aura : /= 0.
Si Ton suppose ensuite que le plan des xy est le plan tangent à ta surface au point qui est choisi pour l'origine des coordonnées , on devrai avoir :
dx dx
—. = 0 et 5" = ^ pourâp = 0 et y=0
Ainsi, (/=:0 et e=0. Par conséquent :
xssay*'\'byx']~ex*
sera Féquation du paraboloide rapporté à son plan tangent comme plan des^»
et à sa normale comme axe des x.
(*) Extrait da 25* cahier du Journal de l^ole polytechnique. Juillet 1837.
3. Traçons dans le plan xy une droite D passant par l'origine des coordonnées , ses équations seront :
jr = 0 et y=ifnx
Supposons qu'un plan T roule tangentidlement à la surface et parallèlement à la droite D ; les divers points de contact x', y\ z' de ce plan avec la sur&ce formeront une courbe qui sera la courbe de contact dd'un cylindre (enveloppe de l'espace parcouru par l'enveloppée T ) tangent au paraboloîde , et dont les génératrices seront parallèles à la droite D. . S. QierchoQS les équations de la courbe d.
L'équation du plan tangent sera :
Xj y\ % étant les coordonnées du point de contact. Ce point étant sur le paraboloîde» on aura :
ji'.= ay'»+6yV+ca?'* (â)
Si par le point Xj y\ z' on suppose une droite D' parallèle à la droite D» ses
équations seront :
4f— J8'=0 et y— y'=in(a?— a:?<î (3)
Substituant ces valeurs dans l'équation (1), on aura : Ainsi
et les équations (5) et (2) seront les équations delà courbe de contact d; et l'on voit de suite que l'équation (5) est l'équation de la projection de la courbe d sur le plan des xy. Or on a :
Ainsi ou
-^^^+hx
6y+2ca?+ m (ifljf-f te) = 0
y (6 + 2ma) + x(^ + mft) = 0 (6)
cette équation (6) sera l'équation de la projection de la courbe d sur le plan desâ;y . La projection de la courbe i sur le plan des xy est donc une ligne droite.
Ainsi la courbe à sera plane.
4. Si Ton avait considéré un paraboloide du troisième degré :
zz^ay^^ bfx + eyx* + da^+ eff + fyx + gx"
rapporté à son plan tangent comme pian des xy , et à sa normale comme axe des 2 , Féquation (6} serait :
y'(6+3ma) + apy(2c + 26m) + a:*(M + m)+y(^+2m)+ar(2sf-H/^)==0 (6.)
Ainsi dans ce cas la projection de la courbe d sur le plan des xy se trouve une courbe du second degré , passant par Forigine des coordonnées. Et il est évident que cette courbe-projection est une parabole.
La courbe S sera donc une courbe à dotibte courbure.
5. Généralisons ce qui précède et supposons une surface S dont Téquation sera représentée par ;
et représentons Téquation du paraboloide du troisième degré par z^=s^(xj y) en nous rapt)elant que l'équation de ce paraboloide renferme sept constantes arbitraires.
Supposons encore que la surface générale S a même plan tangent que le paraboloide , et que ce plan est précisément celui des xy j alors l'équation (7) sera satisfaite par x=0 et y = 0 9 et l'on aura :
p.=0 et $=0 dx dy
6. Cela posé, si l'on veut établir un contact du troisième ordre entre les deux surfaces, il faudra poser les équations suivantes :
dx' "" dx' ' dy* dy* ' dxdy "" dxdy d*f <P+ <P? d^ d^y <P4> 5ïâ""5ï5' ^""rfy*' é^^d^dx d\ d^ da^dy dx*dy
en tout sept équations qui serviront à déterminer les sept constantes arbitraires qui existent dans l'équation du paraboloide du troisième degré.
7. Ainsi Ton pourra toujours , en général j déterminer un paraboloide du troisième degré ayant une osculation du troisième ordre en un point m d'une surface S et tout autour de ce point; et Ton ne pourra en déterminer qu'irn seul.
8 . Maintenant , considérons un paraboloïde du n'*^à6gré dont l'équation serait :
et dans laquelle manquerait le terme tout connu et les termes du premier degré en a;ety (auquel cas la surface serait rapportée à son plan langent et à sa normale). On sait que Téquation complète du degré n entre deux variables renferme
( — ^ — 1 constantes arbitraires; et comme les lermes k^px ei qy manquent , on
aura — î— ^ constantes arbitraires.
Pour établir le contact du ri'^^ ordre entre deux surfaces , il faut poser
{ L '^ ) équations telles que celles (8). Ainsi Ton aura toujours autant d'équations de condition que de constantes arbitraires à déterminer. Ainsi Ton pourra toujours, en général , construire un paraboloïde du n^*^ degré ayant un contact du ri^^^ ordre en un point m d'une surface donnée S et tout autour de ce point ; et Ton ne pourra en construire qu'un seul. Si Ton considère maintenant le paraboloïde du ri^*^ degré dont Téquation (9)
renferme ( a*^ ) constantes arbitraires, et que l'on veuille chercher Téquation de la projection de la courbe i sur le plan des xy , on voit que cette équation étant
dx dy
son degré sera (en vertu de la différenciation) d'une unité moindre que celui de l'équation (9][. Ainsi du degré (n— 1) le degré de Téquation (9) étant ri.
