Dès lors Ton peut énoncer le théorème général suivant

V Étant donnée une surfaces, si l'on conçoit un paraboloïde dont l'équation est 2 = <p^(j;, y) , tangent par son sommet en un point m de la surface S (9, étant une équation du degré n entre deux variables x et y, dans laquelle manquent les termes Ac, pxeiqy), on pourra toujours déterminer les constantes de l'équation du paraboloïde , de manière à ce que ce paraboloïde ait une osculation du degré n avec la surface S et tout autour du point m.

2* Si l'on suppose qu'une droite se meuve parallèlement à elle-même et au plan tangent en m, et tangentiellement d'abord au paraboloïde et ensuite à la surfaces, on aura deux cylindres -, le premier sera tangent au paraboloïde suivant une courbe ij le second sera tangent à la sur&ce S suivant une courbe d'. Les deux courbes i et i' auront entre elles un contact du n*^^ ordre; mais leurs projections sur le plan, tangent au point ma l'une et à l'autre surface, n'auront entre elles en ce point m qu'un contact du degré (n — 1).

S** La projecUon de la courbe d sur le plan tangent en m sera une droite pour Tosculation du deuxième ordre , une courbe du deuxième degré pour l'osculation du troisième ordre , une courbe du troisième degré pour Tosculation du quatrième ordre , et ainsi de suite.

4*" Si Ton considère les deux ungenles conjuguées I et «h au point m de la sur^ face S y la courbe d con tact du paraboioîde du degré n ( et ayant avec la sur&ce S en ce point m une oscuiation de Tordre n) avec le cylindre dont les génératrices sont parallèles à la tangente tj et la courbe St contact du même paraboioîde avec le cylindre dont les génératrices sont parallèles A la tangente i, j formeront deux courbes conjuguées» en ce sens que leurs projections sur le plan tangent en m se croiseront en ce point m y et auront pour tangentes en ce point m,^ savoir : la courbe 3 la droite i,, et la courbe d. la droite t.

10. Nous avons démotitré que le paraboioîde du degré n, dont Téquation est :

[fnC^f y) étant l'équation non complète et du degré n entre deux variable9, mais dans laquelle les trois termes k eipxeipy seuls manquaient], pouvait en général avoir un contact du n*^*^ ordre avec une surface S dont l'équation était 2=F(a;, y) (en admettant toutefois que l'on puisse différencier h fois la fonction F, en supposant en d'autres termes que (TE ne soit pas nul).

11. Nousavons vu que les constantes de l'équation ;s=<p.(a;, y) seraient déterminées par les équations obtenues en égalant les différentielles partielles des deux fonctions 9^ et F obtenues par des différenciations successives poussées jusqu'à l'ordre n inclusivement.

12. Gela posé, remarquons que si l'on prend le paraboioîde du second degré dont l'équation est: z = ay* -hbxy + ca;' = f,(x, y)j et pour laquelle on suppose que les constantes a , 6, c , soient déterminées par les équations :

en sorte que le paraboioîde z=<p,(j;, y) se trouve avoir une oscuiation du deuxième ordre avec la surface dont l'équation est z=F(a;, y); on pourra toujours changer les axes des x et des y de direction dans le plan tangent qui est choisi pour plan des axes a; et y , de manière à ce que Ton preDnne pou^ nou«veaux axes des a? et des y les tangentes ( rectangulaires entre elles) des lignes de courbure de la Surface S , lesquelles se croisent du |[>oint m contact des deux surfisices (ce point M étant toujours l'origiAe des' coérdonnées, soit anoi^nes, soit nouvelles) .

13. Dés lors, par ce changemeni de coordonnées, l'on pourra dans l'équation du paraboloïde faire disparaître le terme en xy.

Dès lors aussi la suripsuceS ayant pour équation z=^F, (a: » y) , en la supposant rapportée à sa normale comme axe des 2, et aux tangentes à ses lignes de courbure comme nouveaux axes des x et des y, aura pour paraboloîde osculateur du deuxième degré celui dont Téquation sera :

a et b' étant déterminés par les équations :

çTF. ^dY. ^^'^

dx' dar*' dy' dtf

et en vertu du choix des axes coordonnés , on aura :

-^ = -^ =0 dxdy dxdy

14. Passons au paraboloîde osculateur du troisième degré. Avant le changement des axes coordonnés , son équation était :

Si nous changeons les axes coordonnés pour rapporter les deux surfaces osculatrices à leur normale commune comme axe des z et aux deux tangentes des lignes de courbures prises pour axes des a? et des y , nous voyons que puisque , avant le changement de coordonnées, les constantes arbitraires A, B, G, etc., sont déterminées par les équations :

dar ite*' dff'^dy'' dxdy ^ dxdy' dx," da?' df dy" '

£^^^ d?f, ^ d^F dx^dy dx^dy' dxdf " dxdy*

après le changement des coordonnées , on devra avoir :

dxdy dxy

dx dx t d9\ dF

dy dy

La fonction if\{x, y) ne contiendra donc pas les termes en a: , en y et en xy. Ainsi , l'équation du paraboloîde du troisième degré ayant une osculation du troisième ordre au point m de la surface S et autour de ce point m , sera (en pre-

nant pour axes des coordonnées la normale au poinlitt à la surface S, et les tangentes aux lignes de courbure de cette même surface S se croisant au point m):

15. Cherchons maintenant les \aleurs des coefficients a, b, c en fonction

des coefficients difiërentiels partiels fournis par Féquation de la surface S. Soit donc l'équation d'un paraboloïde du troisième degré,

ce paraboloïde étant supposé rapporté aux axes désignés ci-dessus. Nous aurons à poser les équations suivantes :

-: = = a»iay + nx'+a6sf +3d.y*

-^ = — »am +â»ix «ixdy dxdy