PF

éPx

dx'dy

da!'dy~

ân

dxdy* ~

dxdy* "~

dar» ~

dx'~

éPx

dp-

Or, comme le point m est l'origine des coordonnées, on a pour ce point : x=0 ety=:0. Dès lors, les équations précédentes deviendront, en y faisant Thypothèse , X = 0 et y = 0 :

^=:— =0^— — = • — = — = 0 dx *~Ar"~ ' dy ^ dx dxdy '^ dxdy

d-F. fx

d£rdy dordy d'F. dfx ^ <PF. iP;r

dx*dy dx*dy ' ' (tedy» dxdy* .

16. Ainsi i'équation du paraboloïde osculateur étant de la forme

et novs rappelant qae dès lors l'équation de la surface S est t=sF, (x,y) , on voit , d'après ce qui précède , que l'on aura :

" ~ 2 tte" ~ 2 ' dy*

1 ^ rf — * <PF.

* ~ 2.3* <te»' — 2.3 df

* ^Ei. - * <*^F.

"*~ 2 dxds*' " - 2 rfar-iiy

17 . Ed faisant les mêmes calculs pour les paraboloïdes osculateurs des ordres successifs y on verra que leurs équations seront :

Pour le T degré : «=ar*4-6y'

Pour le 3* degré : %s=iax^+by* -^cx^ +dy^ + mxy^ + nx*y

Pour le 4* degré : zs=iax* + by* + cx^ + dy^ + ex^ +fy^ +

+ mxy* -f- nx*y -f- px^y + qx^y* + rxy^ et ainsi de suite.

Et les valeurs des coeflScients seront (en supposant toujours que z=^F,{x, y) soit l'équation de la surface S) :

1 iTF. iL i ^^'

L^ w— L*L. 3 <PF, 3 d^F.

— ^ d4F' ! d|F, ^ ^ 2.3.4 <te< ' '~ 2.3.4 dy* '

1 ^, 1 (TF.