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on peut donc énoncer le théorème général suivant : . 18. Étant donnée une surface S dont l'équation rapportée à sa normale et aux
tangentes de ses lignes de courbure sera z = F(x^ y) , le paraboloïde osculateur du degré n aura pour équation (rapportée aux mêmes axes)
f» étant um équation non complète du degré it en x et y , mais dans laquelle manqueront seulement quatre termes, savoir : le terme tout connu et les termes du premier degré en x et en y, et le terme>en xy.
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Équationê des indicatrices des divers ordres.
i9. Il est évident que nous pouvons , en vertu. de oe qui pràoède, énoncer le théorème suivant :
Si Ton a une surface S du degré n (son équation étant l'équation complète du degré n entre trois variables) , et qu'en un de ses points m on mène son plan tangent T, tout plan P paraUète lau plan T coupera la surface S suivant une des courbes représentées par l'équation :
K s=f Jx, y) (K étant une constante).
Ainsi , par exenple (edmme on- le sait déjà) , une surfkcedu deuxième degré ne peut être coupée par un plan parallèle à l'un de ses plans tangents que suivant une ellipse ou une hyperbole^ et jamais suivant \UMpmMbole.; et tout ce qui précède nous fait voir que réquation.9^(x^2^) ne renCeriae q^ie des courbes eUipliques ou fermées et des courbes k^perbeliques ou i branches iniinies.et s(yaat des.asymptôles , et que les courbes paraboliques , ou à branchas infinies et sans asymptotes , en sont exclues.
20. Remarquons que,pour cha/sundes points m>d'iine'attr&ce4laii<ftéeS| oa ne peut construire qu'un seul paraboloide osculateur du éeuiième, 4M troisième., ou n' degré y dont l'équation sera de la forme :
On doit donc être porté à regarder ce genre de-su rCane (parabokHde) «omme étant celle à laquelle on doit comparer la forme et la courbure d'une surface quelconque S , en un point arbitraire de cette surface S.
21. La fonction <f«(â;, y) n^étant point homogène ( et ne l'étant seulement que pour le paraboloide dû deuxième degré), des plans parallèles enire eux et au plan tangent ne couperont pas les paraboloîdes oseulateurs du troisième degré et de degré supérieur suivant des courbes semblables.
Mais cependant ces plans parallèles couperont chacun de ces paraboloîdes suivant des courbes du même genre et du même degré.
22. On est donc en droit de regarder la section & =<f.(^ y) • faite dans le paraboloide par un plan 2 = K ( K étant une constante arbitraire) » comme représentant la forme et les inflexions qu'aflbete la surface S autour du poi||bfii.
On peut dès lors donner à oette eoorbe le oem d'tmfiailrjcf*, ^ •
