Nous pouvons donc dire que l'équatûm
dans laquelle 9« sera une équation du degré n , en x et en j/ , dans laquelle man* queront les termes kypx^ qfy ray ^ sera Téquation de Yinéieakice de Tordre n.
Et qu'ainsi il n'y aura que les courbes du degré n renfermées dans cette équation qui pourront être des indiadrices de» formes et inflexions d'une surface autour d'un de ses points. Ainsi, les courbes «//tpftftf^^ et hyperboliques peuvent être seules des nuBcairices.
24. Si donc étant donnée one surftice S on construit pour un de ses points m les divers paraboloîdes oscillateurs du deuxième, troisième, quatrième,. •• n' d^ré , et qu'on les coupe ainsi que la surfoce S par un. plan parallèleau plan langant en m , on obtiendra une série de courbes qui indiqueront , d'une manière assez, nette et assez précise, la forme, les inflexions et les particularités de courbure que la surface S affecte en ce.peint m.
25. Ce mode de représentation de la surface tout autour du point m offire quelque analogie avec celui employé pour représenter le terrain au moyen des courbes horizontales ou dé niveau. Seulement , comme les courbes limltea des calottes superficielles et élémentaires du contact, du deuxième, troisième , quatrième^/, n* ordre qui existe entre deux surfaces^ sont des courbes infiniment petites, et qu'en supposant pour plan sécant commun celui dcmt l'équation est zz;=iKr on obtient des courbes finies, on doit regarder le mode de représentation de la sur* face en se» éléments , tout autour du point m , au moyen d^ courbes finies situées dans un même plan et dont les équations sont :
comme si l'on avait, au moyen d'une loupe, grossi la calotte élémentaire (de la surfece S et exislaat en ce point m ) dont on veut apprécier la forme et les inflexions.
26. Ainsi , au moyen des indicairices des divers ordres de contact, on pourra, pour ainsi. dire, connaître maintenant Vqrgmiêoiim intime et géoméirique d^une surface eu chacun de ses points.,
27. En résuMmt ce qui précède, ou voit que si 2=F (j^, y) étant Téquation d'une surface S, on développe par la formule de Taylor, on aura :
Z^zx + dx-j-éPx+drx +
ou, .
cIP cPF if F A" ik
dy ' dordy . ^ dx'dy 1.2 ^
"^dy* 1.2*^ Ardy' 1.2 +-"-
28. Si Ton suppose que Féquation de la surface S soit telle que pour x=0 et 0=0. ah a : *
F=0 — =0 — = 0 et — =0 * dx * dy dxdy
alors la surface donnée S sera rapportée à sa normale et aux tangentes de ses lignes de courbure se croisant en un de ses points , ce point étant pris pour origine des coordonnées.
29. Dès lors , supposant que Ton fasse x = 0 et y t=! 0 dans chacun des coefficients différentiels, et remplaçant h par x et i par y :
1* On aurîi , en posant :
£s=sla r* (colonne), Téquation du paraboloïde osculateur du 2* degré, 2= la 1**+ la 2* (colonnes) 3* degrés
et ainsi de suite (ces paraboloides osculateurs étant rapportés aux mêmes axes
coordonnées, ainsi que la surface S)«
2* On aura , en posant :
D = la 1'* ( colonne) , Téquation de Tindicatrice finie du 2' ordre ,
D = la l'^^- la 2* (colonnes) 3* ordre,
et ainsi de suite.
En supposant toujours que l'on fasse x=dd et y =0 dans chaean des coefficients différentiels et remplaçant h par cCx et ft par c%,
3* On aura , en posant : .
(fs=3la 1'* (colonne), Téquation de Tindtcatrice n^niîésiimie du 2* ordre,
if 2 4- (i^z c=3 la l~+la 2* (colonnes) 3* ordrc^
et ainsi de suite.
30. On obtient ainsi une traduction géométrique (qui, à ce que je crois , n'a point encore été indiquée) de TensembLe des symboles analyiique$ dont se compose la formule de Taylor.
raOPRIÉTÉ BU PARABOLOÏDE OSCULATEUR PAR SON SOMMET EN UN POINT D*UNE SURFACE
