DU SECOND DEGRÉ
1 . Supposons deux surfaces dont les équations soient algébriques, et toutes deux du degré n.
Supposons que ces deux surfaces aient un point de contact , et soient rapportées l'une et l'autre ;
1* A ce point de contact , comme origine des coordonnées ;
2* A leur normale commune » comme axe des Z ;
3* Aux tangentes à leurs lignes de courbure , comme axes des X et des Y.
(Leurs lignes de courbure ayant à Torigine des coordonnées même direction. )
2. Les équations de ces surfaces étant if{Xf y, x)=0 et 4^(0;, y^ 2)s=0 , devront être telles qu'elles soient satisfaites par x;=0, ys=sO, 2=0 , et l'on devra avoir en même temps :
dx ' dy * dxdy
et aussi
^ — 0 ^ — 0 J^—a dx ' dy'^ ' dxdy^
3. Si ensuite on établit que ces deux surfaces ont un contact du vt^^ ordre , les deux fonctions 9 et 4/ seront telles qu'en faisant zc=0 dans l'une et l'autre» on obtiendra la même fonction en a; et y , que je désigne par f{x , y).
A. Dès lors , on conclut que toutes les surfaces du degrén et ayant en un point un contact de Tordre n , se coupent suivant une courbe dont l'une des branches est plane et située dans leur plan tangent commun , et que l'équation de cette branche plane est/(a;, î/)=0.
5« Appliquons ce qui précède à deux surfaces du deuxième degré C et C« Les équations des deux surfaces ( et 2;, osculatrices l'une à l'autre, seront :
pour ç «of -f*y* + iiM;* + iMC*4-py« + jjf =s0 (1)
fourç, «ç" + V + Mj»"-]- Na?jaf 4-1^*4- « = 0 (2)
(*} Extrait dn IoiuimJ de MathématiqiiM publié par M. liouTille.
— îtte —
6. Cherchons l'équation de la projection sur le plan des xy de la courbe , inter* section des deux surfaces données.
Il faudra éliminer % entre les équations (1) et (2).
Ces équations sont satisfaites par z=0...(3)etax* + %'=0...(4). Ainsi: on voit de suite que les équations (3) et (4) seront celles d'une courbe commune aux deux surfaces ( et 2;., quels que soient les coefficients m, n, p, V , N, P, et que cette courbe est un poini lorsque a et 6 sont de même signe et deux droUes , lorsque a et 6 sont de signes différents..
Pour effectuer Télimiiiation , retranchons les deux équations (1) et (2) rûne de l'autre , on aura :
*[jr(m — M)^+a?(ii — II)r + y(P— P)1 = 0
d'où l'on tire les valeors: db z , saftmr :
'=0 ** ' 5r=nK —
Substituant la seconde valeur de z dans l'équation (1) ou (2)^ on aura :
+i-'+pf+t)["^-'2tf -"]]-'
et en ordonnant :
• L.+!î?îzî^^)U+
HÎTI
7. Ainsi la courbe, intersection des deux surfaces ( eti; se composera de deux branches , l'une B inirariable , et dont les équations 8ont'(3) et (4) , l'autre que je désigne par A et qui sera variable suivant les valeurs attribuées à m, M, n, N, p, P, et dont la projection stir le plan xy (pl'an tangent au point d'oscidatlon ) aura pour équation: l'équation (5).
8. On voit que la courJ>eApeutôtre.yuiiedes troi§ioiifi coniques, et qn'dUcr passe toujours par roriginei des coordonnée» qui est le point d'osculatioa des deux surfaces ( et (,.
