Si r n===N=0 et p ==;P?=0 ousi 2! lliisui^ Pcssf

— «47 — L'éqnalMB (5) w viéoità :

La couribe complète d'intersection des deux surfaces ( et !;, est donc dans ce

cas r

(«af+6îrr=»0 (6)

Ainsi : i"* si a et 6 soat de même signe » les deux surfaces n'ont d'autres points communs que le point de contact ; 2* si a et fr sont de signe contraire, les deux surfaces n'ont d'autres lignes communes que les deux génératrice» droite» qui se croisent au point de contact.

Bans le premier cas les deux suriaoes ont leurs rayons de courbure maximum et minifittim dirigés dans le même sens ; dans le deuxième cas , les rayons de courbure sont diri|[és en sens exposé*

Bans le deuxième cas^ les surfaces sont gauche» j dans le premier cas elles ne sont pas gauche».

10. L'équation (6) prouve que les deux surfaces ont, dans les deux cas, un du troisième ordre, ce qui doit avoir lieu en effet : car les équations seront : si n=5N=0etp = P=0,

pour la aoiCnee C • . . «af^* V+ flu*-Hi^=sO pour la sur&œ (■•••• ox" + ^* ~h ^* 4~ ' = ^

et l'on^^ queees éecncsurfeces ont deux plans diamétraux principaux tTommuns, qni^OBt te pl&nsf des xz et des yx; le point d'osculation estilonc en même temps lesomméldè l^une ei l'autre surftiee. Ainsi ^e treave-Térifié le résultat déjà connu^ savoir : que loreque deux surfaces dn deuxième degré ont une osculation par leurs sommets, Tordre du- contact est élevé d'une unité; et ainsi l'osculatian , au lieu d'être potre et du second ordre, est impaire ei du troisième ordre. Et les équations seront : si n ==N , ps= P,

pour la surface C . . . oa?* -|~ V + ''^* 4~ ^'^^ + PV* + ' = ^ pour la lurfaoe Ç, . . . oit^ + 6y* + Mjr'+fM?jJ-|-py* + * = 0

etalors les.deia surfaces i>nt deux plans diamétraux conjugués communs, et passant par le point d'osculalMo ; et en efSet, dans ce cas, le contact du troisième ordre doit exister.

Car , sî par fat normale au point d'oscolatien., normale qui n'tet autre que Taxe

des X, et par le centre de Ja surface i; ( ce centre étant i distance finie ou infinie) ,

\ on fiiit passer un plaon R, les cordes eoiijug»ées de ce plan diamétral R seront

I paraHMea i* au plan XY, qui est la pbii tangent au point d'oscubtion , et ftà une

certaine droite B. Ces cordes ae projelteiont doneaur le plan R tuivant des per-

pendiculaires à Taxe des Z; dès lors un plan Q passant par la normale Z et parallèle à la droite B 9 coupera la surface i; suivant une cofiiqrtied ayant son sommet au point d'osculation. . ^

Faisant la même construction pour la surface (,, on aura la conique d.. Si les deux courbes^ et d, sont dans un même plan Q, elles auront un contact du troisième ordre en leur sommet commun , car ces deux coniques ayant un sommet commun et une osculation en ce sommet, ne peuvent y avoir qu'un contact d'ordre impair.

Or y ce que nous venons de dire n'aura lieu qu'autant que les centres des deux surfaces et la normale Z seront dans un même plan R; qu'autant que les deux surfaces ( et];., auront un plan diamétral R commun et passant par le point d'osculation .

Et si ce plan R est un plan diamétral principal pour les deux surfaces , alors tous les plans Q', Q", ... passant par le point d'osculation et perpendiculaires au plan R couperont les deux surfaces suivant des couples de coniques y et d', , d^' et y\ y ... qui auront une osculation du troisième ordre ; les deux surfaces ( et (, auront donc une osculation du troisième ordre, quand elles auront un plan diamétral principal commun.

li. Dans ce qui précède, nous n'avons résolu qu'un cas particulier, qui peut s'énoncer ainsi :

Lorsque deux surfaces du second degré ont en un point une osculation du troisième ordre, si ce point est sur une section principale de l'une des surfaces, il est nécessairement aussi sur une section principale de l'autre sur&ce, et ces deux sections sont dans un même plan diamétral principal commun aux deux surfaces. C'est le cas où l'on suppose que : .

n=N et p = P = 0.

i2. Cherchons maintenant les conditions auxquelles doivent satisfaire les deux surfaces, lorsque le point d'osculation est sur une section diamétrale quelconque.

Puisque les deux surfaces ( et i, ont en un point une osculation du troisième ordre, il faut qu'un plan quelconque passant par le point d'osculation les coupe , savoir : la surface l suivant une courbe 6 , et lasurfac ^ suivant une courbe 6', ces courbes étant telles qu'elles aient aussi une osculation du troisième ordre.

Or, si l'on conçoit une droite Z, passant par le point d'osculation et le cenlre de fa surface Ç , on sait qu'un plan quelconque P passant par la droite Z, ne pourra couper les deux surfaces suivant deux courbes 6 et 6' ayant une osculation du troisième ordre, qu'autant que les centres de ces deux courbes 6 et 6' et le

point d'oscnlatioD seront en ligne droite, car nous savons que cette propriété existe entre deux courbes du second degré, lorsque l'osculation est du troisième ordre ^ et qu'elle n'existe pas pour l'osculation du deuxième ordre {*)*

Or, cette condition ne sera remplie, quelle que soit la direction du plan P, qu'autant i"" que les centres des deux surfaces et leur point d'osculation seront en ligne droite ; 2* que pour chaque plan P, le plan diamétral qui lui est conjugué, et qui passe par Z, , sera- le même pour les deux surfaces.

13. Ainsi, deux surfaces du second degré , ayant en un point une osculation du troisième ordre , ont nécessairement :

l*" Leurs centres et le point d'osculation en ligne droite ;

2* Mêmes systèmes de plans diamétraux conjugués se croisant au point d'osculation.

Cette dernière discussion se rapporte au cas où l'on suppose que :

n=N et p=P.