Si l'on suppose que M =: 0 , P=0 , N
Alors la surface 1^, sera un paraboloîde osculateur par son sommet à la surface (.
L'équation de la projection de la courbe A deviendra :
oaf + fty*— -5 a?- ^ y=0. (7)
fti tu
Les coordonnées du centre de cette courbe seront :
l'ordonnée € = ?-
La courbe rapportée à son centre et à ses axes , sera :
15. L'équation (7) montre que la projection , sur le plan tangent au point d'osculation, de l'intersection d'une surface du deuxième degré avec son paraboloîde osculateur par son sommet, sera une courbe de même nature que t indicatrice éix deuxième ordre , et que les axes de cette courbe , projection de la courbe d'intersection , seront parallèles et proportionnels aux axes de Cindkatrice , propriété
(*} Voyez le mémoire n« 1 de ce chapitre II , page 108.
remarquable qui n'appartient pas seulement au paraboloîde osculateur par ion sommet y. comme nous le. verrons diaprés.
16. Si dans Téquation (7) on suppose^que a rstb (a et fr étant de même signe )• Alors la projection de l'intersection sera un cercle, alors lat6ur&06( sera coupée par des plans parallèles au plan xy ^ qui «st le plan tangent , suivant des cercles, et le paraboloîde osculateur.sera de révolution.
Le point d'osculation sera alors un des 4mbmc$ de la sur&ce x,, rémliat déjà connu et qui se trouve vérifié.
47. Si l'on avait une seconde surface ('rdft second degré et dont l'équation serait :
l'on voit par l'équation (7) que si
— 7 = — = constante = C
et si y en même temps ,
^ = £ s, aMMtanle = G m m
toutes les surfaces telles, que c' et { auront le mémo paraboloîde (Osculateqr et se couperont toutes, suivant une courbe plane , eUip$e ou hyperbole (suivant que ces surfaces ne seront pas ou seront ^nticM) , qui seprcjettera sur le plan tangent au point d'osculation , suivant une courbe , ayant pour équation :
^4f aa^+V — Gr — (7y=0
DES PROPRIÉTÉS OSCULATRICES DE 'dRUX SURFACES EN CONTACT PAR UN POINT (*).
Dans un mémoire ayant pour titre : ûmêêmciUm d» tangentes en tm poim mut- Uplê (Cune courbe flâne ou à àûubU efmrbwe dent r équation eei huHmnue , publié dans le airctthierduJoumal de l'École polytechnique (^^), j'ai donné la construction géométrique des . tangentes au. point multiple que présentait la <30ttrbe interseo-
C) Extrait du Jeumal de mathématiques piire8 et appliquées, publié par M. Liouville, t. VI, 1841. (**) Ce mémoire est reproduit dans cet ouvrage , sons le n^ 1, chap. III.
lion d^deux surfaces en contact par un point, en employant comme surfaces auxiliaires deux surfaces du second drdre et oseulatrices , par leur sommet ^ aux deux surfaces données. Personne n'avait encore songé à l'emploi de ces surfaces auxiliaires ponr résoudre le problème des tangentes au point multiple. Je déduisis facilement, de la méthode que j'avais employée, la construction géométrique de la tangente en un point de la courbe de contact de deux surfaces, tangente dont on ignorait encore la construction en géométrie descriptive, tout comme on ignorait la construction des tangentes au point multiple.
Plus tard 9 dans un mémoire publié dans le vingt*sixième cahier du Journal de t École polytedmique j et qui avait pour titre : Des indicatrices des divers ordres de contact entre deux surfaces et des conxtttions géométriques auxquelles doivent satisfaire deux surfaces ayant un point de contact pour qu'elles aient un contact du n^^^ ordre tout autour de ce point (^) , j'ai démontré que, si deux surfaces en contact par un point avaient suivant trois directions partant de ce point un contact du second ordre, elles avaient dès lors un contact du second ordre , tout autour du même point ; on déduit évidemment de ce théorème que deux surfeces ayant un contact du premier ordre en un point m, peuvent avoir un contact du second ordre ^ suivant deux directions, en partant de ce point.
Toutefois, pour compléter les théorèmes que j'ai établis sur Tosculation des surfaces au moyen des procédés que met à notre disposition la géométrie descriptive, je me propose, dans cette note, de rechercher directement :
•Si deux surfaces , ayant un contact du premier ordre en un point , ne peuvent pas avoir un contact du second ordre , suivant certaines directions , à partir de ce point ?
La solution directe de cette question nous conduira à quelques particularités géométriques qui ne sont pas sans intérêt.
Soient données deux surfaces 2 et 2' en contact par un point m ; désignons par T leur plan tangent commun en m , et par N leur normale commune en ce même point m.
Je désigne par 9 et t les tangentes aux lignes de courbure de la surface 2 se croisant en m.
9 correspondra à la ligne de courbure maximum, et R sera le rayon de courbure maximum de la surface 2 ;
I correspondra à la ligne de courbure minimum, et r sera le rayon de courbure minimum de la même surface 2.
On aura de même 9' et R' pour la courbure maximum de la surface 2', et ^ et r' pour la courbure minimum de la même surface 2^
(*) Ce mémoire est reproduit dans cet ouvrage , sons le n<^ 6 , chap. II.
Désignons par a Tangle que font entre elles les droites 0 et 0', dès lors nous connaissons l'angle qoe S fait avec les trois autres tangentes, puisque 9 et r, 6' et ï se croisent en angle droit.
Cela posé 9 désignons par O et O' les surfaces du second ordre, respectivement osculatrîces au point m aux surfaces 2 et 2^ et par leur sommet.
Supposons que ces deux surfaces 0 et 0' sont des surfaces ayant un centre , ellipsoïde ou hyperboloîde à une nappe , suivant que la surface en laquelle chacune d'elles est osculatrice, a ses rayons de courbure tournés dans le même sens ou en sens opposé.
En établissant que les deux surfaces O et 0' ont même centre situé sur la normale N et à une distance c du point m, on établit que si ces deux surfaces se coupent, elles se couperont suivant deux courbes planes, ou se toucheront suivant une courbe plane, les plans de ces courbes passant par la normale N.
Par conséquent on voit que les deux surfaces 2 et 2' pourront , en général , V avoir un contact du second ordre suivant deux directions, ou 2** suivant une seule direction , ou Z^ suivant aucune direction.
Discutons maintenant toutes les particularités qui peuvent se présenter, suivant que les surfaces O et 0' seront des ellipsoïdes, des hyperboloides à une nappe ou des cylindres, et suivant les relations de grandeur qui peuvent exister entre les rayons de courbure R , r , R', r', des surfaces données 2 et 2', et aussi suivant la grandeur de l'angle a. que font entre elles les tangentes d et 9'.
Menons par le centre x , commun aux deux surfaces O et O', un plan P parallèle au plan tangent T.
Ce plan P coupera respectivement ces deux surfaces O et 0', suivant des sections coniques 6 et 6' qui pourront être :
1* Deux ellipses si les deux surfaces 2 et 2' ont toutes deux leurs rayons de courbure dirigés dans le même sens sur la normale N \
2** Deux hyperboles si les deux surfaces 2 et t ont toutes deux leurs rayons de courbure dirigés en sens opposé sur la normale N ;
Z^ Une ellipse et une hyperbole si Tune des surfaces 2, par exemple, a ses rayons de courbure dirigés en sens opposé, l'autre surface 2' les ayant dirigés dans le même sens sur la normale N ;
V Une ellipse et deux droites parallèles ;
5* Une hyperbole et deux droites parallèles ;
ô"" Deux couples de droites parallèles.
Dans les quatrième et cinquième cas Tune des surfaces 2 et 2' est une surface développable , et dans le sixième cas les deux surfaces 2 et 2' sont toutes deux développables.
On voit de suite que les courbes S.et 6', ou 1* se couperont en quatre points formant les somniets d'un parallélogramme dont les diagonales se croiseront au centre x commun aux deux courbes 6 et 6', et ces diagonales donneront les directions suivant lesquelles le contact du second ordre existe entre les surfaces 2 et 2' ; ou 2"" se toucheront en deux points extrémités d'un diamètre commun , lequel donnera la direction unique suivant laquelle le contact du second ordre existe entre les surfaces 2 et 2' ; ou S"" n auront aucun point commun , ce qui indiquera quelles deux surfaces 2 et 2' ne peuvent avoir de contact du second ordre.
On voit aussi de suite , par ce qui précède , que si deux surfaces développablés ont une génératrice droite commune , et un contact du premier ordre tout le long de cette génératrice , elles n'auront jamais un contact du second ordre , quelle que soit la direction que Ton suive en partant de la génératrice commune ; en sorte que tout autour de chaque point de la génératrice commune , les deux surfaces développables n'auront qu'un contact du premier ordre ; mais si deux surfaces développables sont en contact par un point m j et que les génératrices passant par ce point se croisent, au lieu de se superposer, alors il existera toujours deux directions à partir du point m suivant lesquelles les deux surfaces auront un contact dq second ordre.
Désignons par a et a! le demi grand axe , et par b et 6' le demi petit axe des courbes 6 et S\
L'équation de la courbe g sera, en prenant Taxe des x parallèle à la tangente 9 et l'axe des y parallèle à la tangente i :
L'équation de la courbe S' sera , par rapport aux mêmes axes :
, /cos'a , sin'aX / 1 1 \ , . /si»'* , co«'a\
comme l'on a :
L'équaiion de la courbe 6 pourra s'écrire :
B "•" r ~ c et l'équation de la courbe 6' pourra s'écrire :
./CM* a na*ii\ , ^ . /l 1\ , , /«n'a , oos' a\ 1 ,„,
Les deux courbes 6 et 6' ayant même centre se couperont en quatre points symétriquement placés par rapport à Torigine des coordonnfées et par rapport aux axes des x et des y^ ou , en d'autres tonnes » les quatre points seront les sommets d'un parallélo^mme dont le centre sera à Forigine des coordonnées.
Si donc entre Féquation y sra: tang i et les équations (1) et (2) on élimine les
variables x et y^ oir aura une équation 4u second degré en tang i , de laqtielle on
tirera :
Rraiii«coaa(r'-R ) AV/M
^ r(r'8in»a+R'coeV)-r'R' ^^^
En écrivant pour abréger :
rRrTl'[(rr'+RR')8in*«+(rR'+r^)co»'a— rR-r'R']arM (4)
on pourra donc connaître la valeur de l'angle i toutes les fois que Ton connaîtra les rayons de courbure maximum et minimum des deux surfaces 1 et 2' pour le point m par lequel ces deux surfaces sont en contact, et l'angle a que font entre elles les deux tangentes 9 et 9' aux lignes de courbure maximum et minimum des deux mêmes surfaces 1 et 2' passant par ce même point m. Ainsi y les équations (3) et (A) serviront à déterminer l'angle 9 que la tangente à la direction du contact du second ordre existant entre les surfaces 2 et l'y fait avec la droite 9, tangente à la ligne de courbure maximum de la surface 2.
On voit que la tangente trigonométrique de l'angle d aura : 1"* deux valeurs lorsque M sera positif^ 2* une seule valeur lorsque M=:0; et S"" deux valeurs imaginaires lorsque M sera négatif.
Lorsque Ton voudra se servir des formules (3) et (4) on devra se rappeler que Ton y a supposé que r, R y r , R', avaient tous le signe +> par conséquent on devra, suivant les hypothèses que Ton fera pour les surfaces 2 et l\ donner aux rayons de courbure les signes + ou — suivant que la surface aura ses rayons de courbure tournés dans le même sens ou en sens opposés.
Supposons que l'angle a soit nul , alors les plans des sections principales maximum des deux surfaces 2 et 2' se superposent ainsi que les plans de leurs sections principales minimum ; en d'autres termes y les tangentes 9 et 9' se confondent ainsi que les tangentes teti\
a étant nul ; on a :
nn a = 0 et cosa:^l
Dans ce cas, la valeur de M devient:
M=rRr'R' (R'— R) (r— r-)
et
Ainsi tang d a deux valeurs égales et de signes contraires , et ces deux valeurs seront:
l"" Réelles si Ton a en même temps :
et
ou
R'<R et
2^ Imaginaires si Ton a en même temps :
R>ft'
et
r'';>r ou
R<R' et
Sirssr-ytang d devient infini, Pângle ^est droit et i'osculation du second ordre n'a lien entre les deux surfaces 2 et 2! <{ue dans la direction de leurs lignes de plus petite oourbure.
Si R £=: R', tang d devient nul , Tangled est nul et Toséulation du second ordre n'a.lieo entre iesdeux surfaces 2 et 2! que dans la direction de leurs lignes de plus grande courbure*
On pourrait faire diverses autres hypothèses, mais il est inutile d'entrer dans plus de détails sur ce point ; Ton voit de: suite que les valeurs que l'on obtiendra pour tang d s'accorderont avec les relations de position que les sections coniques 6 et 6' affecteront entre elles , en vertu des hypothèses que Ton fera touchant les relations de grandeur existant entre r, R , r\ R' et la nature géométrique^ des surfaces 1 et 1', ou , en d'autres termes , suivant que leurs surfaces osculatrices du second ordre 0 et 0' seront des ellipsoïdes , ou des hyperboloides à une nappe, ou des cylindres.
Supposons que le point m , contact des deux surfaces 1 et 2' soit l'ombilic de la surface 2'i alors la surface osculatrice du second ordre 0' deviendra une sphère S du rayon p ; et si nous supposons que r, R et p soient dirigés dans le même sens et sur la normale commune N, on devra dès lors, dans les formules (3) et (4), poser :
et
Cette supposition que la surface osculatrice 0^ devient une sphère , entraîne la condition de ac=: un angle droit; et en effet la sphère ayant même courbure tout autour d'un de ses points, les deux surfaces 0 et Sdoîventètre considérées comme ayant leurs plans de sections principales maximum et minimum superposés; en d'autres termes, on doit supposer que les tangentes 9 et t\ Q' et t se superposent , et dans ce cas on doit avoir :
et
En faisant dans les formules (3) et (4) les hypothèses indiquées , on aura :
tang8 = ±Y/rBi5=^^ (6)
On a donc deux valeurs égales et de signes contraires pour tangd; par conséquent les directions du contact du second ordre font des angles égaux à droite et à gauche de la tangente 6 ; résultat que Ton devait prévoir , puisque dans ce cas la courbe 6 étant une ellipse, ou une hyperbole, ou deux droites parallèles, la courbe 6' est un cercle.
Et si l'on veut que les tangentes aux directions de l'osculation du second ordre entre les surfaces 2 -et 1' se croisent à angle droit, il faudra poser dans l'équation (6) tang d = 1 . On aura donc :
p r=rR(R-p) (7)
d'où l'on tire :
r(B'+i) ^ rB + 1
Ainsi, si le rayon p de la sphère osculatrice S au point m de la surface!' satisfait à l'équation (7), les deux surfaces 2 et l' auront une osculation du second ordre, suivant deux directions à partir du point de contact m, et ces directions seront à angle droit.
Si l'on voulait qu'il n'y eût qu'une seule direction d'osculation , il faudrait poser M=0^ ou
rBp'[(rp+R/)) 8in'«+(r(i+Rf) co8"«--rB— p"]=s0
d'où l'on lire :
ce qui donoe deux vakurs poor p ; pour Tune on a :
P=:r pour l'autre
Ainsi la surface Y devra avoir^ dans ce cas , pour rayon de courbure à l'ombilic, ou le rayon de courbure maximum , ou le rayon de courbure minimum de la surface 2.
Tout ce que nous venons de dire sur la recherche de la direction des osculatiens du second ordre , s'applique mot à mot à la recherche des tangentes au point multiple de la courbe intersection de deux surfaces en contact par un point m; ces deux surfaces ayant dès lors un plan tangent commun T, et une normale commune N , en ce même point m.
D'après ce qui précède on peut énoncer les théorèmes généraux suivants :
Deux surfaces 2 et iy ayant en un point m même plan tangent T et même normale N y et ayant même direction pour leurs lignes de courbure ( ainsi les tangentes aux lignes de courbure se croisant au point m, se superposent deux à deux), se coupent suivant une courbe G. Cette courbe aura deux branches se croisant au point m, et les deux tangentes au point m de la courbe G feront un angle qui sera divisé en deux parties égales par la tangente de Tune des lignes de courbure, l'angle supplémentaire étant divisé en deux parties égales par la tangente de l'autre ligne de courbure , appartenant soit à la surface^ , soit à la surface t.
Une surface 1 et une sphère S , ayant en un point m même plan tangent T et même normale N , se coupent suivant une courbe G telle , que l'angle que font* entre elles ses deux tangentes pour le point m^ est divisé en deux parties égales par la tangente de Tune des lignes de courbure de la surface 2.
Si Ton construit en un point m le plan tangent T à une surface 2 , et que cette
surface soit coupée par ce plan T suivant une courbe G , cette courbe sera telle
que l'angle que font entre elles ses deux tangentes pour le point m est divisé en
deux parties égales par la tangente de l'une des lignes de courbure de la surfooel. Ce dernier théorème n'est qu'un eoroUaire du second , car le plan tangent T doit être rigoureusement considéré comme une sphère de rayon inCni.
De ces théorèmes généraux on déduit , comme corollaires, les théorèmes par-
ticuliers suivants :
i^ THÉORÈME.
Étant donnée une surface réglée 2; le plan tangent T en un point m d'une de ses génératrices droites G , coupe cette surface 2 suivant Une courbe G passant par le point m, et l'angle formé par la tangente y de la courbe G au point m et par la génératrice G , est divisé en deux parties égales par la tangente de Tune des lignes de courbure de la surface 2.
Les tangentes aux lignes de courbure d'un paraboloide à une nappe ou d'un hyperboloîde à une nappe , et se croisant en un point m , divisent en deux parties égales l'angle , et son supplément, formé par les génératrices droites de systèmes différents qui se croisent en ce môme point m.
3* THfiORÈHE.
La tangente X au point m de la courbe G , intersection d'une sùrfece réglée 2 par son plan tangent T , et la génératrice droite G de la surface 2 qui passe par le point m, forment les génératrices des deux systèmes de T hyperboloîde ou du paraboloide osculateur, par son sommet, au point m de la surface 2. Ge théorème est un corollaire des deux théorèmes précédents.
Si l'on mène en trois points m , m', m", de la génératrice droite G d'une surface réglée 2, les plans tangents T, T', T", ces plans couperont la surface 2 suivant Hes courbes G , G', G'' et leurs tangentes X, X', X" seront les directrices de la surface du second ordre ayant un contact du second ordre avec la surface 2 tout le long de la droite G.
£n effet, si l'on considère trois génératrices successives et infiniment voisines (^)
{*) On entend par génératrices fluccessÎTes G , G', G", celles qni sont telles , qa*en Tertu du mode de génération de la surface 2 , on ne pent pas placer entre G et G' une génératrice qni approche plîis prés de G que G', et entre G' et G" une génératnoe qui approche plus près de G' qa€G\ Voyez ioesajet^ la théorie des infiniment petits exposée dans le chapitre VII des DétéloppemmiU de Géométrie descriptive.
G, G', G" de 4a surface 1 y et une droite D se mouvant sur ces trois génératrices, on engendrera la surface réglée du second ordre L , osculatrice à la surface 1 tout le long de la génératrice droite G ; et par là on démontre qu'il existe toujours et qu'il n'existe qu'une seule surface réglée du second degré ayant une osculation du second ordre tout le long de la génératrice G avec la surface 2.
Cela posé , si Ton prend sur la génératrice droite G un point m , et que Ton construise rhyperboloîde H osculateur par son sommet et en ce pointm à la surface Ij les génératrices droites de Thyperboloîde H se croisant en m, seront G et X.
Or, pour ce même point m, les deux surfaces L et H auront une osculation du second ordre; le plan tangent en m doit donc les couper suivant les mêmes génératrices G et X; donc X ne sera qu'une position de la droite D; donc , etc.
Remarquons que la considération des trois génératrices successives et infiniment voisines G , G', G" démontre l'exigence de la surface L , mais ne peut servir à la construire ; tandis que les trois tangentes X y X^ X" étant à distance finie les unes des autres , peuvent servir à construire graphiquement la surface L.
5' THÉORUME.
Si, pour un point m d'une surface du second ordre 1 , on construit les sections circulaires Cet C; si ensuite au point m, on construit les tangentes Xà € etX'àC^ l'angle et son supplément, formés par X et X", seront divisés en deux parties égales par les tang^tes aux lignes de courbure de la surface 2 se croisant au point th.
Ce théorème n'est qu'un corollaire du deuxième théorème général , puisque par deux cercles C et C\ qui se coupent dans l'espace en deux points, on peut toujours faire passer une sur&ce sphérique.
Étant donnés dans l'espace deux cercles C et C se coupant aux points m et m'y on peut toujours les envelopper par deux cônes; désignant par s le sommet du premier cône et par s' le sommet du second cône , les génératrices «m et $m' ' du premier cône couperont sous l'angle droit les génératrices s'm et M du second cône.
Désignant par o le centre de la sphère passant par les deux cercles C et C\ les cinq points o, m y m y SyS seront disposés les uns par rapport aux autres de telle sorte que le triangle oss' sera la base de deux pyramides triangulaires et trirectangles en leurs sommets m et m'.
