MO

DE l'hypcrboloIob osculateor (*).

SI-

On sait que pour construire un hyperboloide osculateur tout le long d'une génératrice droite G d'une surface gauche 2 y on prend irois points arbitraires fit , fit', m' sur cette génératrice G et en chacun d'eux on mène un plan tangent à la surface 1 j chacun des trois plans tangents T, T', T" coupe la surface 2 suivant une courbe; on a donc les trois courbes G, G', G", et les tangentes 9 à la courbe G au point , 0' à la courbe G' au point m\ et 0" à la courbe G" au point m'\ sont les trois directrices droites de l'hyperboloide osculateur.

Mais toutes les sur^pces gauches n'ont pas un hyperboloide osculateur ; pour certaines surfaces gauches, l'hyperboloide osculateur existe , pour certaines autres surfaces , la surface osculatrice est un paraboloide hyperbolique. Il peut aussi arriver que pour la génératrice droite G considérée sur la surface 2 , il n'y ait ni hyperboloide osculateur , ni paraboloide hyperbolique osculateur. Nous verrons plus loin , que la surfece gauche osculatrice n'existe pas lorsque les courbes G , G', C'^ ont un rayon de courbure nul aux points m y m\ m", et que l'une ou l'autre des deux surfaces gauches osculatrices existe lorsque ces trois courbes G , G', G'' ont un rayon de courbure fini ou infini aux points m, m\ m".

En considérant le second mode de génération dont toute surface gauche donnée par trois courbes directrices est susceptible (^^) , par conséquent en construisant le cône directeur de la surface gauche, on peut avec bien plus de facilité discuter les divers cas qui peuvent se présenter.

En effet :

Désignons par D le cône directeur ; l'on sait que chaque génératrice droite de ce cône a pour parallèle une des génératrices droites de la surface gauche donnée; désignons par y la génératrice du cône /et par G la génératrice qui lui est parallèle et qui appartient à la surface gauche , et suivant laquelle on veut construire une

(*) Extrait du Balletin de U Société philonutique » wance da 2 man 183S. (**) Vojex le Goan de Géométrie depcriptire, cliapitre XI, page 2ia.

surfiice gauche du second ordre et osculatrice ; coupons le cône D par un plan quelconque P, Ton aura une courbe Â^et sur celte courbe un pointa, rencontre du plan P et de la génératrice y ; enfin , menons f^ tangente à la courbe A au point a.

On sait que tout hyperboloide à une nappe a pour cône directeur un cône du second degré ; que tout paraboloîde hyperibolique, a pour cône directeur le système de deux plans; que si deux surfaces réglées sont osculatrices Tune à Tautre suivant une génératrice commune , leurs cônes directeurs étant supposés avoir même sommet , seront aussi osculateurs l'un à l'autre.

Par conséquent :

S'il existe un hyperboloide osculateur suivant la génératrice droite G , il faudra donc que l'on puisse construire un cône du second ordre et osculateur au cône D suivant sa génératrice droite y. Il faudra donc que la courbe A ait au point a un rayon de courbure qui ne soit ni nul, ni infini.

Si au contraire il existe un paraboloîde hyperbolique osculateur, il faudra que Ton puisse construire un plan osculateur aucôneD suivant sa génératrice droite y. Il faudra donc que la courbe A ait au point a un rayon de courbure infini, donc en ce point la courbe A pourra présenter, ou une inflexion, ou un méplat.

Enfin, si suivant la génération droite G il n'existe pas de surface gauche du second ordre osculatrice , il faudra que la courbe A ait un rayon de courbure nul pour le pointa ; qu'elle offre dès lors en ce point , ou une inflexion du premier ordre ( c'est-à-dire qu'elle n'ait qu'un contact du premier ordre avecsa tangente , Tinflexion existant), ou bien un point de rebroussement de première ou de deuxième espèce.

Et comme la surface gauche , du second ordre , osculatrice à une surface réglée suivant une de ses génératrices G, détermine la courbure de cette surface en chacun des points de la droite G , on doit conclure, puisque cette surface oscu* laf rice n'existe pas , que dans ce cas , la surface réglée a ses rayons de courbure, maximum et minimum , nuls en chacun des points de la génératrice G.

Lorsqu'une courbe a pour un de ses points un rayon de courbure nul , elle oflre en ce point un rebroussement ou une inflexion ou un point aigu ; et dans ce cas la tangente en ce point n'a pas un élément rectiligne commun avec la courbe ; réellement il n'y a qu'un seul point commun , entre la courbe et sa tangente ; la tangente est alors une véritable sécante, mais ayant une position toute spéciale par rapport à la courbe (^).

(*) Voyez danB les DëTeloppements de Géométrie descriptive » & U fia dn chapitre yil*, ce qui est relatif aux points sin^iers des courbes.

Nous devons conclure de là^ que lorsqu'une sur&ce réglée 1 aura ses rajoos de courbure nuls , en les divers points d'une de ses génératrices G ( et U suffit que l'on ait trouvé que les rayons de courbure étaient nuls en trois points de la gênératrice G , pour être assuré qu'ils le seront en tous les autres), il y aura une inùnité d'byperboloides ou de paraboloîdes gauches du second ordre , tangents suivant la génératrice droite G, mais n'ayant que cette seule génératrice G ea commun avec la surface réglée I , si trois plans tangents arbitraires menés suivant 6 coupent chacun la surface 2 suivant une courbe ofirant au point de contact un point sin-^ gulier pour lequel le rayon de courbure est nul (et si cela a lieu pour trois plans tangents, cela aura lieu pour tous les autres).

Et au contraire tous les hyperboloîdes et paraboloîdes tangents suivant la génératrice droite G auront deux génératrices successives et infiniment voisines en commun avec la surface réglée , si trois plans tangents arbitraires suivant cette génératrice G coupent, chacun^ la surface 2 suivant une courbe offrant au point en lequel elle coupe cette droite G, un point ordinaire, et ainsi un point pour lequel la tangente à cette courbe aurait un seul élément rectiligoe commun avec elle.

Mais quoique dans ce cas particulier ( du rayon, de courbure nul en tous les points de la génératrice G ) il n'y ait , ni hyper boloide , ni paraboloide osculateur , cependant il existera toujours ou une hyperboloïque ou un paraboloide qui jouira de la propriété particulière à la surface osculatrice du même ordre , savoir : que si l'on mène une série de plans tangents à la surface réglée suivant la génératrice G , ces plans couperont la surface réglée suivant des courbes dont les tangentes aux points de contact formeront toujours ou un hyperboloide , ou un parabo* loide , tangent à la surface réglée suivant la génératrice droite G.

Maison ne pourra reconnaître si la surface tangente est un hyperboloide ou un paraboloide, qu'en considérant trois sections de la surface réglée, faites par trois plans tangents arbitraires menés par la droite G ; si les tangentes à ces trois courbes sont parallèles à un même plan, on aura un paraboloide , autrement on aura un hyperboloide; et, je le répète, la courbe A base du cône directeur de la surface réglée ne peut rien indiquer, dans ce cas, parce que le rayon de courbure est nul pour le point singulier, que cette courbe présente au point que l'on considère.

En résumé :

1* Si une surface gauche 2 a un cône directeur D, tel que la courbe de section de ce cône D par un plan quelconque, n'offre aucun point singulier, il y aura suivant chacune des génératrices de la surface 2 , un hyperboloide osculateur.

2"" Si une surface gauche 2 a un plan directeur P, il y aura suivant chacune des génératrices de la surface 2 , un paraboloide osculateur.

§ II

ComîrudUm géométrique du rayon de courbure en un point d'une courbe , pour lequel

on connaît la tangente à la courbe.

Soient donnés une courbe plane C ; un point m sur cette courbe et sa tangente I* au point m ; on denrande le rayon de courbure de la courbe C pour ce point f^i.

La solution de ce problème devient facile, en vertu de ce que j'ai dit précédemment sur Thyperboloîde osculateur d'une surface gauche , et sur le cône directeur que possède toute surface réglée.

En effet :

Concevons hors du plan de la courbe C un point 9 comme sommet d'un cône D ayant pour base la courbe G ; joignons les points 9 et m par une droite y qui sera Tune des génératrices du cône D. Prenons sur y deux points arbitraires n et n\ et menons deux droites arbitraires N par n, IN ' par n'. Nous pourrons regarder les droites N et N' comme les directrices d'une surface réglée ayant D pour cône directeur, y étant une des génératrices droites de cette surface réglée. Suivant la droite (génératice) y, il y aura une hyperboloîde H osculateur de la surface réglée, puisque nous supposons que le point m n'est pas un point singulier sur la courbe C , par conséquent Thyperboloïde H aura un cône directeur du second degré A , nous pourrons toujours supposer que son sommet soit en Sj et dès lors ce cône A sera osculateur du cône D suivant la droite y. Le plan de la courbe C coupera donc le cône A suivant une section conique B osculatrice de la courbe C au point m. Le rayon de courbure de la conique B au point m sera donc le rayon de courbure de la courbe donnée G pour le même point.

Cinq conditions suffisent pour déterminer une section conique, quatre points et une tangente. On connaît déjà le point m et la tangente i"* ; construisons trois autres points.

Menons par le sommet s deux droites M et M' respectivement parallèles à N et N'y elles seront des génératrices du cône A, et ces droites couperont le plan de la courbe C aux points p et p' qui appartiendront à la section conique B.

Pour obtenir le quatrième point, il faudra 1* par un point arbitraire q de la droite y faire passer un plan tangent à la surface réglée, lequel coupera cette surface suivant une courbe A qu'il faudra construire par points; il faudra 2"" mener à la courbe A et au point q une tangente T ; il faudra 3"" par le sommet s mener la droite T' parallèle à T, laquelle coupera le plan de la courbe C en un point tf. Ce point c' appartiendra à la section conique B , dont on connaîtra dès

lors les irois points rigoureux p, p', m, la tangente rigoureuse ^, et un quatrième point i qui peut être erroné en sa position , puisqu'il faut mener à Yue une tangente T au point q de la section A: Le rayon de courbure p de la section conique B sera donc altéré en sa véritable longueur.

Mais Ton pourra prendre un autre point 9' sur la droite 7 et faire la même construction , on aura donc un quatrième point l'^qui ne sera pas situé sur la même section conique B , mais sur une autre section conique B' passant par les quatre points p, p\ m , i\ et ayant pour tangente au point m la droite C ; on prendra le rayon de courbure p' de la courbe B', et Ton pourra ainsi avoir les rayons de courbure d'une suite de sections coniques ayant trois points communs p, p\ m, une tangente commune <* et toutes tangentes entre elles et à la courbe G au point m.

La moyenne de ces rayons de courbure donnera le rayon de courbure de la courbe G, avec une approximation suffisante pour les arts graphiques.

( Hachette a employé une marche analogue pour construire la tangente en un point d'une courbe. Voir son Traité de Géométrie à trois dimensions, page 58.)

Ainsi l'on peut ramener la détermination géométrique du rayon de courbure d'une courbe plane quelconque à celle du rayon de courbure d'une section conique dont on connaît quatre points et une tangente.

8 IIL

C^MttviciMn géométrique de la courbe de gorge itune $urface réglée.

Je considère d'abord un hyperboloîde à une nappe H et non de révolution* On voit sur-le-champ que suivant une génératrice droite G de cette surface réglée M passent une infinité d'hyperboloides de révolution tangents entre eux et à cette surface réglée H , suivant la droite G , et dont les axes de rotation ne sont autres que les diverses génératrices du paraboloîde normal à la surface H et construit pour la génératrice droite G.

11 est facile de voir que si la génératrice droite G ne passe pas par l'un des quatre sommets de l'ellipse de gorge de l'byperboloide , le paraboloîde noripal n'aura aucune de ses génératrices du même système que G perpendiculaire au plan de cette ellipse de gorge ; par conséquent comme pour tous les hyperboloîdes de révolution , le sommet du paraboloîde normal est un des points de leur cercle de gorge , il s'ensuit que les sommets des divers paraboloîdes normaux de l'hyperboloîde H ne seront pas situés sur l'ellipse de gorge de cet hyperboloîde H, excepté pour ceux qui sont menés suivant les quatre génératrices droites du premier sys--

fém# de cet hyperboloi4e H et qui passent par l'un des quatre sommets d« celte eHipse de gorge ; la droite G appartenant^u premier système.

La courbe formée par les sommets des paraboloides normaux est composée de deux branches fermées et à double courbure ^ symétriquement placées par rapport au plan de l'ellipse de gorge et qui se croisent aux quatre sommets de cette ellipse.

Si nous prenons le centre s de l'hyperbotoide H » et que par ce point et par chacune des normales menées à la surface H en les divers points de la génératrice droite G nous fassions passer une série de plans , tous ces plans seront tangents au paraboloïde anormal suivant G. Tous ces plans seront les enveloppées d' une sur* face enveloppe tangente au paraboloide normal^. Cette surface enveloppe sera un cône D du second degré et tangent au paraboloide {^suivant une section coniquequi sera une hyperbole. Remarquons que le plan de Tellipse de gorge passe par une des normales à la surface H, et qu'il est perpendiculaire au plan langent mené suivant la droite G , lequel a pour point de contact avec la surface H , le point où celte droite G coupe l'ellipse de gorge» par conséquent le plan de goi^e sera tangent au cône D.

Si suivant une autre génératrice G' on menait le pamboloîde normal $' , on trouverait de même un cône D' ayant le point (ou centre) s pour «omroet , et ce cône serait langent au paraboloide $', et le plan de gorge serait encore tangent à ce cône ly.

Ainsi l'hyperboloide à une nappe jouit de cette propriété , savoir :

Que le plan de gorge est tangent à tous les canes qui ayant leur êommet au centre de 4a surface sont tangents aux paraboloides normaux menés suivant les diverses génératrices de la surface.

Il est évident que si Ton considère sur Thyberboloide H, deux génératrices de syslèmea différents G et K parallèles entre elles ^ le cône tangent au paraboloide normal suivant G sera aussi tangent au paraboloide normal suivant K.

Pour avoir le plan de gorge d'un hyperboloide à une nappe, il faudra donc construire deux paraboloides normaux $ suivant G , $' suivant G'; et par le centre s de la surface H , construire deux cônes D et D', tangents, l'un D à la surface $, l'autre D'à la surface $' ; puis par le point s mener un plan tangent comnnin aux deux cônes D et D', lequel sera le plan de gorge demandé.

Si dow on a une surface r^lée 2 , pour déterminer sa courbede gorge, il faudra prendre une de ses génératrices droites G, construire Thyperboloide H osculateur suivant G, déterminer le plan de gorge de la surùce H, lequel coupera la droite G en un point a qui appartiendra à la courbe de gorge A de la surface réglée 1, et effectuer pour chaque génératrice droite de la surface 2 les mêmes constructions.

Il c^t bien évident que r«llip$e de gorge de Thyperboloide oaeulateur sert omu- - latrice de la courbe de gorge A de la $urraoe réglée 2, et que le plan P de Tellipse de gorge sera le plan osculateur de la courbe À pour le point a.

Par conséquent , h génératriee G de la surface réglée 2 se projettera ortbogonalement sur le plao P suivant la tangente à la courbe A au point a.

Il existe deux espèces de surfaces réglées , celles qui ont un cône directeur et celles qui ont ub plan directeur.

Les premières n'ont que des hyperboloides osculateurs, les secondes n'ont que des paraboloides osculateurs.

Énumérons les diverses propriétés dont ces premières surfaces jouissent par rapport à leur cOurbe de gorge.

La courbe de gorge peut être plane ou à double courbure.

Déinontrons le théorème suivant :

Si ia courbe de ^ge eu pkme , la surface réglée aura toujours pour cône direcUwr un cône du seoond degré-

£n effet :

Le cône directew D de la surface réglée aura pour cônes osculateurs iesdivers cônes A, l\ A'', etc., directeurs des hyperboloides osculateurs (en supposant que ces cônes ont tous un som(net commun).

Gomme laeourbe de gorge A est plane, tous ces cônes du deuxième degré auront un mâme axe qui sera perpendiculaire au plan de la courbe A. Si donc on coupe le côneD par un {^n Q perpendiculaire à cet axe , on aura une courbe C qui aura pour osculatrtces les diverses ellipses i, t, t\ etc., seetions des cônes A, A'» a", etc., par le plan Q , el toutes ces ellipses auront pour centre commun le point en lequel le plan Q coupe Taxe; de plus, comme Thyperboloide osculateur H est tangent à Thyperboloide osculateur .infiniment voisin ff'« toutes ces ellipses C| e, e"r etc., seront tangenteSi savoir : eaveo t\ i avec t\ etc., en «upposant les cônes A, A'} a", etc.» successifs et infiniment voisins. Or, il est évideat que Ton ne poufrajamais^ construire une courbe C ayant un contact du deuxième ordre avec chacune de ces ellipses qui s'enveloppent les unes les autres , puîsqn'eUes ont môme centre. Il faut donc qu^. la courbe G et toutes ces ellipses se réduisent à une seule ellipse E.

Il k^ïl donc , dès lors» que le cône directeur D soit du second degré, et Ton ' peut en conclure que touie sur&ce réglée dont la courbe de gorge est plane jouit de cette propriété, savoir : que ses hyperboloides osculateurs ont pour courbes de gorge des ellipses semblables.

Quant à la proportion suivante : ^

Let surfaces réglées qui oui un cône directeur peuvent avoir tous leurs kffperboloidês osculaieurs de révolution^

Il est évideat que cela aura Heu lorsqae Les génératrices de la surface couperonl la courbe de gorge plane ou à double coucbure sons an angte constant.

De tout ce qui précède > on peut sans peine déduire ce qui soit :

l"" Lorsque la eouorbe de gorgeA est plane, .si les génératrices^ la coupent sous l'angle droit » on a un.cylindve pour la sorface réglée.

2'' Lorsque la courbe de gorge A est à donbie courbure, si les génératrices la coupent sous l'angle droit, on a une surface développable dont Tarète de rebrous^ sèment a pour Tune de ses développpantes la courbe donnée comme étant la courbe de gorge de la surface réglée.

3* Lorsque la courbe de gorge A sera plane et que les hypeiiK)loides oseuFateurs de la surface réglée seront tous derévôlution, le cône directeur de la sfrrfece réglée sera un cône de révolution.

4* Lorsque la courbe de gorgie A sera à double courbure et que les byperbo* loides oseulaleurs seront tous de révolution y si Ton coupe le cône directeur D de la surface réglée par un« sphère d^un rayon arbitraire et ayant son centreau sommet du cône D, la courbe d'intersection Y jouira de la propriété suivante, savoir :

Que, désignant par y la génératrice du cône D parallèle k la génératrice G de la smrfaee réglée, y coupera la courbe V en un point v \ la droite G coupera la courbe A en un point a , de telle sorte que le plan osculateur de la courbe V au poÂjU t; seira parallèle au plan, osculateur de la courbe A pour le point a.

Ainsiles deuxcouirbes V et Aont leurs plans osculateurs respectivement parallèles.

5* Les surfaces réglées dont tous les hyperboloïdes osculateurs sont de révolution , que la courbe de gorge soit pkne ou à double courbure , jouissent de cette propriété , savoir :

Que Les sommeis^de leur^ paraboloîdes normaux forment les divers points de leur<K)urbe de gorge.

Énumérons maintenant les propriétés dont jouissent par rapport à leur courbe de gorge les surfaces réglées qui ont un plan directeur.

La courbe de gorge peut être plane ou à double couriiurey elle peut être une ligne droite.

(Rappelon8-4ious>que ces^urfaces n^ont que des paraboloides osculateurs ; qu'il eiiste deux espèces de paraboloides, les uns rectangulaires, les autres obliques ; que le f^aboloide rectangulaire joue , parmi les paraboloides , le même rôle que l'hyperboloîde à une nappe et de révolution , joue parmi les hyperboloïdes à trois' axes. )

G"" Pour construire la courbe de gorge d'une semblable surfacerégléa, il faudra :

Sumot la génératrice G, coostraire le paraboloîde osculateur 4et déterminer son sommet ; la génératrice K du second système (de la surface 4») passant par ce sommet I viendra couper la génératrice G, du premier système, en un point qui appartiendra à la courbe de gor^e cherchée.

7* Tous les paraboloides osculaleurs peuvent être rectangulaires ou obliques; lorsqu'ils sont tous rectangulaires , les sommets des paraboloîdes normaux suivant les diverses génératrices de la surface réglée, ne donneront pas , en génémly les divers points de la courbe de gorge de la surface réglée.

S"" La courbe A de gorge étant une ligne droite , toutes les génératrices de la surface réglée peuvent la coupera angle droit ; mais alors cette droite de gorge est perpendiculaire au plan directeur de^^ette surface réglée. 'Dans ce cas, tous les paraboloîdes oscubteurs sont rectangulaires , et leurs sommets forment les divers points de la droite de gorge.

' 9"* La courbe de gorge A étant une ligne droite , tous les paraboloîdes osculateur^ étant obliques, les génératrices de la surface réglée peuvent couper la droite de gorge sous des angles variables, depuis Tangle droit jusqu'à l'angle que cette droite de gorge fait avec le plan directeur de la surface réglée; et dans ce cas, les sommets des paraboloîdes osculateurs formient encore les divers points de la droite de gorge. iO"" La courbe de gorge A étant plane ou à double courbure , les génératrices de la. surface réglée peuvent la couper sous un angle constant, qui même peut être droit. En effet : Ton peut supposer par les divers points de la courbe de gorge A une série de droites parallèles entre elles, et par chacune d'elles un plan , tous cm plans P, P', P", etc., étant parallèles entre eux et au plan directeur de la surface réglée.

Concevons, ensuite, en chacun des points de la courbe A les tangentes à cette courbe, et menons par chacun des points de contact des plans Q, Q', Q'' , etc., qui fassent avec les tangentes des angles égaux; le plan P coupera le plan Q suivant une droite G, qui sera une génératrice de la surface réglée; il en sera (Je môme pour les plans P'et Q', P" et Q", etc.

Mais si la courbe A est plane, son plan ne pourra pas être perpendiculaire au plan directeur de la sur&ce réglée, si les génératrices G, G', etc., de cette surface coupent la courbe A sous l'angle droit; car dans ce cas, il est évident que la surface réglée serait un cylindre ayant la courbe A pour section droite.

il* Lorsque les générsrtrices de la surface réglée coupent i angle droit la courbe de gorge A, cette courbe étant plane ou à double courbure, tous les paraboloîdes osculateurs sont rectangulaires.

N" il.

CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES LIGNES d'ÉGALË COURBURE d'uNE