SURFACE GAUCHE

On sait : l"" que pour les surfaces gauches du second ordre les lignes de courbure maximum et minimum se croisant en un point de la surface, divisent en deux parties égales l'angle et le supplément de Tangle que les deux génératrices droites de systèmes différents, qui se croisent en ce point, font entre elles ;

2"" Que si en un point m d'une surface gauche quelconque , on construit le plan tangent , il coupe la surface suivant une courbe dont la tangente au point de contact m ainsi que la génératrice droite passant par ce point m j sont les lignes de gorge du paraboloîde hyperbolique osculateur à la surface, par son sommet en - ce même point m (désignant par lignes de gorge les deux génératrices, de systèmes différents qui se croisent au sommet du paraboloîde) ;

S"* Les plans principaux d'un paraboloîde hyperbolique rectangulaire, sont aussi les plans des sections principales de ce paraboloîde ; de sorte que comme les paraboles situées dans les plans principaux sont égales, dans ce cas, le paraboloîde rectangulaire a pour son sommet des rayons de courbure maximum et minimum qui sont égaux , et ses lignes de courbure se croisant en son sommet font des angles demi-droits avec ses lignes de gorge :

Cela posé :

On voit que pour tout point d'une surface gauche du second ordre, tel que les génératrices de systèmes différents s'y. croiseront sous Tangle droit; la surface aura des rayons de courbure égaux. La ligne qui unira tous les points de cette nature sera dite : li^e dH égale courbure de la surface.

On voit sur-le-champ :

V Que pour Thyperboloîde de révolution dont le cône asymptote aura l'angle au sommet plus petit qu'un droit , il n'y aura point de lignes d'égale courbure ; si cet angle est égal à un droit , ce sera le cercle de gorge qui sera la ligne d'égale courbure; enfin, si cet angle est obtus la ligne d*égale courbure sera composée de deux cercles parallèles, équidistants du cercle de gorge, et qui s'en éloigneront d'autant plus que l'angle au sommet du cône asymptote sera plus grand.

<*) Extrait da Balletin de la Société philomatiqtie, séance dn 22 juin 1833.

2* Que pour Thyperboloîde non de révolution , si les deux génératrices qui se croisent à l'extrémité du petit axe de l'ellipse de gorge font un angle aigu , il n'y aura pas de lignes d'égale courbure ; si ees deux génératrices font un angle droit, la ligne d'égale courbure se réduira à deux points qui seront précisément les sommets de Fellipse de gorge, extrémités du petit axe; si ces deux géoératriees font un angle obtus, celles qui se croisent à l'extrémité du grand axe de l'ellipse de gorge, faisant un angle aigu, la Ugne d'égale courbure sera composée de deux branches fermées, se coupant en quatre points symétriquement placés sur l'ellipse de gorge ; si les deux génératrices qui se croisent à l'extrémité du graud axe de l'ellipe de gorge se coupent à angle droit, la ligne d'égale courbure sera composée de deux courbes fermées se coupant en deux points situés aux extrémités du grand axe de l'ellipse de gorge; si en6n les deux génératrices qui se croisent aux extrémités du grand axe font un angle obtus, la ligne d'égale courbure se composera de deux courbes à double courbure, fermée^ , séparées l'une de l'autre, et symétriquement placées par rapport au plan de l'ellipse de gorge; la ligne d'égale coorbure n'aura j^amais des branches infinies. Remarquons que l'ellipse de gorge ne divise pas en deux parties égales , la portion de génératrices droites interceptée par la ligne d'égale courbure , et remarquons encore que la ligne d'égale courbure est en général coupée en deux points par une génératrice droite de la surface.

9" Que pour le paraboloide hyperbolique rectangulaire, la ligne d'égale courbure ne sera autre que les deux droites de gorge.

A"" Que pour le paraboloide hyperbolique oblique, la ligne d'égale courbure sera composée de quatre branches infinies ayant chacune leurs deux points situés à l'infini, placés sur les deux droites de gorge.

D'après ce qui précède :

Si l'on donne une surface gauche quelconque S, on prendra une de ses génératrices droites G , suivant laquelle on construira la surface gauche du deuxième ordre et osculatrice H ; on déterminera par rapport à la surface B la génératrice K du second système qui croise sous l'angle droit la ligne droite G (qui sera considérée .comnie génératrice du premier système de l'hyperboloide osculateur H) , le point d'intersection sera un point de la surface S, pour lequel les rayons de courbure maximum et minimum seront égaux.

Il sera donc facile de construire géométriquement, sur une surface gauche quelconque , les lignes d'égale courbure.

Et , dès lors , Ton peut énoncer le théorème suivant :

Les lignes de cowrburei ^ nmximwn etfmnimKin. d'une surface gauche caupetU sou*

^ in ^

Vangle demUd^ok k généraêtice dtfdlte de cette s^jncè pour tùui point en lequel les raym$ de courbure de célU surface sont égaux.

Remarquons encore :

Que rar chaque génératrice droite d'une sut'fkce gauche quelconque , il existera deux points d'égale courbure situés l'un à di'oite, l'autre à gauche par rapport à la ligne de gorge de la surface; que s il n'en etiste qu'un seul , il sera situé sur ia ligne de gorge; et qu'il pourra n'en point exister.

Si la surface gauche donnée avait un plan directeur^ Ton sait que la surface du second ordre osculatrice suivant chacune des génératrices droites de cette surface gauche, serait un paraboloide hyperbolique; il pourrait arriver que l'un de ces paraboloides osculateurs fût rectangulaire et que la génératrice d*osculàtioii fAt une ligne de gorge de ce paraboloide ; dans ce cas , cette génératrice serait une ligne d'égale courbure de la surface gauche donnée ; de sorte que la surfbce gauche donnée n'ayant que des paraboloides osculateurs rectangulaires , si elle a des lignes d'égale courbure^ ces lignes ne pourront être que des génératrices droites de cette surface gauche donnée.

Et dans le cas ou tous les paraboloides osculateurs étant rectangulaires, leurs sommets sont respectivement situés sur les génératrices respectives d'osculation , alors, toutes les génératrices droites de la surface gaucho donnée seront des lignes d'égale courbure de cette même surface gauche ; et dès lors les lignes de courbure maximum et minimum de cette surface gauche donnée couperont sous l'angle demi-droit toutes les génératrices droites de cette même surface donnée. ( Nous indiquerons plus loin une surface jouissant de cette propriété remarquable.)

Toutes les îù\% qu'une surface gauche aura pour paraboloides osculateurs , des paraboloides obliques y elle possédera des lignes d'égale courbure, si toutefois le sommet de chacun de ces paraboloides n'est pas situé sur la génératrice d'osculation , car alors tous les points d'égale courbure seront situés à l'infini.

Les lignes d'égale courbure d'une surface gauche pourront donc affecter les formes suivantes : un ou plusieurs points isolés et situés sur la ligne de gorge de la surface; une ou plusieurs génératrices droites de la surface ; des courbes fermées ou à branches infinies. Et la ligne de gorge de la surface coupera en deux parties égales les portions.de ces génératrices droites interceptées par les lignes d'égale courbure , si les hyperboloides osculateurs sont tous de révolution. Ce qui permettrait , dans ce cas tout particulier, de construire par points la ligne de gorgé d'une surface gauche , lorsqu'on connaîtrait ses lignes d'égale courbure.

Les points d'égale courbure situés sur les surfaces gauches ; sont les homolo-

gués des points ombilics des surfaces courbes ; seulement pour les ombilics , comme les rayons de courbure maximum et minimum sont dirigés dans le même sens, la courbure de la surface est la même tout autour de l'ombilic, ce qui n'a pas lieu pour les surfaces gauches, parce que les rayons de courbure maximum et minimum sont dirigés en sens opposés, de sorte que tout autour d'un point d'égale courbure, la courbure de la surface varie et diminue à mesure que le plan normal s'approche de la génératrice droite G de la surface donnée, ou de celle K du deuxième système appartenant à la surface gauche du deuxième ordre qui est osculatrice à la surface gauche donnée suivant la génératrice G. Par les méthodes graphiques de la géométrie descriptive , l'on ne peut encore déterminer la position des ombilics des surfaces courbes , tandis que pour les surfaces gauches l'on peut , d'après ce qui précède , déterminer avec facilité les points d'égale courbure. Il faut remarquer qu'une ligne d'égale courbure divise toujours la surface en deux régions telles , que si d'un côté de cette ligne le rayon de courbure maximum est par exemple au-dessus de la surlace , de l'autre côté de cette ligne y le rayon de courbure maximum sera au-dessousi; de sorte que la surface aura pour tous ses points placés d'un même côté de la ligne d*égale courbure , ses rayons de courbure maximum dirigés dans le même sens, et pour tous ses points situés de l'autre côté de la ligne d'égale courbure, tous les rayons de courbure maximum seront dirigés dans un sens opposé.