S II

Lignes de courbure de l'hélicaide gauche , surface du filet d'une vis carrée.

Si en un point m d'une génératrice droite G de l'hélicoîde gauche rectangulaire (ainsi nommé parée que ses génératrices droites coupent rectangulai rement sa directrice droite) , Ton construit la tangente T à l'hélice circulaire H passant par ce point m, Ton sait que le plan tangent en m et qui est déterminé par les deux droites G et T, sera le plan osculateur de l'hélice H pour le poinl m. Ce plan coupera donc la surface hélicoîde suivant une courbe C ayant même cercle osculateur que l'hélice H , par conséquent, même langent T pour le point m. Il en sera de même pour tous les auires points de la droite G; par conséquent l'on peut énoncer le théorème suivant :

La surface gauche du second ordre , osculairice de C hélicoîde gauche rectangulaire smvant une de ses génératrices , est toujours un parabolotde hyperbolique rectangulaire dont les génératrices du premier système sont les diverses tangentes aux hélices circulaires tracées sur la surface hélicoîde.

Ce qui a lieu pour une des génératrices droites de l'hélicoide a évidemment lieu et identiquement pour toutes ses autres génératrices; on peut donc, en vertu de ce qui précède , énoncer les théorèmes suivants {*) :

V Tous les parabolotdes osculateurs sont rectangulaires et égaux pour Chélicdide rectangulaire Le sommet de chaque paraboloîde osculateur est situé sur la directrice droite de la surface hélicoide , au point où cette directrice est coupée par la génératrice droite d'osculalion. Donc :

2^ Toutes les génératrices droites de l'hélicoide gauche rectangulaire sont des lignes dégale courbure sur cette surface.

3* V hélicoide gauche rectangulaire a , en chacun de ses points , des rayons de courbure égaux (**).

A"" Les lignes de courbure maximum et minimum de ChélicoUde gauche rectangulaire sont des courbes identiques qui coupent sous Cangle demi-droit toutes les génératrices droites de la surface , et qui se projettent sur un plan perpendiculaire à la directrice droite de la surface suivant des spirales égales et passant toutes par le pied de la directrice.

. De la forme approximative des lignes de courbure dune surface gauche.

Dans les applications aux arts , il pourrait être utile , dans plusieurs cas» de connaître , non la nature et la fol^me rigoureuse des lignes de courbure d'une surface gauche y mais leur forme approximative. Ce qui précède pourra, pour certaines surfaces, permettre d'arriver à déterminer d'une manière suffisante pour la pratique, la forme que doivent aflTecter leurs lignes de courbure. Je prendrai pour exemple le conoîde ordinaire » que je désignerai par I.

Supposons la droite M verticale , et dans un plan vertical une ellipse E telle que Tun de ses axes soit horizontal. Désignons par b et b' les sommets situés sur Taxe horizontal 9 par a et a les sommets situés sur l'axe vertical de cette ellipse. Le conoîde est engendré par une droite qui se meut horizontalement en s'appuyant sur Taxe M et Tellipse E. Je désigne par B et B', A et A', les génératrices correspondant respectivement aux quatre sommets b et b\ a et a\

{*) Voyez Développements de Géométrie descriptive au chapitre 5 , page 279, ce que j'ai dit touchaot la construction de lliyperboloïde Ofcnlateur tout le long d'une génératrice droite de Thélicoïde gauche qui forme la surface du filet de vis triangulaire.

(**) Voyez , aussi , à la fin du chapitre VU du même ouvrage , ce que j'ai dit sur la surface du filet de ris carrée , comme étant la seule surface gauche qui jouisse de la propriété d'avoir ses rayons de courbure égaux.

Il est évident : i"" que toufr les paraboloîdes osculateurs de cette surface conoîde 1 font rectangulaires ; 2« que suivant chacune des quatre génératrices B , B', À, A.^, la surface 1 n'a qu'un seul plan tangent; par conséquent, ces quatre droites sont quatre Hgnes de courbura minimum de la surface. €es quatre droites divisent la surface en quatre régions symétriques , et les lignes de courbure maximum et minimum de la région comprise entre les droites B et A^ seront, les premières, normales à ces droites B et A , et les secondes tangentes à c€fs mêmes droites B et A.

Maintenant , comme nne ligne de courbure ne peut couper rectangolairement une génératrice droite d'une surfece gauche, suivant laquelle l'élément de cette surface est gauche, il s'ensuit que la ligne de courbure maximum ayant coupé rectangulairement la droite B, sera forcée de s'infléchir pour venir couper aussi rectangulairement la droite A ; que par conséquent , après avoir tosraé sa con* vexhé vers l'ellipse E, elle lui tournera sa concavité en passant de la droite B à la droite A. Il en sera de même pour la ligne de courbure minimum*

On voit que dans leur trajet ces lignes de courbure seront forcées de couper sousTangle demi-droit une des génératrices droites, du conoîde, comprise entre les droites A et B ; dès lors cette génératrice remarquable siéra une ligne d'égale courbure du conoîde 2. Il y a donc quatre droites d'égale courbure; l'axe M sera une cinquième droite d'égale courbure.

C'est en passant sur la droite d'égale courbure que les lignes de courbure s'infléchiront.

Pour savoir, enfin , de quel côté les lignes de courbure tournent leur conca* vite , en pariant de la génératrice B , il faudra pour un point de la sur&ce déterminer dans quelle direction se trouve le rayon de courbure maximum oa minimum.

On voit, d'après ce qui précède, que la ligne de courbure minimum se cornpesé de quatre droites et d'une courbe composée de quatre branches offrant chacune un point d'inflexion^ et q^ue cette courbe a quatre rebroussements de première espèce alternativement tournés en sens opposé, et que les quatre droites* B, fi', A^ A', sont des tangentes en ces quatre points singuliers.

§ IV

De la ligne de gorge des surfaced gauches.

Ce que je viens dédire sur les lignes d'égale courbure d*une surface gauche me conduit à La démonstration de ce que j'ai dit touchant la ligne de gorge des surfaces gauches (§ 3, art. 7% page 268 du mémoire publiésous le n* 10, chapitre 11 di&

cet ouvrage). J'ai dit que lorsque la surface gauche avait tous ses paraboloides osculateurs rectangulaires, leurs sommets n'étaient pas sur la courbe de gorge. S'il en était autrement, la ligne de gorge étant une courbe plane ou à double courbure, il faudrait impérieusement, dans ce cas, que le sommet du paraboloide fût le point d'intersection de la génératrice d'osculation et de la courbe de gorge, de sorte que cette génératrice serait une ligne d'égale courbure de la surfoce. On en pourrait dire autant pour toutes les autres génératrices ; dès lors, la surface aurait, en chacun de ses points , des rayons de courbure égaux, ce qui n'a lieu que pour Thélicoîde gauche rectangulaire. Les énoncés n^'S* et 9« du même § 3 , sont exacts en tant que l'on sous-entend que les sommets des paraboloides' osculateurs sont en effet distribués sur la droite de gorge de la surface, mais que le sommet n*est , que dans certains cas et seulement pour certaine génératrice droite d'osculation , situé au point en lequel la droite de gorge est coupée par la génératrice d'osculation.

Je crois que l'on peut définir la courbe de gorge d'une surface gauche, ainsi : La courbe de gorge est r enveloppe des ellipses de gorge des dhers hyperboUndesoscuUueurs.