CHAPITRE IIL

APPLICATIONS DE ^A THÉORIE DE L'OSGULATIOIf DES COURBES ET DES SURFACES A LA CONSTRUCTION : l« DES TANGENTES AU POINT MULTIPLE DE LA COURBE UHTERSECTION DE DEUX SURFACES ; 2» DES POINTS D'INFLEXION QUE PEUT PRÉSENTER UNE COURBE APLANIE.

CONSTRUCTION DES TANGENTES EN UN POINT MULTIPLE d'uNE COURBE PLANE OU A DOUBLE COURBURE, DONT l'ÉQUATION N*EST PAS CONNUE (^).

Je me propose , dans ce mémoire , de résoudre le problème suivant :

1 . Étant donnée une courbe à simple ou double courbure ^ dont on ne connaU aucunes propriétés géométriques ^ en d'autres termes , dont t équation estinconnuCy construire la tangente en un point donné sur cette courbe , si ce point est simple , et les tangentes aux diverses branches de la courbe qui s'y croisent y si cepoint est multiple.

La solution de celte question nous conduira à celle de divers problèmes qui sont utiles dans les applications de la géométrie descriptive.

2. Hachette a résolu ce problème, en considérant seulement une courbe plane et un point simple de la courbe»

Sa méthode consiste à regarder la courbe proposée comme la directrice d'une surface réglée et ayant, pour ses deux autres directrices, deux droites quelconques qui s'appuient sur une troisième droite arbitraire D , menée hors du plan de la

(*) Extrait da iounial de TÉcole polytechnique , 7f cahier. Ce mémoire a été lu à la Société philomatique , dans ta séance du 17 mars 183?.

courbe, et passant par le point m, en lequel on veut construire la tangente ; ensuite, à construire la normale au point m de la surface réglée. La projection orihogonale de cette normale sur le plan de la courbe proposée se trouve normale au point m à cette courbe {*).

3. La construction que je donne pour la solution de ce problème est différente de celle de Hachette. Elle a l'avantage de s'appliquer aux points mdtvples , sans que Ton éprouve aucune difficulté, et de plus elle me parait, non-seulement plus simple, mais encore plus exacte, sous le point de vue graphique.

4. Étant données deux surfaces S et S', se coupant suivant une courbe ayant un point multiple double ^ on demande de construire les deux tangenies en ce point.

Lorsque deux surfaces se coupent ainsi, elles sont en contact au point multiple, elles ont en ce point même plan tangent : par conséquent Ton ne peut construire les tangentes demandées par la méthode graphique ordinaire, qui, comme on le sait, se réduit à mener au point donné des plans respectivement tangents aux deux surfaces, et leur intersection donne la tangente au point considéré.

5. Pour pouvoir résoudre ce problème dans toute sa généralité, nous supposerons que l'on connaît :

1* La normale N commune aux deux surfaces S et S' pour le point multiple m ;

2* La direction des lignes de courbure qui se croisent au point m, soit sur la surface S, soit sur la surface S";

S"" Les rayons de courbure maximum r et minimum R de la surface S , et ceux homologues / et R' de la surface S' pour le point m.

On pourra dès lors construire au point m de la surface Tellipsoide E osculateur en ce point , si les rayons de courbure sont dirigés dans le même sens , ou Thyperboloîde osculateur H, si les rayons de courbure sont dirigés en sens opposés.

On sait que Tellipsoide E aura pour ses demi-axes:

assi^cr et fc=sV/cR et e

c étant une longueur arbitraire prise sur la normale à partir du point m, et portée dans le sens des rayons de courbure.

On sait que Thyperboloide H aura pour ses demi^axes :

a=z\/cr et fcrcV^cR et c (*} Éléments de Géométrie à trois dimension* ( partie synthétique ), par Hachette, 1817, pag. 58 -60.

c élan! une longueur arbitraire prise sur la normale N à partir du point m.

6. Mais comme cette longueur peut être portée soit sur le rayon r, soit sur le rayon R , il s'ensuit que , lorsqu'on a des rayons de courbure dirigés en sens op^ posés , il existe deux hyperboloîdes à une nappe , osculateurs de la surface.

L'un H ayant pour demi-axes :

a:=^/^ et h=\/^ et c

Mais a étant l'axe imaginaire, si la longueur ca été portée sur le rayon de courbure minimum R.

L'autre H' ayant pour demi-axes :

a^\/^ et 6=V/c» et c

Mais b étant l'axe imaginaire, si la longueur c a été portée sur le rayon de courbure maximum r.

7. Ces deux hyperboloîdes ont pour plan tangent commun le plan tangent de la surface S au point m. Us sont situés l'un au-dessus, l'autre au-dessous de ce plan tangent, leurs axes imaginaires étant dirigés à angle droit. Ces deux hyper-> boloîdes se coupent suivant deux génératrices droites se croisant au point m , et qui ^nt les tangentes au point multiple de la courbe intersection de la surface S , par son plan tangent au point m.

8. On sait que deux surfaces du second ordre, concentriques et en contact par deux sommets opposés, se coupent (si elles se coupent) suivant deux courbes planes; que, si par le centre commun l'on mène le plan P, perpendiculaire i l'axe qui unit les deux sommets de contact , cepian P coupera les deux surlaces suivnnt deux sections coniques concentriques, lesquelles se coupent. en quatre points symétriquement placés par rapport au centre.

Que les deux cordes diagonales qui unissent ces quatre points deux à deux, et se croisent au centre, sont les projections orthogonales, sur le plan P, des deux courbes intersections des deux sections.

Cela posé :

9* Prenons deux surfaces S et S', en contact en un point m , et se coupant suivant une courbe ayant ce point m pour point multiple.

Si l'on construit la surface du second ordre 0 osculatrice de là surface S au point m, et la surface 0' osculatrice de la surface S' au même point, il est évident que les deux surfaces 6 et S' se couperont suivant une courbe qui aura pour ùêcuUiirice la courbe intersection des deux suf faces O et 0\

GoniDie Ton esl malire de prendre sur la normale N une longueur arbitraire c pour rendes axes de la surface osculatrice du second ordre, Ton peut toujours construire les deux surfaces 0 el 0' de manière à ce qu'elles soient concentriques.

L'une O étant un ellipsoïde, ou un hyperboioide à une nappe, aura pour ses demi-axes :

a=^i/cr et b=\/cR et c

L'autre 0' étant aussi un ellipsoïde, ou un hyperboioide à une nappe, aura pour ses demi-axes :

o'^V/er' et V=\/cB! et c

Dès lors les deux surfaces 0 et 0' se couperont suivant deux courbes planes dont les plans seront perpendiculaires au plan tangent commun aux deux sur- Faces S et S' pour le point m, et couperont ce plan suivant les deux tangentes à la courbe d'intersection des deux sur£aices données S et S' (^).

10/ Comme deux surfaces dif second ordre ne peuvent se couper que suivant deux courbes planes, et comme en un point d'une surface il n'y a que deux direc-

(*) s 1. — Je me luis appuyé pour la conatruction des taugentes au point multiple de la courbe intersectiou de deux surfaces en contact en un point , sur le Ihëorème suirant :

Lorsque deux surfaces du second ordre , qui ont chacune un centre , sont concentriques et en contact par deux sommets opposés, elles se coupent suivant deux courbes planes dont les plans se croisent sui* Tant Taxe commun.

II existe plusieurs démonstrations , soit par Tanalyse ^ soit par la géométrie , de ee théorème et du théorème général dcmt il est un corollaire ; la suiyante conduit au théorème général au moyen de considérations géométriques simples , qui permettent de démontrer rigoureusement et promptement la plupart des propriétés dont jouissent les surfaces du second ordre , de manière à être compris par ceux qui ne connaissent que les élément» de géométrie et de géométrie descriptire (').

On sait que , lorsque plusieurs sections coniques E, £', E", etc., ont un diamètre commun D et une tangente commune T en Tune de ses extrémités , elles jouissent de la propriété suivante : menant deux sécantes U et U' parallèles à T ; U coupant la courbe £ en deux points m, n; E' en m', n' ; E" en m", II", etc. fj' coupaut T en deux points p , q;E' en p\ q^\ E" en p", q'\ etc., les cordes mp, ng, m*p\ nq\ m"p'\ n"q'\ etc., prolongées se coupent eu un point y situé sur D. Les^ïordes mq, np, m'g', n'p', fn"q'\ I* n"p'\ ®t<S') s® croisent en un même point y situé sur la droite D.

On doit faire remarquer que les sections coniques doivent avoir toutes un centre, ou être toutes des paraboles.

Cela posé : considérais deux surfaces du seeond ordre ayant un diamètre commun D , et en Tune de ses extrémités un plan tangent commun O.

Par un point o arbitrairement choisi sur la droite D , menons un plan P parallèle au plan e , lequel eonpera les deux surfaces suivant deux sections coniques A et B ayant toujours un centre , et pour

(0 Vitrait du Baltetin de la Société ptailomati^ue , «éanc« d« 8 décembre 1833.

lions de courbure maximum et minimum , il s'ensuit que tout ce qui précède ne peut s'appliquer qu'à deux surfaces qui ne se coupent que suivant une courbe ayant un point multiple-doubte.

Plus loin je donnerai la construction des tangentes en un point multiple triple

centre comamn le point o, parce que tout-plan passant par le diamètre D coupera Tune et Pautre surfaces, soit qu'elles aient un centre commun, soit qu'elles se trouTent être deux paraboloïdes, suîyant une courbe ayant pour corde conjuguée du diamètre D , la droite intersection du plan P et du plan sécant.

Ces deux courbes se couperont donc en quatre points y ou pourront se toucher en deux points ; désignons dans le premier cas les quatre points d'intersection par a , 0*, 6 , ('. Il est érident qu'ils seront unis deux k deux par deux droites ab^ a'b' se croisant au centre commun o.

Je dis que les deux surfaces se couperont suivant deux courbes planes dont les plans ne seront antres que ceux déterminés par les droites D et aè , D et a'b'.

En effet : concevons par la droite D une suite de plans sécants Y, V, Y", etc., coupant les deux surfaces , le premier Y suivant deux sections coniques E et E' ; Y' suivant H et H' ; Y" suivant G et G', etc.; de plus , le plan Y coupera le plan tangent e suivant la droite T tangente commune aux coniques E et E' ; Y' suivant T tangente à H et H' ; V" suivant T" tangente à G et G', etc. *

Enfin Y coupera le plan P suivant une droite à parallèle à la tangente T ; V suivant ù parallèle à T' ; Y" suivant a" parallèle à T", etc.

Gela posé : coupons tout le système par un plan Q parallèle an plan P. Ce plan Q coupera la première surface donnée suivant une section conique « semblable à la courbe  , et la seconde surface suivant une conique C sembrable à la courbe B.

Ce même plan Q coupera le plan Y suivant une droite U parallèle a la droite a ; Y' suivant U' parallèle à ù' ; Y" suivant U" parallèle à a", etc.

Projetons maintenant les courbes et les droites situées sue les divers plans Y\ Y", etc., sur le plan Y, au moyen de droites parallèles entre elles et au plan P ; on aura dès lors , sur le plan Y, une suite de sections coniques E , E', H', H^^, G**, G'^*, etc., qui auront toutes un diamètre commun D , et en l'une de ses extrémités même tangente T : car les tangentes T', T'', etc., se projetteront tontes sur la droite T ; de même les droites U', U", etc., se projetteront toutessur la droite U.

On pourra donc déterminer sur le plan Y les deux points de concours y et y\ et il est évident que les cordes qui , sur le plan Y ont les points y et y' pour points de concours , sont les projections obliques des génératrices droites des deux cônes qui uniront les courbes xet k, et des deux cônes qui uniront les courbes C et B.

Lorsque deux cônes ont même sommet ils se coupent suivant des génératrices droites; les deux cônes qui auront leur sommet en y se couperont donc suivant quatre génératrices partant des quatre points a, by a\ b\ intersections des deux courbes A et B ~; par conséquent les deux courbes « et C se couperont en quatre points situés deux à deux sur les plans (D, ab) et (D, dV). C. Q. F. B.

Les deux courbes A et B , au lieu de se couper, peuvent avoir deux points de contact ; on doit en conclure : que , lorsque deux surfaces du second ordre ont un diamètre commun et en l'une et l'autre de ses extrémités même plan tangent, elles se coupent suivant deux courbes planes dont les plans se croisent suivant le diamètre commun, ou elles se touchent suivant une courbe plane dont le plan passe par le diamètre commun.

Pui8C{ue deux surfaces du second ordre , concentriques et en contact par deux sommets opposés , ont toujours pour courbe de contact une courbe plane , on pourra construire la tangente en un point de la courbe de contact de deux surfaces quelconques , lorsque pour ce point l'on connaîtra pour Tune et l'autre surfaces , et les rayons de courbure maiimum et minimum , et la direction des lignes de courbure.

$ 2. — Hachette , dans un supplément à sa Géométrie descriptive , publié en 1824 , a donné U cou-

ou quadruple , etc. , d'une courbe intersection de deux surfaces , ou , en d'autres termes, d'une courbe à double courbure » connue par ses deux projections horizontale et verticale.

li. J'ai dit plus haut qu'il était évident que les deux surfaces osculatrices du second ordre 0 et 0' se coupaient suivant une courbe osculatrice de la courbe intersection des

almction du point de la courbe de contact d'une surface déyeloppable et d'une surface courbe, pour lequel la génératrice de la surface dëveloppable devenait la tangente de cette courbe de contact ; par la considération de deux surfaces du second ordre , concentriques et osculatrices , on arrive à la solu* tion de cette même question , mais par une marche différente.

Dans le cas où Tune des surfaces données est développable , comme alors sa surface osculatrice est un cylindre, on voit : qu'en désignant par R et r les rayons de courbure de la surface courbe 2, et par f le rayon de courbure de la surface développable «, il faudra prendre sur la normale N à la surface courbe s pour le point m de la courbe de contact , une grandeur arbitraire mo = c , et dans le plan P mené perpendiculairement à la normale N par le point o , construire une ellipse, si les rayons de courbure R et r sont dirigés dans le même sens , ou une hyperbole , si les rayons de courbure R et r sont dirigés en sens opposés ; cette courbe ( ellipse ou hyperbole) ayant son centre en o et ses axes a = l^^cR et (= l/rr dirigés dans les plans des sections principales de la surface courbe 2 ; puis mener deux tangentes à cette courbe parallèles entre elles et à la génératrice G de la surface développable « qui passe par le point m et suivant laquelle le cylindre osculateur en m se trouve tangent à cette surface ^. Ces deux tangentes seront distantes Tune et l'autre du centre o d'une même quantité qui sera d=s[/^c,f. Ces deux tangectes auront deux points de contact n et n\ avec la courbe ellipse ou hyperbole , lesquels seront unis par un diamètre D de cette courbe, et la droite 1) sera sur le plan P la projection orthogonale de la tangente cherchée.

d variera avec f ; mais comme d ne pourra jamais être nul si la courbe tracée sur le plan P est une ellipse , et que d pourra devenir au contraire nul si la courbe est une hyperbole , et que dans ce second cas les deux points de contact n et n' seront transportés à l'infini sur les branches de Thyperbole ; et que dès lors le diamètre D deviendra une asymptote de la courbe et sera sur le [^lan P la projection orthogonale d'une des deux génératrices de l'hyperboloïde osculateur, lesquelles se croisent au sommet m. On voit que lorsque la surface courbe x a ses rayons de courbure dirigés en sens opposés , la tangente au point m de la courbe de contact sera une génératrice y de l'hyperboloïde osculateur, si , pour ce point m , le rayon de courbure p de la surface développable « se trouve nul.

Ensuite, comme les deux tangentes à l'hyperbole sont parallèles à la génératrice G de la surface dé^ veloppable « , suivant laquelle le cylindre osculateur est tangent a cette suiîace * , on voit que lorsque ^ =0 , ces deux tangentes se confondent avec l'asymptote ; le cylindre osculateur se transforme en une ligne droite qui n^est autre que G , et le plan T perpendiculaire à la normale N et tangent à la surface développable « suivant la génà-atrice G, est le plan osculateur de la courbe de contact de la surface développable ^ et de la surface générale i (le plan T doit être considéré comme étant osculateur à la snrfaee développable tout le long de la génératrice droite G ) ; et dés lors la génératrice G se confond avec la génératrice y de l'hyperboloïde osculateur et devient la tangente à la courbe de contact.

Remarquons que lorsqu'une surface développable a , en un point m d'une de ses génératrices G , un rayon de courbure nul , elle a tous ses rayons de courbure nuls pour les divers points de cette même génératrice ; de sorte que celte génératrice est , ou une génératrice de rebroussernent , ou une génératrice d'inflexion sur la surface développable.

Ainsi , si Ton coupe tout le système par un plan Q^ l'on aura , sur la surface développable , une courbe C; sur le plan T une droite 9 ; sur la génératrice G un point a ; la droite d sera tangente à la courbe C au point a ; et ce point a sera, ou un point de rebroossement , ou un point d'inflexion de la courbe C.

Pour déterminer le point m , pour lequel la tangente est une génératrice de la surface développable «, on tracera la oonrbe d'erreur dont la construction est indiquée par Hachette, (Yoir sa note supplémen-< taire, 1824.)

deux surfaces données; ceci mérite une discussion particulière, car l'on pourrait être tenté de conclure que les tangentes obtenues ont chacune un contact du second ordre avec la courbe intersection des deux surfaces; ce qui, en général, ne peut être.

Si Ton coupe la surface S et la surface osculatrice 0 par une troisième surface 1, Ton aura deux courbes d'intersection, Tune (f sur S et l'autre l sur O, lesquelles auront un contact du second ordre, c'est-à-dire, deux éléments rectilignes communs*

Par conséquent , les deux surfaces S' et 0' couperont, la première la surface S, et la seconde la surface O, suivant des courbes qui auront aussi un contact du second ordre, c'est-à-dire , deux éléments rectilignes communs.

12. Mais comme la courbe intersection des deux surfaces O et O', en vertu de ce que les deux surfaces sont concentriques , se trouve formée de deux courbes planes, chacune d'elles n'aura qu'un contact du premier ordre avec la courbe intersection des deux surfaces S et S\

( Ce n'est que dans des cas particuliers que le contact se trouverait du second ordre pour chacune des courbes planes. )

13. Ainsi , les plans de ces deux courbes planes couperont le plan tangent commun aux deux surfaces S et S', au point m , suivant deux droites , qui ne seront que tangentes aux deux branches de la courbe intersection des deux surfaces S et S', qui n'auront chacune qu'un contact du premier ordre avec cette courbe.

Et lorsque ces tangentes auront un contact du second ordre, c'est que la courbe d'intersection des deux surfaces S et S' aura pour le point m un rayon de cour*bure infini.

14. Ainsi, par exemple, si l'on suppose que l'une des deux surfaces devienne un plan tangent à l'autre surface, et que cette surface ait ses rayons de courbure dirigés en sens opposés pour le point de contact , alors le plan tangent coupera cette surface suivant une courbe ayant au point de contact un point multiple.

Dans ce cas, les tangentes en ce point auront chacune avec la courbe d*int^section un contact du second ordre.

£n effet :

15. Le plan tangent coupera la surface S et la surface osculatrice 0 (qui sera dans ce cas un hyperboloïde à une nappe) suivant deux courbes qui auront entre elles un contact du second ordre.

Mais le plan tangent à la surface coupe l'hyperboloïde osculateur suivant une courbe qui n'est autre que deux génératrices, puisqu'il lui est aussi tangent.

Si par l'une de ces génératrices je fais passer un plan quelconque, il coupera la surface suivant une courbe qui devra avoir un contact du second ordre avec

cette génératrice ; il ea sera de même par rapport à l'autre génératrice ; par conséquent le pian tangent qui passe par ces deux génératrices doit couper la surface suivant une courbe ayant un contact du second ordre avec chacune de ses tangentes au point multiple.

Ainsi, toutes les fols qu'un plan tangent à une surface la coupera suivant une courhe ayant un point multiple-dotible , chacune des branches de cette courbe aura au point multiple un rayon de courbure inCni.

46. Lorsque la surface S est développable , la surface osculatrice O devient une surface cylindrique ayant pour base une section conique osculatrice au point m , à la section y, faite dans la surface S par le plan normal dirigé perpendiculairement à la génératrice droite de la surface , et passant par le point m.

17. Pour simplifier les opérations graphiques , l'on peut choisir pour la base du cylindre osculateur au point m (car il n'est que tangent suivant tous les autres points de la génératrice qui passe par le point m) une ellipse ayant un des sommets en ce point m , et ses axes étant : dans le sens de la normale au point m, b longueur arbitraire; et perpendiculairement à la normale, a:=3\/bp (pétant le rayon de courbure de la courbe plane y pour le point m). «

i8. Pour résoudre ce problème général , construire les tangentes au point multiple- double de la courbe intersection de deux surfaces, nous avons vu qu'il fallait connaître :

1*" La normale N au point multiple my

2" La direction des lignes de courbure, qui, sur l'une et Tautre surface, se croisent au point m;

3!^ Enflii , les deux rayons de courbure maximum et minimum pour chacune des deux surfaces.

19. Mais remarquons que, lorsqu'on a une courbe plane et la normale en un pçint de cette courbe, il est facile, au moyen d'une courbe d'erreur, de construire le centre de courbure situé sur la normale , sans avoir besoin de connaître aucunes propriétés géométriques de la courbe , en d'autres termes son équation étant inconnue (voir la Géométrie des courbes, par M. Bergery). Je donne la construction de cette courbe plus loin (article 49).

20. Dès lors, comme les rayons de courbure r et R d'une surface ne sont autres que les rayons de courbure des sections faites dans cette surface par les plans normaux dirigés tangentiellement aux lignes de courbure maximum et minimum , il suffira réellement de connaître , jusqu'à présent , seulement la normale N au point i^ , et la direction des lignes de courbure qui se croisent en ce point sur l'une et l'autre surface.

Car les deux surfaces seront toujours données par un mode de génération quelconque; et dès lors y en vertu de leur mode de génération , il sera toujours possible de construire par points la courbe , intersection d'un plan et de Tune et de l'autre de ces surfaces.

2i. Mais comme plus loin j€ donnerai la solution graphique de ces deux problèmes :

i"" Construire la normale en un point d'une surface dont on ne connaît pas l'équation, mais qui est donnée par une suite de sections parallèles, ou tout autre mode de génération ;

2"^ Construire en un point de cette même surface la direction des lignes de courbure maximum et minimum;.

On peut dire dés à présent que ce problème : construire les tangentes au point mulûple^douUe de la courbe intersection de deux surfaces j peut toujours être résolu complètement par de simples constructions graphiques j lorsque les deux surEiees sont déterminées par des sections parallèles , ou tout autre mode de génération , sans avoir besoin de connaître aucune des propriétés géométriques ni de l'une, ni de l'autre surface.

22. La direction des lignes de courbure est connue pour certaines surfaces. Telles sont les surfaces de révolution et les surfaces développables. Certaines surfaces gauches peuvent encore offrir pour certains points les moyens de connaître la direction des lignes de courbure qui s'y croisent. Ainsi, une surface conoîde, ayant pour directrice une courbe telle, que Ton peut lui mener une tangente 9 telle qu'elle se trouve, ou dans un même plan avec la directrice droite, ou parallèle au plan directeur, offrira, tout le long de la génératrice passantpar le point de contact de cette tangente 6 et delà courbe directrice, une courbure du même genre que celle des surfaces développables : de sorte que cette génératrice sera une ligne de courbure minimum de la surface conoîde ; la direction des lignes de courbure de la surface conoide , pour un quelconque des points situés sur cette génératrice, sera donc connue; et dès lors les constructions précédentes pourront être employées dans ce cas particulier, sans avoir besoin de recourir à l'équation de la surface conoîde, si toutefois l'on connall la direction de la normale à la surface.

23. En général , lorsqu'une surface gauche a , en tous les points d'une de ses génératrices, même plan tangent, cette génératrice est une ligne de courbure minimum de la surface ; ainsi, pour tous les points situés sur une telle génératrice, les constructions précédentes seront encore applicables sans avoir besoin de recourir à réquation de la surface , si toutefois encore on connaît la direction de la normale à la surface.

24. iSi la direction de la normale à la surface n'était pas connue, il faudrait la construire par la mélhode graphique que nous donnerons plus loin, et qui n'exige que de pouvoir construire une section plane quelconque de la surface .

25. Les deux surfaces S et S' ne pourront offrir que les cinq combinaisons suivantes :

4* Deux surfaces courbes ayant l'une et l'autre leurs rayons de courbure dirigés dans le même sens ;

2'' Deux surfaces courbes ayant l'une et l'autre leurs rayons de courbure dirigés en sens opposé ;

S"" Deux surfaces courbes ayant , Tune ses rayons de courbure dirigés dans le même sens y et l'autre en sens opposé ;

4*" Une surface courbe et une surface développable ;

5* Deux surfaces développables.

La construction des tangentes au point multipte-double m de la courbe interseclion des deux surfaces consistera donc (en désignant par r et R les rayons de courbure de la surface S, et par / et R' ceux de la surface S') à tracer sur le plan tangent au point m :

Pour le premier cas y deux ellipses ayant le point m pour centre commun, et pour axes :

Tune a = Ver , 6 = J^cR l'autre rf= |/cF, 6'= kdF

Ces deux ellipses se couperont en quatre points , les cordes diagonales seront les tangentes demandées.

Pour le second cas j deux hyperboles ayant le point m pour centre commun^ et pour axes :

a = ver , h =8 K cR pour Tune , d= V/cF, V= V/cR' pour l'autre,

déterminant, d'après ce qui a été dit plus haut, quel est l'axe imaginaire pour l'une et l'autre courbe , et se rappelant que c est une longueur arbitraire.

Pour le troisième cas , une ellipse et une hyperbole concentriques.

Pour le quatrième cas, une ellipse ou une hyperbole et deux droites parallèles et équidistantes du point m.

Pour le cinquième cas f quatre droites, parallèles deux à deux et formant un parallélogramme dont le centre sera au point m.

Pour ces trois derniers cas , il sera facile j d'après tout ce qui a été dit , de trouver, soit les axes des courbes , soit la distance des droites au point m (*).

26. On a vu précédemment que , lorsqu'un plan tangent à une surface coupait cette surface suivant un point mtUiiple^doubte i chacune des deux branches de cette courbe avait au point multiple un rayon de courbure infini.

27 . On a aussi vu : l"" que , lorsque deux surfaces se coupaient suivant une courbe ayant un point multiple-double ^ chacune des branches de cette courbe n'avait en général qu'un contact du premier ordre avec sa tangente j 2'' qu'il pouvait arriver , dans certains cas, que chacune des branches eût un contact du second ordre avec sa tangente; mais alors il est évident que les plans osculateurs au point

(*) Lorsque deux surfaces S et S' ont un contact en un point m , elles se coupent suiyant une courbe G dont les branches se croisent an point m. La courbe G , suirant le nombre des nappes qui composent l*une ou Pautre des surfaces S et S', peut aroir deux-, trois , quatre , etc.» branches , passant par le point m. Mais ces branches peuvent avoir en ce point m une seule tangente, on autant de tangentes qn*il y a de branches , ou moins de tangentes qu^il 7 a de branches passant par ce point m.

Pour. simplifier la question , nous supposerons que les deux surfaces S et S' sont telle» que la ooorbe G est telle qu'elle a deux branches , seulement , passant par le point m.

Il peut donc se présenter deux cas :

Ou 1 Vies deux branch0s se croiseront an le point m , et la eonrhe € aura dès lors deMX tangentes distinctes pour le point m.

Ou 2** les deux branches seront tangentes l'une à l'autre en ce point m , et la courbe G aura dès lors une seule tangente en ce point m.

Nous allons démontrer que la courbe G étant Pintersection 1*" de deux cylindres , ou 2^ d*un cylindre et d'un cône , ou Z^ de deux cônes , et par suite A^ de deux surfaces développables , aura toujours pour ce point m , des tangentes séparées, en d'autres termes, autant de tangentes qu'il y aura de branches de cette courbe G , passant par le point m.

Nous savons que pour une surface dé veloppable S, cylindrique^ conique on générale, la «orfaee ' osculatrice en un point m d'une génératrice droite G de cette surface est une surface cylindrique O ayant ses génératrioes droites parallèles à la droite G. Nous savons que les courbes concentriq^ies et tracées sur le plan tangent commun aux deux surfaces $ et S' en contact par le point m , peuvent suivant leur forme géométrique étrç tangentes en deux points ou se couper en quatre points. Gela posé, il est évident :

1 <" Pour que les branches de la courbe G aient, d^ux tangentes au point m , il faudra que les courbes jêncentriques se coupent en quatre points.

2^ Pour que les branches de la courbe G aient une seule tangente au point m, il faudra que les courbes concenti[iques se touchent en deux points.

Or : comme lorsque les surfaces osculatrices O et 0' «ont des cylindres , chacone des eotif ^ concentriques est formée de deux droites parallèles ; il est bien évident que, dans le cas où les surfaces S et S' seront toutes deux développables , la courbe G ne pourra jamais Kwotr pour le point m une seule tangente , et quel que soit d'ailleurs le nombre des branches de la courbe G passant par ce point m.

Mais si l'une des surfaces S , par exemple , étant développable , l'autre surface S' était une surface courbe (ayant en chacun de ses points des rayons de courbure maximum et minimum , ni nul^ ni.tft^Ht), alors il pourra arriver, suivant les relations de position existant entre ces deux surfaces S et S', que la courbe G n'ait qu'une seule' tangente k ses deux branches et an point m par lequel passent cev deux branches.

multiple de cette courbe ne seraient autres que les plans des deux courbes planes, intersection des deux surfaces osculatrices O et 0'.