On peut donc conclure de tout ceci , savoir

1* Que, si l'on a sur un plan une courbe ayant un point mtdtiple-double , elle ne pourra être regardée comme la projection de l'intersection d'une surface par son plan tangent , qu'autant qu'elle aura pour chacune de ses branches, au point multiple, des rayons de courbure infinis ;

2'' Que, si l'on a sur un plan une courbe ayant un point multipte-dauble, et que ses rayons de courbure soient infinis ou non en ce point , elle pourra toujours être regardée comme la projection de l'intersection de deux surfaces ayant un point de contact.

29. Appliquons maintenant les diverses considérations développées dans ce mémoire à la solution de plusieurs problèmes.

l^ PROBLÈME.

Étant donnée une courbe plane dont on ne connaît aucune des propriétés géométriques^ en d'autres ternies ^ dont C équation est inconnue ^ lui construire une tangente en un point donné.

30. Soluiion. Soit une courbe 9 tracée sur un plan, un point m de cette courbe, en lequel on veut construire la tangente.

Je trace dans le plan une droite D arbitraire , mais passant par le point m. Je la regarde comme Taxe d'un ellipsoïde dé révolution E, ayant son centre au point fit.

Je regarde la courbe f comme la base d'un cylindre vertical , qui coupera Tellipsoïde suivant une courbe à double courbure 4>.

Je regarde cette courbe 4> comme la directrice d'un cylindre G, ayant ses génératrices horizontales et dirigées perpendiculairement à l'axe D. Ce cylindre G coupera l'ellipsoïde E suivant une seconde courbe ^'« Les deux courbes 4> et 9' seront symétriquement placées Tune à droite , l'autre à gauche du plan méridien vertical passant par l'axe D.«Les deux surfaces E et G auront deux points de contact situés sur la verticale passant par le point m, l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan de la courbe 9. La courbe intersection de ces deux surfaces aura donc deux points mulUples-^oubUs.

3i« Pour chacun de ces points multiples, on connaît :

Sur la surface E :

i"" La direction des lignes de courburCi puisque cettesurface E est de révolution;

2"" Les rayons de courbure maximum et minimum ;

3"* La direction de la normale, puisqu'elle n'est autre que la verticale passant par le point m;

Sur le cylindre G :

l"" La direction des lignes de courbure ;

2^ La direction de la normale;

S"" Le ravon de courbure minimum, qui est infini, puisque la surface est développable.

Il faut donc trouver le rayon de courbure maximum de ce cylindre G.

32. Or, si Ton coupe le cylindre G par un plan perpendiculaire à ses génératrices , et passant par la verticale M , dont le pied est au point m de la courbe <p , il sera facile de construire sa section droite y. Gette courbe y sera rencontrée par la verticale M en deux points m! et m" ; cette verticale sera la normale à la courbe y pour chacun des deux points m! et m".

On pourra donc, au moyen de la courbe d'erreur indiquée par M. Bergery, construire le centre de courbure de la courbe y pour le point m! ou le point m", puisque l'on connaît la normale pour l'un et l'autre de ces points.

On aura donc le rayon de courbure maximum pour le point m' ou le point m''.

On pourra donc construire, par la méthode indiquée ci-dessus, les deux tangentes aux points m! ou m'\ en lesquels les courbes $ et <^' se croisent.

La tangente à la courbe <p sera parallèle à la tangente de la courbe $ menée ou au point m ou au point m", car le plan de la courbe <p coupe symétriquement les deux surfaces E et G.

Étant donnée une courbe plane ayant un point multiple-double , courbe dont on ne connaît aucune des propriétés géométriques ^ en d autres termes , dont C équation est inconnue , construire les deux tangentes en ce point.

33. Solution. Soit tracée sur un plan une courbe ayant un point multiple-doubU m. Je désigne par peiq les deux branches de la courbe*qui se croisent au point m.

Je trace dans le plan une droite de direction arbitraire D , mais passant par le point m.

Je regarde cette droite D comme l'axe de révolution d'un ellipsoïde E, ayant son centre au point m.

Je regarde la courbe pq comme la base d'un cylindre vertical , qui coupera la surface E suivant une courbe à double courbure ayant deux points multiplesdoubles ^ situés sur la verticale M , passant par le point m.

Je désigne l'un de ces points , symétriquement placés par rapport au plan de la courbe donnée, par m'j et par P et Q les deux branches de la courbe à double courbure qui s'y croisent.

Je regarde la courbe PQ comme la directrice d'une surface cylindrique C^ ayant ses génératrices horizontales et dirigées perpendiculairement à l'axe D.

Ce cylindre G coupera la surface E suivant une seconde courbe à double courbure, ayant deux branches P'et Q', se croisant aux deux points multiples.

Les branches P et P', Q et Q^ seront symétriquement placés par rapport au plan méridien vertical passant par l'axe de rotation D.

Si l'on conçoit une série de plans verticaux perpendiculaires à la droite D , on remarquera que chacun d'eux coupe les quatre branches P^ Q, P', Q', en quatre points.

Je désigne ces points par :

n sur P, n sur P', p sur Q, v sur Q'

Il est évident que les droites qui uniront ces points deux à deux , telles que nn' et w\ seront horizontales et à des hauteurs différentes au-dessus du plan horizontal; par conséquent la courbe y, section droite du cylindre G, sera formée de deux branches passant par le point m!, qui seront en contact en ce point, puisqu'elles auront même normale M en ce point.

Cette section droite y aura donc au point m deux rayons de courbure. Le cylindre G aura donc, suivant la génératrice horizontale passant par le point m', deux cylindres de révolution osculaieurs, l'un par rapport à l'une des branches de la courbe y, Tautre par rapport à la seconde branche de cette même courbe. Désignant par h et A' ces deux cylindres , on pourra facilement déterminer les ellipsoïdes e et e\ ayant deux plans tangents communs , savoir : eavec/i, e avec li\

Il sera facile ensuite de construire les sections planes des surfaces e eth^ puis celles de e' et h\ et les plans de ces quatre sections couperont le plan de la courbe donnée suivant quatre droites , dont deux seront les tangentes demandées.

3.4. On peut facilement appliquer la solution précédente aux courbes planes

qui ont un point multiple triple ou quadruple 9 etc., car il est évident que , lorsque

le point sera triple ^ la section droite y aura trois branches en contact au point m',

par conséquent il y aura trois rayons de courbure en ce point. On aura donc trois

cylindres de révolution osculateurs II , h\h"y qui , par leurs intersections avec les

ellipsoïdes correspondants e, e\ e", détermineront six plans verticaux qui cou^

perooi le plan de la courbe propoeée suivant six droites , dont tnm seront les tangentes demandées , etc.

Étant donnée une courbe à double courbure par ses projectiam verticale et horizontale , construire la tangente en wt point de cette courbe y ne connaisêont aucune de ses propriétés géométriques ; en d'autres termes , tes équations des projections de cette courbe étant inconnues*

35. Solution. Puisque la tangente à une courbe à double courbure a pour projections les tangentes aux projections de cette courbe, il suflSra de construire ces tangentes.

On devra donc regarder chacune des projections comme une courbe plane , et construire les tangentes à chacune d'elles par la méthode précédemment expliquée.

(Fig. 59.) Étant donnée une surface par une série de sections parallèles ^ dont on connaît les distances respectives ^ construire le plan tangent , et par suite la normale en un point -dune surface (tinsi définie » ne connaissant t£ ailleurs aucune de ses propriétés géométriques , en d^ autres termes , les équations des courbes , sections parailèleSj étant inconnues.

36. Solution. Supposons une surface déterminée par les sections horizontales i, 2y 3, 4, 5, etc., dont les hiuleurs au-dessus d'un plan horizontal choisi pour plan de comparaison , sont :

(a) pour la courbe \ , '

(c) - 3, etc. — etc.

Donnons-nous la projection horizontale m d'un point de la surface, la hauteur de ce point au-dessus du plan de comparaison étant connue*

L'on tracera deux droites arbitraires mQ , mP, sur le plan horizontal; ces droites se croisant au point m..

On les regardera comme les traces horizontales de deux plans sécants verticaux ; l'on construira les courbes 9 et ^ ' de sections^ et par la méthode précédemment développée» Ton construira la tangente npau point n de la courbe f, et la tangente nq au point n' de la courbe <f'.

Les poinU n et »' sont r etpecliveiBent les rabalteroeol» da pomt de la surface ayant le point m pour projection horizontale ; l'on rapportera ensuite sur le plan horiiontal en P et Q les pieds p et q^ de ces tangentes ^ et la droite PQ sera la trate horizontale du pkn tangent demandé.

37. Connaissant le plan CMgent, il sera facife de connaître la normale.

38. La solution de ce problème peut servir dans plusieurs des applications que les ingénieurs sont obligés de faire de la géométrie descriptive au terrain ; car Ton sait que, dans les divers projets, le terrain sur lequel Ton doit opérer est toujours donné par des sections horizontales ou courbes de niveau.

39. Quel que soit le mode de génération d'une surface, il est toujours possible, en vertu de sa génération, de construire par points une section plane de cette surface.

On peut donc toujours résoudre le problème précédent par de simples constructions graphiques^ sans avoir besoin de connaître Téquation de ta surface.

Êùmt donnée une surface par une suiêe de seeikms parallèles , ou tout autre mode de génération j construire en un point de cette 9urface la d^ection des lignes de courbure , san^connaiire aucune des propriétés féométriques de cette surface^ en d'autres termes^ tes équathms des courbes de sections ou de génération étant inconnues.

40. Solution. Puisqu'il existe une infinité de surfaces du second ordre , ayant un centre, qui jouissent de la propriété d'être osculatrices par un de leurs sommets en un point donné d'une surface, la normale au point de la surface donnée étant la direction de Fun des axes de ces surfaces osculatrices, il faudra construire la normale au point donné sur la surface , et mener trois plans normaux qui couperont la surface donnée suivant trois courbesv

Au moyen de la courbe d'erreur indiquée par M. Bergery^ Ton pourra déterminer la longueur des rayons de courbure pour chacune de ces trois sections normales^ puisque ces rayons seront tous dirigés suivant fa normale à la surface.

Sur la normale Ton prendra un point arbitraire, par lequel on conduira un plan perpendiculaire à cette normale.

Ce plan coupera la surface osculairice du second ordre suivant une ellipse ou une hyperbole ayant ce point pour centre.

(La section sera une ellipse, si la surface donnée a ses rayons de courbure dirigés dans le même sens; ce que Ton reconnaîtra si le plan tangent au point

donné ne coupe pas la surface suivant une courbe ayant un point multiple en ce point de contact.

La section sera une hyperbole , si la surface donnée a ses rayons de courbure dirigés en sens opposé; ce que Ton reconnaîtra si le plan tangent coupe la surface suivant une courbe ayant le point de contact pour point multiple. )

Au moyen des rayons de courbure et delà direction des trois sections normales, il sera facile de construire six points de cette ellipse ou de cette hyperbole, et, par suite, de déterminer les axes de ces courbes.

On n'aura plus qu'à faire passer par la normale et chacun des axes un plan , et Ton obtiendra les sections principales de la surface donnée, lesquelles sont , comme on le sait, tangentes aux lignes de courbure.