Ainsi

Soit donnée une surface S {fig. 60 ) par des sections parallèles ou tout autre mode de génération , et un point m sur cette surface.

Par la construction donnée précédemment, nous déterminerons la normale N au point m.

Par cette normale^ je ferai passer trois plans normaux P, P', P", qui couperont la surface S suivant trois courbes p , p\ p'\ qu'il sera toujours facile de construire par points, en vertu du mode de génération de la surface S.

Chacune de ces courbes passe par le point m, et a pour normale en ce point la droite N ; dès lors on pourra , au moyen de la courbe d'erreur indiquée , construire la longueur des trois rayons de courbure p pour la courbep , p' pour p\ p" pour p".

On déterminera sur le plan tangent T, au point m de la surface S , les traces I, fy i", des plans normaux P, P', P".

L'on portera p sur i, à droite et à gauche du point m, et l'on aura deux points u et v.

Portant de la même manière V^^77 ^"^ ^' ^' ^P?' ^^^ ^"> ''^° ^^^^ '^^ quatre points u et t;', u" et v'^.

Les six points ainsi déterminés appartiendront à une ellipse.

( Supposant que la surface a ses rayons de courbure dans le même sens; nous examinerons ensuite les modifications à apporter aux constructions graphiques lorsque les rayons de courbure sont dirigés en sens opposé.)

42. U faut maintenant déterminer les axes de cette courbe et leur direction. Désignant par a et 6 les axes de cette ellipse , par a l'angle que fait avec l'un d'eux son diamètre d, on sait que l'on a :

^ = ^ ces , + -^. 8in .

Ainsi l'on aura les trois équations :

-î = — • COe* a + ij 81B a

ff ef '6*

43. On connaît les angles que les plans normaux P, P', P'", font entre eux; ils sont mesurés par les angles que font entre elles 4eurs traces t , t^ t", sur le plan tangent.

On aura donc :

On pourra donc écrire les trois équations ainsi qu'il suit :

-7-=-; 008 a4-~8ma p7 == î C08'(a-0)+ p sinVa-CO

44. Ces trois équations serviront à déterminer les deux axes a et b, et l'angle a que Taxe a fait avec la trace l.

45. Connaissant les longueurs des axes a et 6, on pourra facilement construire les rayons de courbure maximum et minimum r et R de la surface pour le point m , puisque Ton sait que :

r=:- et R=: -

46* Pour simplifier les calculs, on pourra choisir les trois plans normaux de manière ce à qu'ils fassent entre eux des angles demi-droits. Ainsi posons :

iyf ^'w droit et I , I" « i droit.

Par conséquent , on devra faire dans les formules , ci-dessus :

co8(l,0=»nn(l, I') et 8iii(l, 0=i et o08(l,O»0

47. Examinons maintenant le cas où les six points v^ Vj u\ v\ u", v'\ doivent

être déterminés de manière à ce qu'ils se trouwnl situés mr ime hyperbole , parce que Ton a reconnu que la surface a ses rayons de courbure dirigés en sens opposé.

Dans ce cas, le plan tangent coupe la surface suivant une courbe qui a pour point multiple le point de contact.

Les deux tangentes de cette courbe en ce point sont les asymptotes des projections, sur le plan tangent , des hyperboles sections feites dans l'un et l'autre hyperboloide osculateur H et H' (7) , par un plan mené par le centre de l'une et de l'autre de ces surfaces oscutalrices et parallèlement au plan tangent.

Par conséquent , les plans normaux P, P', P"', devront avoir leurs traces i, t\ i" sur le plan tangent, comprises toutes trois dans l'un des angles formés par ces deux asymptotes.

Et l'on opérera, cette condition étant satisfaite, comme dans le cas où les rayons de courbure sont dirigés dans le même sens \ seulement on doit observer que les formules à employer sont dans ce cas :

— = - COS fl»— r; 8m*«

— — -^ COS a — TL sin'a

— = j cos' a" - - sm «

4&, Mais cette marche peut être abrégée; car Ton peut, dafis ce cas particulier, se dispenser d'avoir recours aux trois équations ci-dessus , et n'employer qne dtes constructions graphiques, en observant que , puisque les^deux tangentes, a» point muitipU de la courbe interaction du plan taagexU; et de lai surfMe , sool Les asymptotes de l' hyperbole-lieu des six points tf , v , u', v'^ u^'yiv', on aura tout àéà suite la direction des axes a oC 6 de cette courbe, si Ton connaît les deux tangentes; puisque les axes a et 6 divisent en deux parties égales les angles des asymptotes. Ainsi , on cherchera la projection de la courbe intersection de la sur- &ce psr soa* plan taogefti, €^n constr»fr& (es deux tangeniesà cette projection , en la regardant comme une^ courbe dont o» ne coirnaft pas l'équation (voir le 2* problème), et l'on connaîtra dès lors les deux asymptotes, puisque l'on aura leurs projections et le plan lange*t.qtti lest contient.

Par la direction dès lors connue des axes a et 6 , on fera passer deux plans normaux, qui couperont ht surface suivant ses deux sections principafes , dont on déterminera , au moyen de la courbe 4*erreur indiquée par M. Bergery, les rayons de courbure , qui seront les rayons de courbure maximum et minimum r et R de la surface donnée, et pqur h p<^int ooo^idéfié sw œtM suA(ace«

CûHMtneHon de ht cùurbe d'erreur qui sert à déterminer le centre du cercle oscu'tatewr en un point et une courbe dont t équation est inconnue , connaissant la normale en ce point.

49.. Soit donnée une courbe ^ {fig. 61) , un point a sur cette courbe et la normale N de cette courbe pour le point a; l'on mènera les diverses cordes a6, ab\ ab"y etc., et Ad, ad!^ adk\ etc., à droite et à gauche du point a.

Sur le milieu de chacune de ces cordes Ton construira les perpendiculaires P, P', P", etc , qui couperont respectii/ement la normale N aux points m, m', m", etc. Par chacun de ces points Ton élèvera des perpendiculaires à la droite N et respectivement égales aux cordes. Leurs extrémités o, o\ o'\ etc., détermineront une courbe 9. qui coupera la normale N en on point &> qui sera le centre du cercle osculateur de la courbe ^ pour le point a.

On doit avoir soin de diriger les perpendiculaires mo, mV, mV, etc., du côté de Tare de la courbure auquel elles correspondent.

Cette construction est fondée sur la propriété dont jouit le cercle osculateur, savoir : de toucher et couper en même temps la courbe au point d'osculation.

Chacun des points de la normale N peut être regardé comme le centre d'un cercle tangent au point a ; chacun des points de la courbe 9 peut être aussi re* gardé comme le centre d*un cercle sécant au point a ; le point a> , situé à la Ibis et sur la normale N et sur la courbe &, sera donc le centre d'un cercle tangent et sécant en même temps , par conséquent du cercle osculateur.

50. Remarquons que la courbe 9-, en vertu du mode de construction employé pour chacun de ces points, doit couper rectangulai rement la normale N. Cette manière d'être de la courbe 0 et de la droite N, en leur point d'intersection , permettra donc de trouver le point tù tel , qu'il approche davantage de la position véritable du centre de courbure , que si ce point a> était déterminé par l'intersection de la normale N et d'une courbe qui ne couperait pas cette normale sous un angle connu d'avance.

§ IV

51. Appliquons à un exemple ce qui a été développé précédemment 4, 5, etc., iO.

La voûte d'arête en tour ronde est la combinaison d'une voûte annulaire eC

d'une voûte conoîde; ces deux voâtes ayant mènde naissance et même montée; ou, en d'autres termes, la surface annulaire et la surface conoîde ayant deux plans tangents communs.

Ces deux voûtes se coupent suivant une courbe composée de deux branches séparées, mais qui se croisent en deux points qui sont chacun Tintersectioadela génératrice droite du conoîde et du cercle de la surface annulaire, lignes respectives de contact du plan tangent commun aux deux surfaces ; Ton demande de construire les tangentes en Tun de ces points multiples.

52. La surface annulaire est engendrée par le cercle (c) du rayon R (fig. 62), situé dans le plan vertical oTL, et tournant autour de Taxe vertical (ç).

La surface conoîde est engendrée par une droite se mouvant horizontalement sur l'axe vertical (o) et sur le cercle (c') , aussi du rayon R , et situé dans le plan vertical L'T' perpendiculaire à la droite o6, laquelle divise en deux parties égales l'angle L'oT'.

Ces deux surfaces ont même naissance et même montée , et se coupent suivant une courbe k double courbure qui se projette sur le plan horizontal suivant les deux branches i et 3'. Ces deux branches se coupent en un point m , situé sur la droite o6, et au milieu de hh\

Remarquons que le plan tangent commun aux deux surfaces est horizontal , et que, par conséquent , les projections horizontales des tangentes au point multiple de la courbe de l'espace , comprendront entre elles le même angle que celui compris par les tangentes elles-mêmes.

Ainsi il suffit de construire les tangentes aux deux branches i et y.

Pour la surface annulaire, l'on connaît, l"" la direction des lignes de courbure qui se croisent au point m , puisque cette surface est de révolution.

Les lignes de courbure sont : l'une le méridien (c) situé dans le plan vertical om, Tautre le cercle horizontal ayant pour rayon om.

2'' La direction de la normale : elle est verticale;

3* La longueur des rayons de courbure maximum et minimum : Tune est égale à R , l'autre est infinie.

Par conséquent, la surface du deuxième ordre, osculatrice de la surface annulaire au point m , sera un cylindre dont les génératrices seront horizontales et perpendiculaires au plan vertical om; dont la section droite sera une ellipse e^ ayant un de ses sommets au point multiple, et ses axes étant i* dans le sens de la normale c (longueur arbitraire) et 2"" dans le sens horizontal |/^cR.

Pour la surface conoîde, l'on connaît : l"" la direction des lignes de courbure qui se croisent au point multiple ; car, d'après ce qui a téé dit (22), la génératrice horizontale culminante, dont la projection horizontale est ob , est une ligne de

courbure. Si donc par le point m on mène un plan vertical tmt" perpendiculaireà 0^ , ce plan coupera la surface suivant une ellipse (E)^ qui sera une section principale du conoîde. Le rayon de courbure au point {Jb\ m) de cette ellipse sera le rayon de courbure maximum de la surface.

Aussi, 2* Ton connaît la longueur des rayons de courbure; Tun est infini,

Tautre est p=: ^, désignant par d Taxe mm' de rellipse(E).

La surface du deuxième ordre , osculatrice du conoîde , sera donc encore un cylindre dont les génératrices seront horizontales et perpendiculaires au plan vertical L'T'; dont la section droite sera une ellipse e' , ayant un de ses sommets au point multiple, et ses axes étant : l^'dans le sens de la normale c\ longueur arbitraire , et 2"" dans le sens horizontal :

Il suffit de supposer que c=c' pour que les deux cylindres osculateurs aient leurs axes dans le même plan horizontal , et se coupent dès lors suivant deux courbes planes , dont les plans verticaux couperont le plan horizontal suivant les deux tangentes demandées.

Ainsi Ton portera à partir du point m, -à droite et & gauche :

1«» Sur la droite mo, une longueur mt;'=:j/'^ . 2* Sur la droite mm\ une longueur mv = \/ c —

Et achevant le rectangle kk'k'k"\ les diagonales kk'\ k'k'" seront les tangentes demandées, et ces tangentes seront symétriquement placées par rapport à là droite om.

53. La tangente trigonométrique de Tangle que l'une des tangentes kk" fait avec la droite om a une valeur remarquable.

On a •

tangente {hmo) = ^ = \ / ^ !^ — ^

V/cR

Désignant par / la distance du centre a du cercle(c) à Taxe (o) , par Ma distance du centre b du cercle {c) au même axe (o) , Ton a , par les deux triangles semblables Ubo et mmo :

mm*

oh om

= — , ou - = -

Ainsi tangente (kmo) = ^

54. Lorsqu'on voudra donc que les deux suriaces se coupent suivant des courbes se croisant à angle droit , il feudra que / = /'; c'est-à-dire que ie cercle {c)y qui est la courbe directrice du conoïde^ se trouve dans un plan vertical passant par ie point m, milieu de hh\

Si Ton a : / > /', alors l'angle ArmAr'" sera obtus;

Si Ton a au contraire :/</', alors l'angle ArmA:"' sera aigu.

55. On pourra donc toujours ^ maintenant, déterminer les rapports qui doivent exister entre les dimensions de la voûte annulaire et celles de la voûte conoîde, pour que les deux courbes-arêtës se croisent sous un angle voulu ; résultat ^ue Ton ne savait point obtenir jusqu'à présent, et qui n'est pas sans importance^ puisque les dimensions du parallélépipède capable de contenir la clef de la voûte, dépendent de l'angle sous lequel se croisent les deux courbes-arêtes; et que cet angle doit nécessairement ne varier qu'entre certaines limites, pour que la clefsoit exécutable; car Ton conçoit que l'on ne pourrait choisir des dimensions, pour les deux voûtes , telles que l'angle eût pour tangente 7~; car alors si le parallélipipède avait 0",25, par exemple, pour le petit côté, il aurait 2'^,h0 pour le grand

côté; ce qui serait inadmissible en constructions.

56. Plusieurs des questions résolues dans ce mémoire trouveront donc , ainsi que le montre le problème précédent » des applications utiles dans la construction des diverses espèces de voûtes (T arêtes et de voûtes en arc-de-cloitre (*)•

(*) 'Note sur la voûte d'arête en tour ronde, !• horizontale j 2* rampante («). — On sait que cette Toûte est formée par la combinaison d^une voûte annulaire et d^une voûte conoïde ayant l'une et Pantre même naissance et même montée, et qui dès lors se pénètrent sufrant une courbe composée de deux branches qui se croisent au point culminant de la voûte. Il est nécessaire pour les constructions de savoir sous quel angle ces deux branches se coupent. J'ai donné ci -dessus une méthode fondée sur la connaissance des rayons de courbure des deux surfaces et de la direction de leurs lignes de courbure , mais comme l'on peut être obligé d'expliquer ces sortes de voûtes à des élèves qui ne connaissent point la théorie des courbures de%surfaces . j'ai cherché à déterminer l'angle sous lequel les deux arêtes se coupent par une autre méthode indépendante des rayons de courbure et des lignes de courbure.

La solution suivante , que je vais exposer très*succinctemènt , est celle que je donne depuis longtemps dans mon cours à l'École centrale des arts et manufactures, et que j'ai exposée dans mes répétitions à l'École polytechnique , pendant le temps que j'y ai rempli les fonctions de répétiteor.

On sait qu'un conoïde ayant pour base une ellipse dont le grand axe est horizontal et le petit axe vertical , est toujours coupé par une suite de plans parallèles au plan de Tellipse directrioe , suivant des ellipses ayant même axe vertical ; un de ces plans coupe la surface suivant un cercle dont le rayon est égal au petit axe de l'ellipse directrice.

On sait encore qu'un conoïde ayant pour base une courbe déterminée par l'enroulement sur lin cylindre de révolution d'une ellipse dont Vun des axes est horizontal , est toujours coupé par une suite de cylindres concentriques au premier suivant des courbes qui , développées (planifiées) , sont des ellipses

(*) Entrait du BuIIeiln de la Société ptailomalîqae , séance da 12 jatiTier t83t.

57. En géométrie descriptive, il y a deux choses à considérer. D'abord la solution géométrique, ensuite la construction graphique. Nous désignerons par point, droite, courbe ou surface géotnétrique , le point, la droite , la courbe ou la surface que Ton emploie ou que l'on obtient en vertu des considérations géométriques, qui conduisent à la solution géométrique du problème ; et nous appellerons point , droite, courbe ou surfa^ce graphique , le point, la droite, la courbe ou la surface que Ton doit tracer, et dont les combinaisons graphiques conduisent à la solution graphique du problème.

Il est évident que pour qu'un point graphique approche le plus près possible de la position que doit occuper le point géométrique qu'il doit représenter, il faut • passer, pour sa construction , par le moindre nombre possible d'opérations graphiques; puis il faut encore que les droites ou les courbes qui servent à déterminer ce point se coupent , autant que faire se pourra , sous un angle approchant de l'angle droit.

Il est encore évident que l'on sera mieux assuré de la position exacte du point graphique, si l'on peut déterminer ce point par plusieurs constructions différentes, qui se serviront dès lors de vérification les unes aux autres.

58. Il sera donc souvent nécessaire de modifier la solution géométrique générale ,

ayant toutes même axe vertical , im de ces cylindres coupe suivant une courbe qui , développée ( planifiée) , devient un cercle ayant pour rayon Taxe vertical de Tellipse directrice.

On emploie Pnn ou l'autre mode de génération pour la voûte conoïde suivant que Fouverture de cette voûte est petite ou grande.

Lorsque Pou emploie le premier mode , Ton recoupe le vouasoir d'une même assise, ou suivant l'expression reçue, d'une même retombée , par des plans parallèles au plan de l'ellipse directrice.

Lorsque l'on emploie le deuxième mode , l'on recoupe par des cylindres concentrfques.

L'ouverture du conoïde étant petite , par le premier mode , les plans de recoupe ne font pas des angles très-aigus avec les arêtes de douëlle, près des pieds-droits. '

L'ouverture du conoïde étant grande , on est obligé d'employer le deuxième mode , parce que les cylindres de recoupe font alors des angles droits avec les arêtes de douëlle.

Pour déterminer l'angle sous lequel les deux courbes- arêtes se coupent , on construit leurs tangentes au point en lequel elles se croisent; et pour cela on remarque que si l'on prend i)our directrice du conoïde non plus l'ellipse (enroulée ou non, suivant le système de génération adopté), mais la section circulaire , enroulée on non , cette section circulaire a même rayon que le cercle générateur 4e la voûte annulaire.

Et qu'ainsi : si Ton augmente ces deux cercles d'une même quantité, les deux nouvelles surfaces , annulaire et conoïde, que l'on obtiendra, se couperont suivant une courbe qui aura même projection que la courbe intersection des deux surfaces primitivement données.

Si en un point quelconque fiide la courbe intersection des deux surfaces , on construit le plan tangent à chacune de ces surfaces , leur intersection se projette suivant la tangente à la projection de la courbe intersection ; mais l'on doit remarquer que la ccHistructioD dépend ( pour le problème aetuel )

en vertu des données graplùqueê particulières ilu problème à résoudre, pour que les constructions graphiques qui doivent donner le point, la droite, etc., graphique, but de répure que Ton trace , soient les plus simples possibles ; et pour que d'ailleurs ce point, cette droite, etc. , soit déterminé le plus approximativement possible, en ayant égard à Timperfeclion des outils employés pour le tracé.

En un mot, de même que Ton est obligé de préparer une formule algébrique pour que les calculs logarithmiques puissent s'y appliquer, de même aussi il faut modifier une solution géométrique , pour qu'elle arrive à se prêter aux constructions graphiques.

Et Ton conçoit dès lors qu'une solution peut être bonne sous le point de vue géométrique, et très mauvaise sous le point de vue graphique.

59. D'après ces considérations , que l'on néglige trop souvent dans les épures de géométrie descriptive que l'on fait exécuter par les élèves, voyons comment

de la grandeur de la bous- tangente pour le point du cercle directeur par lequel passe la génératrice du conoïde contenant le point m , point en lequel on veut construire la tangente.

On doit encore remarquer que cette construction dépend de la grandeur de la sons-tangente pour le point du cercle générateur par lequel passe le cercle parallèle de la surface annulaire, contenant le même point m pour lequel on Tcut construire la tangente ( ■ ) .

Les deux sous-tangentes étant toujours égales , mais variant de grandeur suivant que Ton fait yarier les rayons des deux cercles (ces rayons Irestant d'ailleurs toujours égaux) il s'ensuit que la construction pour un point quelconque s'applique au point multiple , et l'on arrive à ce résnltat que pour que les deux courbes se coupent à angle droit , il faut que le cercle directeur du conoïde passe par le point multiple qui est celui en lequel se croisent les deux courbes arêtes

Si la voûte en tour ronde était rampante , on trouverait , pour que les deux courbes arêtes de la voûte se coupent à angle droit , que le conoïde doit avoir pour directrice une ellipse enroulée et dont les axes conjugués égaux sont l'un vertical et l'autre incliné sous Tangle du rampant de la voûte, le plan de cette ellipse passant par le point multiple , par le point en lequel se croisent les deux courbes arêtes ; mais dans ce cas particulier, l'on ne peut pas employer une ellipse plane pour directrice du conoSde , il faut absolument l'enrouler sur un cylindre vertical.

iiinsi , pour la voûte d'arête en tour ronde horizontale , le résultat est le même , que la directrice soit plane ou soit enroulée sur un cylindre

Mats pour la voûte d'arête en tour ronde rampante , il faut, absolument , employer une directrice enroulée sur un cylindre vertical.

Remarquons que la méthode précédente consiste à trouver une construction de la tangente à la prosection C de la courbe k double courbure-intersection de la surface annulaire (rampante ou non; et d'une surface eonoide^ cette courbe C n'étant plus regardée comme projection, mais comme ooorbe plane indépendante de la courbe à double courbure ; indépendance qui est manifestée par le rôle que jouent les deux sous- tangentes aux deux cercles , l'un directeur du conoïde et l'autre générateur de la surface annulaire, sous- tangentes qui peuvent varier pourvu qu^elles restent égales, les deux cercles variant dès lors de rayons , mais leurs rayons restant égaux

On voit aussi sur-le-champ, que Ton pourra trouver autant de points que l'on voudra de la courbe C , en faisant varier à volonté les rayons des deux cercles directeur et générateur , et que Von pourra tracer ainsi complètement cette courbe C.

(*) Voyex les DévaloppemenCs de GéoioélrM deseriptire, ckapiire 11 , pages lis et suiTantes.

nous devrons modifier la solution géomélrique de ce problème : Mener une tangénie en un point d'une courbe plane dont C équation est inconnue , pour que la con^ strùction graphique nous conduise à une tangente graphique^ qui diffère aussi peu que possible de la position que doit occuper la tangente géométrique.

En partant du problème général : Trouver les tangentes en un point muUiple-dotéle de la courbe-intersection de deux surfaces en contact en ce point; il est évident que Ton doit regarder la courbe donnée comme la projection d*une des branches de la courbe, intersection de deux surfaces en contact par un points et telles que Ton connaisse , pour ce point, la direction de leurs lignes de courbure et de leur normale, et que Ton puisse facilement calculer, pour ce même point, les rayons de courbure maximum et minimum de chacune des deux surfaces.

Et dès lors on est conduit tout naturellement à employer, pour la solution , une surface de révolution et une surface cylindrique ; et pour faciliter les constructions graphiques, on est conduit nécessairement à employer une surface de révolution du second ordre, et à placer cette surface par rapport au plan de la courbe donnée, et par rapport au point pour lequel il faut construire la tangente, de telle manière que le plan tangent au point multiple de la courbe interaction des deux surfaces employées soit horizontal.

Et comme l'ellipse est d'une construction graphique plus facile que l'hyperbole , on a dû préférer un ellipsoïde de révolution.

60. Voyons maintenant si de nouvelles considérations graphiques ne nous amèneront pas à simplifier la solution précédente sous le point de vue graphique.

Pour cela examinons quelles sont les diverses constructions que la solution précédemment donnée exige dans l'état actuel.

Étant donnée la courbe f (fig. 63); le point m, en lequel on doit construire la langente ; ayant mené la droite D, axe de l'ellipsoïde de révolution , dont la courbe méridienne est l'ellipse E tracée dans le plan de la courbe 9; cette ellipse E ayant son centre au point m , et pour axes arbitraires 1* a sur D et2* 6 perpendiculaire à D; on construit la section droite 6 dû cylindre, dont l'une des branches de son intersection avec l'ellipsoïde se projette suivant la courbe ^ .

Pour le point culminant m de la courbe 6 l'on construit , au moyen de la courbe d'erreur indiquée par M. Bergery, le centre de courbure, et l'on a dès lors le rayon de courbure p de la courbe 0 pour le point m'.

Puis l'on construit l'ellipse e, dont le centre est au point m, et dont les axes sont :

fl' = \/ p -r- porté sur D et 6' = |/p-6 perpendiculaire à D.

Sur D, à droite ou à gauche du point m, Ton porte p ; et Ton a le point 9j par lequel on mène la droite sk perpendiculaire à la droite D, et covpant Tellipse e en deux points k et h'.

La droite km est la tangente demandée.

61. Dans cette construction » il y a» sous le point de vue graphique, deux causes d'erreur.

Premièrement.

Il faut tracer par points Tellipse méridienne E ; dès lors les divers points de la section droite 0 peuvent être inexacts , puisque Ton ne peut assurer que les cordes telles que gg ont une longueur exacte, et que, par conséquent, la hauteur jkj du point q de la courbe 9 peut être inexacte.

Par suite la longueur du rayon de courbure p peut donc être altérée.

Secondement*

Il faut construire Tèllipse 6, et Ton n'est pas certain que le point A:, intersection de cette ellipse et de la droite sk , soit bien exact, puisque l'ellipse e ne peut être construite que par points.

62. Mais si , au lieu de prendre un cylindre de révolution osculateur du cylindre dont 9 est la section droite, on prenait un cylindre à base elliptique, l'ellipse base étant osculatrice en un de ses sommets au point m' de la courbe 9 , on pourrait alors considérer rellipsoîde de révolution comme étant sa propre surface osculatrice , et calculer les axes de l'ellipse base du cylindre osculateur de manière que ce cylindre eût des plans tangents communs et horizontaux avec l'ellipsoide de révolution.

Dès lors ayant construit la section droite (fig. 64) comme précédemment, ayant déterminé son rayon de courbure p pour le point culminant m', on aurait

pour les axes de l'ellipse base du cylindre osculateur a = l^ pb dans le sens horizontal et parallèlement à la droite D , et ^ dans le sens de la normale M.

On porterait donc a = k^ pfr de m en s sur D , l'on tracerait la ligne sk perpendiculaire à D, et par le point A*, intersection de l'ellipse E et de cette droite sk^ on mènerait A:m, qui serait la tangente demandée.

Cette nouvelle construction serait préférable sous le point de vue graphique, puisque la seconde cause d'erreur aurait disparu , et que d'ailleurs les opérations graphiques seraient plus simples.

63. Mais au lieu d'nn ellipsoïde de révolution on pourrait prendre une sphère ^ et dès lors on n'aurait plus à construire l'ellipse méridienne E, et la première cause d'erreur graphique signalée précédemment disparaîtrait.

(Fîg. 65.) Aikisi Ton pourrait, du point m comme centre, décrire un cercle d'un rayon arbitraire R; tracer une droite arbitraire D; et construire la section droite O' du cylindre, coupant la spbère suivant une courbe à double courbure, dont Tune des branchasse projette suivant la courbe donnée 9; puis ensuite , déterminer le rayon de courbure p' pour le point culminant de la courbe 6'.

Les axes de Tellipse base du cylindre osculateur, ayant deux plans tangents horizontaux communs avec la sphère , seraient : a =|/pR dirigé parallèlement à la droite D , et R dirigé suivant la normale N\

Dès lors portant sur la droite D la longueur ms=:a\ la droite sk , perpendiculaire à la droite D , couperait le cercle tracé sur le plan* de la courbe 9 en un point k tel , que la droite km serait la tangente demandée.

Remarquons toutefois que cette construction exige, pour avoir les divers points de la section droite 9', que Ton fasse dans la sphère une suite de sections perpendiculaires à la droite D , dans chacune desquelles on doit prendre la hauteur du point qui appartenant à la courbe intersection du cylindre et delà sphère est situé dans le plan de chacune de ces sections circulaires.

64. La construction de la courbe Q' serait donc encore longue. Mais si Ton pouvait prendre les hauteurs des divers points de la courbe d'intersection dans un seul cercle» la construction de la courbe 0' serait non-seulement abrégée , mais encore plus exacte.

Pour cela il est évident qu'il suffit de remplacer la sphère par une surface cylindrique ayant pour axe de révolution la droite D (^9. 66).

Cette dernière construction est donc celle qui doit être préférée sous le point de vue graphique , puisqu'elle conduit à la tangente demandée par le moindre nombre possible d'opérations graphiques , et que tous les points employés se trouvent déterminés graphiquement de la manière la plus exacte possible.

65. J'ai dit (57) que l'on doit y autant que faire se pourra, choisir des constructions graphiques telles, que les points ou les lignes qu'elles déterminent puissent être vériûés en leur position par d'autres constructions ; parce qu'alors ces points ou ces lignes graphiques, en vertu de cette vérification , occupaient d'une manière plus probable la position réelle que devaient occuper les points et les lignes géométriques que représentent ces points et ces lignes graphiques.

Le mode de construction employé pour la détermination de la tangente à une courbe dont l'équation est inconnue se prête à toute vérification.

En effet , puisque l'on peut prendre la droite D arbitraire , on n'a qu'à prendre une nouvelle direction D', et recommencer par rapport à ce nouvel axe D' les constructions exécutées primitivement avec la droite ou axeD; alors on déterminera

une tangente qui devra se superposer avec celle déterminée par la première construction.

Ou bien Ton prendra un second cylindre dont les génératrices ne seront phis perpendiculaires à la droite D, mais obliques et dirigées sous un angle donné arbitrairement , et Ton recommencera les constructions qui conduisent à la tangente ; cette nouvelle tangente devra encore se superposer avec celle primitivement déterminée.