DU SECOND ORDRE

i . J<e désigne la surface du second ordre par 2 ;

, , . / P' le plan coupant la surface 1, suivant une courbe C Je désigne \ j^r ç,t,

Les trois plans P\ P", P'", se coupent en un point que je désigne par p.

Je suppose que les trois courbes n'ont aucuns points communs , et que le point p est extérieur, par rapport à la surface 1, c'est-i-dire tellement situé dans l'espace que l'on puisse y faire passer un plan tangent à la surface 2.

J'ai démontré ci-dessus (page i3) que» par deux sections planes d^une surface fie second ordre j l'on pouvait faire passer deux surfaces coniques (.excepté dans certains cas qui ont été indiqués).

Par conséquent^ Ton pourra en général envelopper deux à deux , les trois courbes C, C", C" par six cônes.

!e\, eif,, les sommets des deux cônes enveloppant les courbes C et C" <„el/„, - -, - - C'etC"

*"„,et/',„ - - - ■ - C'elC"

Désignant par la lettre e, accentuée diversement, le sommet d'un cône extérieur, et par la lettre j\ accentuée aussi diversement, le sommet d'un cône intérieur.

Par les deux sommets e\^ et e',,, , je pourrai mener deux plans tangents communs aux deux cônes , ayant pour base commune la courbe C

(*) Extrait de la Correspondance mathématique «t frfiysiqae des PayaBaa , publiée par M. ÇUêUM , Yol. IV, n' 1, année 1828.

Chacun de ces deux plans tangents coupera évidemment la surface 2, suivant deux courbes tangentes, à la foîsi aux trois courbes C\ C'y G'".

Les trois sommets e'ny e,,., e'.n, seront donc sur une ligne droite, que je dési* gne par E.

On démontrerait de la même manière que

f'f'n e.„ sont sur une droite T Les trois sommets l jn.j'l,. e., — — I"

V„ la droite intersection des deux plans P' et P" Je désigne par \ L'... — — — P' et P'"

L",. — — — P" et P"'

Cela posé : de ce que les sommets des six cônes-enveloppes sont, trois à trois, en ligne droite, j'en conclus que ces six sommets sont situés sur un plan unique ; et, dès lors , je puis énoncer le théorème suivant :

Trois sections planes et arbitraires, dune surface du second ordre , peuvent en général être enveloppées y deux à deux y par six cônes y dont les sommets sont distribués trois à trois , sur quatre droites situées dans un plan unique , et l'une de ces droites contiendra les trois sommets des cônes extérieurs.

Je désigne par P le plan qui contient les sommets des six cônes-enveloppes.

2. J'ai démontré, dans le Mémoire n"" i publié au commencement de ce chapitre, que si , par un point arbitrairement choisi sur la droite \J,. , l'on menait deux plans tangents au cône el, (désignant le cône par son sommet ), et deux plans tangents au cône/» , les quatre points de contact , situés savoir : deux sur la courbe C, et deux sur la courbe C^, déterminaient un quadrilatère pian, dont les diagonales se croisaient au sommet /., dont deux côtés opposés et prolongés, se coupaient en lé point e,.y et dont les deux autres côtés opposés et prolongés, allaient se couper sur la droite V.. .

Si donc du point p je mène :

ÎC, désignant par m* et ft^ les points de contact, C" — — m"etn" — —

C'' — — m'"elit'" — —

les quatre points m', n\ m'', n", formeront un quadrilatère plan, dans lequel deux côtés opposés passeront par le sommet e',\ les diagonales se croiseront au sommet/., et les deux autres côtés opposés se couperont sur la droite L'.. , en un point que je désigne par V...

Les quatre points m\n\ m"\n''\ formeront aussi un quadrilatère plan dans lequel :

- Deux côtés opposés passeront par le sommet e'...

Les diagonales se croiseront au sommet /,,,.

Et les deux autres côtés opposés^se couperont sur la droile L\^, en un point l'^,.

Enfin 9 les quatre points m", n", m'", n'\ formeront un quadrilatère plan , dans lequel :

Deux côtés opposés passeroiH par le sommet e'\^^.

Les diagonales se croiseront au sommet j%,.

Et les deux autres côtés opposés se couperont sur la droite L",,, en un point (\^,.

Il est évident que les trois points T,,, t^^^y P\^^ sont situés sur le plan P, et. sont les sommets du triangle formé par les trois cordes m'n\ rn'n\ tn"'n"'f prolongées ; et que les quatre points, m', m'^ n\ n\ sont sur la courbe G, «eclion de la surface 2 > par le plan P.

Le plan tangent à la surface 2, au point m', passera par les tangentes à deux sections faites, en ce point, dans cjette surface 2.

Ainsi le plan tangent en m\ sera déterminé par la'droite mp, tangente en m' à la courbe G', et par la tangente en m' à la courbe G.

On aura de même :

n' passant par n'p tangente à la courbe G'.

Le plan tangent à la surface £ ) ,, ir \ • C*

au point

Par le point p, je pourrai mener un plan arbitraire P^, tangetitiellement à la section conique a, qui est Tune des huit sections coniques ^ngent^s à la fois aux trois courbes G', G", G'".

Je désigne par G^ la section faite dans k surface 2 ^r le plan P^ ; la courbe m sera donc aussi tangente à la courbe G^ ; par conséquent, les courbes G' et C^, G" et G^, G"' et G^, seront enveloppées par un cône dont )e sommet sera situé sur la droite E.

Si du point p, l'on mène deux tangentes à la courbe G^, les deux points de contact seront situés sur la courbe G , je désigne par m^ et n^, ces deux points. Le plan tangent à la surface 2 au point m^ passera par la droite m^, tangente à

la courbe G^, et le plan tangenvà la surface 2 au point it^, passera par la droite n^p , tangente à la courbe G^« Les tangentes tnpf m"pf m'^p, m% n'p, etc., seront les génératrices d'une surface développable ; et conoime le plan P^ est arbitraire , je pourrai conclure de ce qui précède le théorème suivant :

Veipace parcouru par un plan qui ie meui tangendellemeni â une surface du second ordre f et qtà passe toujours par unjnnnifixe p , a pour enveloppe une surface conique^

iiont le sommet est le point fixe p, et dont la courbe de contact ^ avec la surface Ij est une courbe plane.

Et il est évident que le théorème inverse a aussi lieu :

Si ton fait mouvoir un plan tangetUiellement à une surface du second ordre 2, f^e manière que ie point de contact soit en chaque position du plan tangent y Cun des points dune section plane de cette surface 1 , C enveloppe de l'espace parcouru par ce plan sera une surface conique.

3. On donne au plan de la courbe de conlact d'un cône tangent à une surface du second ordre, le nom de plan polaire j el au sommet du cône» celui de pôle de la surface.

Mais il faut bien observer qu'un plan n'est plan polaire d'une surface, que par rapport à un seul pôle; comme un point n'est pôle d'une surface que par rapport à un seul plan polaire.

Ainsi, je pourrai dire que le plan P est plan polaire de la surface 2, par rapport au pôle p.

4. La courbe C sera la courbe de contact d'un cône tangent à la surface 2, et aura pour sommet un point que je désigne par p\

Je désigne par p" le sommet du cône tangent à la surface 2 suivant la courbe C", el par p'" le sommet du cône tangent à la surface 2 suivant la courbe C". D'après les définitions précédentes :

fp' sera le pôle de la surface 2 par rapport au plan polaire P ' p" ~ — — — P"

5. Par la droite L'.. je fais passer un plan arbitraire Q', coupant la surface 2, suivant une courbe que je désigne par $.

Par le point p, je mène deux tangentes à la courbe $, et je désigne par c^' et 9" les deux points de contact, qui seront évidemment sur la courbe C.

Les trois courbes Cj C\ $ pourront être enveloppées deux à deux par des cônes dont tes sommets seront distribués sur la droite f,. é,, , unissant les sotnmetsfn et e'.. ; en effet : les quadrilatères plans ^ m' m'' n n", m' m" 9' ç", n n ^ f^'\ auront chacun deux côtés opposés , qui prolongés passent par le point l'„\ leurs deux autres côtés opposés et prolongés se coupent respectivement en chacun des trois sommets des cônes extérieurs , et les diagonales se croisent respectivement en chacun des trois sommets des cônes intérieurs, qui enveloppent deux à deux les trois courbes C, C ', 4>.

Les six sommets de ces cônes enveloppes seront donc sur le plan P.

Cela posé :

Si je prends sur la droite L'.. un autre point 'q et que je le regarde comme le'

sommet d'un c6ne langent à la surface 2, j'aurai pour eourbe de contact une courbe C. , située dans un plan que je désigne par Q.

Je puis raisonner par rapport au système polaire, composé du pôle q ei du plan polaire Q, comme je l'ai fait poux le système peiaire Sormé d^ pâle p et du plan polaire P.

Par conséquent 9 je trouverai que les six sommets des cônes enveloppant deux à deux les trois courbes C\ C, $, sont situés sur le plan Q.

Ces six sommets sont donc sur la droite intersection des deux plans P et Q ;

mais comme la droite j'.. el, contient déjà deux de ces six-sommets, on en conclut : que les trois courbes C, G'", C", 9 , dont les plans se coupent smvant une même droite V., , peuvent être enveloppées deux à deux par six cônes dùnê les sommets sont tous situés sur une droite unique.

Et comme le plan Q' est arbitraire, il s'ensuit que l'on peut foncer le théorème suivant :

Si l'on a n sections , faitei dans une surface du second ordre par n plans passant tous par une même droite , ces n sections pourront être enveloppées deux à deux par 2n cônes, dont les sommets seront tous situés sur une droite unique,

6. Pour mener par la droite V,,, deux plans tangents ^ la surface 1, Ton n'aura qu'à prendre sur cette droite deux points arbitraires p et q; regarder ces points comme les sommets de deux cônes tangents à la surface 2, le premier suivant une conique C , le second suivant une conique G, ; et les deux plans tangents communs à ces cônes, seront les plans tangents demandés.

Les points h et hf, intersections des deux courbes C et G. , qui seront les courbes de contact des deux cônes tangents à la surface 2, seront les points de contact des deux plans tangents et dé la surface 2.

Et comme les points de contact h et h' seront les intersections limites de la surface 2, par les divers plans sécants que Ton peut faire passer par la droite V..,

l'on pourra en conclure , que la droite/., e'n perce la sur&ce 2 aux points h eihf.