De ce qui préeède, Ton peut déduire le théorème suivait
Si par une droite L'u artntrmrement située par rapport à une surface du second ordre
2, ton mène deux plans tangent» à cette surface, la droite }'» ef,. qid unira les deux points de contact, jouira avec V.. de la propriété suivante, savoir : Cune de ces deux droites contenant les sommets des cônes tangents à la surface 2 , les plans des courbes de contact passeront par Cautre droite.
8. En vertu de cette propriété, je donne aux deux droites Vu et/» e'.. le nom de polaires réciproques de la surface 2.
Ll nt %£%> 7 fff O II'
Par la même raison les couples de droites
seront des polaires réeiproques de la surfaoe 2.
9. Les trois droites L'., Vf. , V,r, , se eoupent en un point p qui est pôle de la surlace 2, par rapport au plan polaire P, qiii 'cootient leurs polaires réciproques ,
ntm
10. Tout plan qui passera par le point p, coupera la surface 2 suivant une courbe qui sera enveloppée avec Tùne des trois courbes C, C!\ C", par deux cônes dont les sommets seront situés sur le plan P.
Je puis donc énoncer le théorème aui^vani :
Lorsque n droites se coupent en un point p , et sont (taitteurs disposées dans t espace dune manière arbitraire par rapport à une surface du second ordre 2, leurs n polaires réciproques y sùnt situées sur un plan unique P , qui est plan polaire de la surface 1 , par rapport au Pdtis p.
11. Par ce qui précède. Ton voit de suite que la droite L'. qui unit deux pôles p et 9» est la polaire réciproque de la droite intersection des deux plans polaires P et Q.
Ainsi lé^ trois pôles p\ p", p'^' détermiaeroat un plan qui sera le pUm polaire de la s«irface*2 par rapport au pôle p, qui eftt Tintersection de leurs trois plans po- /oîwP'^P^P'".
Ainsi les trois pôles p\ p"y p'*^, sont situés sur le plan P.
Les deux plans P' et P" se coupant suivant ta droite L'», cette droite sera la polaire réciproque de .çôlle qui unit les deux pôles p et p".
Par conséquent) les pôles p et p" saroqt situés sur la droite j'.. -é,, que nous avons déjà vu être la polaire réciproque de la droite V... *
De même, les pôles p' et p"* seront sur la droite/,. eV., et les pôles p" et p" seront sur la droite j".., V,.,.
12. J*ai démontré oi*-dessus dans le mémoire n*" 1 de ce chapitre , que lorsqu'on avait deux courbes du second degré C et C", enveloppées par deux cônes, si l'on prenait deux points arbitraires p' et p" sur la ligne des sommets, et si Ton regardait ces deux points comme les sommets de deux nouveaux cônes , ayant pour base , Tun la courbe C et l'autre la courbe C^, ces deux cônes se coupaient suivant deux courbes du second degré, dont les plans passaient par la droite L'm, intersection des plans P' et P" qui étaient les plans des courbes G et C.
Jo puis donc, d'après cela, énoncer lethéorème suivant :
Sr Pan a deux courbes du second degré C et C^ , situées sur une surface du second ordre 2 , les sommets p' et p" des deux cônes tangents à la surface 2 , Pun , suivant C et
f autre , suivant C", sont situés sur la droite j',, e'„ polaire réciproque de la droite L'„, intersection des deux plans V et P", qui sont les plans des deux courbes C et C".
Et les deux cônes p' et p" ( désignant le cône par son sommet ) se couperont suivant deux courbes du second degré , dont les plans passeront Cun et F autre par la droite L\^.
AS. Je fais passer par la droite f^^e\^ y un plan arbitraire V ; ce plan coupera la courbe C'aux deux points o:'^ y\ et la courbe G" aux deux points x", y"] Ce plan V coupera en outre :
La droite L'^^ en un point v ; Le cône p' suivant deux génératrices p'x' et p'y'
- p" — — — p V et p Y
- /. xYeiy'xT
- e„ — — — xxetyy.
et la surface 2 suivant une courbe p , qui passera par les quatre points x\ y\ od\ y", et qui aura pour tangentes en ces points les quatre génératrices pV, pV, pV, pY*
Cela posé :
En .vertu des propriétés des quadrilatères inscrit et circonscrit :
Les deux droites, pV et p"x", py' et p'y se couperont sur la droite vj\ .
Les deux droites, p'x^ et pV'» P^\f ^^ P^^^' ^^ couperont sur la droite ve^,,.
Et comme le plan Y est arbitraire, l'on peut conclure de ce qui précède, que les deux cônes p' et p'^ se couperont suivant deux courbes du second degré , dont les plans ne seront autres que les plans V^J\^ et L'^^e'j^.
La droite vj\^ est la polaire de la courbe p , par rapport au pôle e\^ \ de même la droite ve\^ est la polaire de la courbe p , par rapport au pôle jf^.
i4. Le plan Y étant arbitraire, l'on peut conclure que le plan V^^j\^ est le plan polaire de la surface 1 par rapport au pôle'e*^ , et que le plan \J^^e\| est aussi le plan polaire de la surface 2, par rapport au p6le}\^.
Deux plans polaires ^ qui sont tels que, réciproquement, l'un contient le pôle de l'autre, sont dits plans polaires conjugués ou réciproques.
Les deux plans V,j„ et L',,e'„ sont donc deux plans polaires conjugués ou réciproques.
15. J'ai dit ci-dessus, que les géomètres avaient donné le nom de pôle au sommet du cône tangent à une surface du second ordre, et celui de plan polaire j au plan de la courbe de contact.
Mais cette définition du pôle et du plan polaire n'est pas complète, car elle suppose que leplanpolaire coupe toujours la surface du second ordre suivant une courbe.
En vertu des théorèmes précédemment démontrés, je puis donner une défipition complète du plan polaire et de son pôle.
En effet :
Étant donnés une surface du second ordre 2 et un plan P arbitrairement situé dans Tespace par rapport à celte surface 2 , si je prends n points arbitraires sur le plan P (mais lels que je puisse regarder chacun d'eux comme le sommet d'un cône tangent à la surface 2 ) , les plans des n courbes de contact de la surface 2, avec les n cônes tangents , passeront tous par un point p. Le plan sera dit plan polaire de la surface 2, le point p en étant le pôle.
16. Si le plan P coupe la surface 1 suivant une courbe a , il sera dit plan polaire intérieur 9 et son pôle p sera dit pôle extérieur , parce que , dans ce cas , il sera le sommet d'un cône tangent .à la surface 1 suivant la courbe a.
.17. Si le plan P ne coupe pas la surface 1, il sera dit plan polaire extérieur, et son pôle p sera dit pôle intérieur , parce que dans ce cas Ton ne pourra pas faire passer par ce point p, un plan tangent à la surface 2.
18. Il est évident que si le plan P était tangent à la surface 2 , le pôle p ne serait autre que le point de contact.
Sur lés propriétés polaires qui existent entre les huit courbes tangentes
A TROIS SECTIONS PLANES d'uNE SURFACE DU SECOND ORDRE (*).
1. Je désigne par a et a' les deux courbes tangentes aux trois courbes G', G", C', et dont les plans passent par la droite E ; par 6 et S' les deux courbes tangentes aux trois courbes G', G", G"^ et dont les plans passent par la droite T; par y et y les deux courbes tangentes aux trois courbes G^ G'^ G'", et doot les plans passent par la droite F', et par d etd' les deux courbes tangentes aux trois courbes G', G'S C"\ et dont les plans passent par la droite F'' ( les trois courbes G', G'^ C^"y sont situées sur une surface du second ordre 2).
Je désigne ensuite :
Par a' le point de contact des courbes a et G'; par a'' le point de contact des courbes « et G'' ; par a"' le point de contact des courbes a et G"' ;
(*) Extrait de la Ckiirespondance mathématique et physique des Pays-Baa , publiée par M. Quetelet , Tol. IV, n* 2, année 1828.
Par a. le point de contact des courbes ol et Q! \ par a, le point de contact des courbes a et C'^ ; par a, le point de contact des courbes J et C' ;
Par y le point de contact des courbes 6 et G'; par V^ le point de contact des courbes 6 et G" ; par b'" le point de contact des courbes Set G''';
Par b, le point de contact des courbes S' et G"; par b^ le point de contact des courbes 6' et G'' ; par b^ le point de contact des courbes € et ^" ;
Par g^ le point de contact des courbes y et G' ; par ^^ le point de contact des courbea y et G" ; par jf'" le point de contact des courbes y et G'^' ;
Par g, le point de contact des cotirt^es y' et G^; par^, le point de contact des courbes y' et G'' ; par g^ le point de contact des courbes y et G'" ;
Par d' le point de contact des courbes id et G'; par d" le point de contact des courbes d et G" ; par <f'' le point de contact des eourbes d et G'^';
Par (/, le point de contact des courbes j' et G' ; par d. le point de contact des courbes d' et G" ; par d, le point de contact des courbes d' et G'''.
Gela posé :
2. le suppose trois cônes S', S'", S''', ayant respectivement pour bases les courbes G', G", G!^\ leurs sommets étant dans un plan passant par Tune des quatre droites E, \^\\ V\ et tellement disposés entre eux que les cônes S', S'', S"', se coupent deux à deux suivant deux courbes planes.
Je désigne les deux courbes-intersections des cônes S' et S'' par ol,, et g'. -, des cônes S' et S'" par J.,, et 6'.» ; et des cônes S" et S'" par J\^^ et 6"», ; Gela posé :
3. J'ai démontré, dans le mémoire n"" 3, que le plan de Tune des courbes planes a!ny 6^ passait parla droite L'.r intersection des plans P^ P", contenant les bases G', G^', des cônes S', S".
Ainsi je puis supposer que le plan de la courbe a^^ passe par la droite L'.; que le plan de la courbe J^,,. passe par la droite VI. , et que le plan de la courbe «',,, liasse par la droite L'...
Le plan de la courbe g'.r coupera le plan P' suivant une droite que je désigne par P'6'.; le plan P^ suivant une droite que je désigne par P"ê^; et le plan P"' suivant une droite que je désigne par P'^g". ;
Le plan de la courbe g^. coupera le plan P' suivant une droite que je désigne par P'ê',»; le plan P" suivant une droite que je désigne par P'6'»., et le plan P"' suivant une droite que je désigne parP^'/g'., \
Le plan de la courbe g"», coupera'le plan P' suivant une droite que je désigne par P'g"».; le plan P'' suivant une droite que je désigne par P"g'', ., et le plan P'"
suivant une droite que je désigne par P"'g''m ; Les plans des deux courbes Jn et ^\, se couperont suivant une droite, que je
désigne par M'» ; les plans des deux coorbes aP,., et S'^M se couperont suivant une droite que je désigne par W,,. , et les plans des denx courbes J.., et 6". se couperont suivant une droite que je désigne par W,n ;
Les trois droites M'.., P'S'», P"S'i., se couperont en un point m'., situé sur la droite V„ ; les trois droites M'», , P'S'.i P'^'S'.. , se couperont en un point m,,, situé sur la droite L'«», et les trois droites M".., P"6'^», P"^6'r», se couperont en un point m^ln situé sur la droite L'',..
Les trois points m'», m^., vrtl,,^ varient de position sur les trois droites L'. , \J,u^ \J\.,^ en même temps que Ton fait varier de position le plan qui contient les sommets des trois cônes S', S", S"".
4. Les trois cônes S^ S'', S''', se couperont en huit points ; car l'intersection des deux cônes S', S'^ étant formée des deux courbes planes â^^ et 6',,, ces deux coorbes seront coupées chacune en deux points, par chacune des deux courbes «'/// ^^ ^\n intersection des deux cônes S', S'".
Lés huit points communs aux trois cônes S', S"» S''', seront distribués de la manière suivante :
Les trois courbes a!,, , a^< , a''." , auront deux points communs , en d autres termes, leurs trois plans se couperont suivant une droite H passant par le point p, puisque ces plans passent respectivement par les trois droites M., , L',.. , L"...
Les trois courbes a^., J,» , JK, , se combineront avec les trois courbes 6'., 6'.. , &',., et formeront trois groupes :
Premier groupe, 6'« , 6'.», od'n,.
Deuxième groupe, 6",. , ff'.n , a^',„.
Troisième groupe , 6".», 6'..., «',..
Chacun de ces groupes aura deux points communs, en d*aulres termes, les plans des trois courbes de chaque groupe se couperont suivant une même droite.
5. Je désigne par H' la droite appartenant au premier groupe; par H'" la droite appartenant au deuxième groupe , et par H''' la droite appartenant au troisième groupe ;
Par a',, a^, les deux points situés sur la droite H ; par fr'., b/\ , les deux points situés sur la droite H'; par fr',, 6",, les deux points situés sur la droite H''^ et parfr',, 6"„ les deux points situés sur la droite H''^
Cela posé :
6. le dis que : si par chacun de ces huit points et les trois sooimets des cônes S', S", S''', l'on fait passer des droites, Ton aura :
V Huit génératrices du cône S' donnant huit points sur la courbe C ; huit
génératricies du cône S" donnant huit points sur la courbe C, et huit génératrices du cône S'^' donnant huit points sur ia courbe C".
2* Chacun des huit points situés sur les courbes C\ G\ C'\ sera celui de contact de Tune des huit courbes tangentes à ia fois à ces trois courbes C", C\ C"] et chacune des huit courbes tangentes, sera la base d'un cône, ayant pour sommet Tun des huit points communs aux trois cônes S', S", S'", et tangent à la fois à ces trois cônes. -
Je donnerai à la fin de ce mémoire, la démonstration des divers résultats que je \iens d'énoncer.
' 7. Le plan de la courbe a coupera le plan P' suivant une droite ta'\ le plan P'^ suivant une droite ta'\ et le plan P^^' suivant une droite ta'"]
Le plan de la courbe a coupera le plan P^ suivant une droite ta, ; le plan P'' suivant une droite ta,, et le plan P'^' suivant une droite ta,.
Les deux j[)]ans contenant les courbes a et a' se coupent suivant la droite E, par conséquent les droites ta et ta, se couperont sur la droite E en un point r"; les droites ta^ et to, en un point t"* et les droites ta'" et ta, en un point t'^".
La di*oitè a'a, sera la polaire de la courbe C par rapport au pôle i"; la droite a'a^ sera la polaire de la courbe C par rapport au pôle tf'*, et la droite a"a, sera la poUàre de la courbe C" par rapport au pôle i"*\
La droite mV est la polaire de la courbe G^ par rapport au pôle p; la droite m"n' est la polaire de la courbe C par rapport au pôle p, et la droite tn^'n'^' est la polaire de la courbe C" par rapport au pôle p.
Il est évident que la droite m'n' passe par le point t'* ; que la droite m' n" passe par le point i"", et que la droite m"V passe par le point i'''.
8. Mais, en vertu des propriétés des quadrilatères inscrits et circonscrits , si , par un point t'', Ton mène deux tangentes ta et ta^k une section conique G'; et si, par un second point p, Ton mène à cette même courbe deux secondes tangentes pm' et pit, telles que les trois points f", m', n\ soient en ligne droite, l'on sait que les trois points a', a,, p, seront aussi en ligne droite. Par conséquent, les deux droites m'n' et a^a^ seront dites les polaires conjuguées ou réciproques de la courbe G', parce que l'une contient le pôle de l'autre.
. Ainsi Ton peut conclure de ce qui précède , que les deux courbes « et a^ seront enveloppées par un cône ayant pour sommet le point p.
9. Mais puisque le point p est le pôle de la surface 2 par rapport au plan polaire P, il s'ensuit que le sommet r du second cône enveloppant les courbes a et »' sera situé sur le plan P : -
Et comme les plans des deux courbes a et a se coupent suivant la droite E, le sommet r sera h pôle de la surface 1 par rapport au plan polaire R , passant par le
point p et la droite E , et sera Tintersection de la polaire réciproque de la droite E
et du plan P.
Ainsi y si par la droite E, je mène deux plans tangents à la surface 2 , les deux points de contact seront sur une droite passant par le point p et qui percera le plan P en un point r, sommet du second cône enveloppant les deux courbes a
et a'.
10. Si je considère les deux courbes 6 et 6' dont les plans passent par la droite 1', j'aurai les résultats suivants :
Le plan de la courbe 6 coupera le plan P' suivant une droite tb\ le plan P'^ suivant une droite tb'\ le plan P"' suivant une droite tb'"] le plan de la courbe g' coupera le plan P' suivant une droite /6., le plan P"' suivant une droite tb^^ et le plan P'" suivant une droite {6,.
Les droites tb' et tb, se couperont sur la droite l' en un point t'^' ; les droites tV* et f6. se couperont sur la droite V en un point £'"*, et les droites tV" et 0, se couperont sur la droite V en un point t"- '' ;
La droite 6'6, sera la polaire de la courbe C par rapport au pôle t'''\ la droite l/b^ sera la polaire de la courbe C" par rapport au pôle ("'', et la droite b'^b, sera la polaire de la courbe CJ" par rapport au pôle t'" ^ ;
La droite m'n' passera par le point t"' ; la droite mV passera par le point f^\ et la .droite m'V passera par le point £"' ''.
11. Avec un peu de réflexion, Ton verra que tout ce que j'ai. dit, par rapport aux courbes » et a, pourra se répéter, mot pour mot 9 par rapport aux courbes 6 et 6'.
Ainsi les droites b'b, , Vb^^ b"\ passeront par le point p :
12. Les deux courbes 6 et 6' seront enveloppées par deux cônes , dont Tun aura pour sommet le point p ; et Tautre aura pour sommet le point d'intersection du plan P et de la polaire réciproque de la droite T.
Cette polaire réciproque sera la droite intersection des deux plans tangents à la surface 2 , ayant pour points de contact ceux où la droite V coupe la courbe C.
13. On obtiendrait des résultats analogues en opérant sur les deux courbes y et y' ou 3 et y.
14. Ainsi, désignant par R la polaire réciproque de la droite E; par R' la po/oire réciproque de la droite ï ; par R'' la polaire réciproque de la droite 1", et par R"' la polaire réciproque de la droite l"',
je pourrai énoncer le théorème suivant :
Les huit courbes planes tangentes à trois sections planes C, G", C", d'une surface du second ordre , peuvent être enveloppées deux à deux par huit cônes , dont quatre ont pour sommet cotnmun le point p , intersection des plans des trois sections planes ; et les quatre
autres sommets sont les intersections du plan polaibe P de la surface 2 ^ aj/ant le poini p pour PÔLE , et des quatre polaires réciproques R , R', R", R'" des quatre droites E, Vy \"y r', qui unissent trois à trois les sommets des six cônes enveloppant deux à deux les trois sections planes C, C", C".
15. Je désigne par r le point de rencontre de la droite R et du plan P ; par r' ie ix)int de rencontre de la droite R' et du plan P ; par r" le point de rencontre de la droite R" et du plan P , et par r " le point de rencontre de la droite R'" et du plan P. Je désigne par a' la courbe de section du plan P et du cône qui , eoveloppûnt les courbes a et a', a pour sommet le point p ; par €' la courbe de section du plan P et du cône qui , enveloppant les courbes € et S'y a pour sommet le point p ; par y' la courbe de section du plan P et du cône qui , enveloppant les courbes y et y\ a pour sommet ie point p, et par d' la courbe de section du plan P et du oône qui , enveloppant les courbes d et d", a pour sommet le point p. . Cela posé :
i6. Il est évident que tout plan passant par le point p et tangent à la courbe a% coupera la sarfoce 2 suivant une courbe yi qui pourra être enveloppée avec la courbe C ou C* ou C^ par un cône dont le sommet sera sur la droite E ; puisque cette courbe /ut sera tangente en même temps aux deux courbes a et J.
17. Il est évident qu'il en sera d6 même pour la courbe rl^ donnée par la section de la surface 1 par un plan arbitraire passant par le point p et tangent à la courbe 6*; c'est-à-dire, que cette courbe r! pourra être enveloppée avec la courbe C ou G" ou C", par un oône dont le sommet sera situé sur la droite T.
Ainsi je puis énoncer le théorème suivant :
Tout cône qtd , ayant pour base F une des trois courbes C\ C", C"^ et pour sommet un point situé sur la droite E, ou la droite I\ ou la droite ï\ ou la droite V", coupera la surface 1 suivant une courbe plane dont le plan passera par le point p^et ce plan sera tangent ou à la courbe a% ou à la courbe 6% ou à la courbe y% ou à la courbe i*.
18. Mais la propriété que je viens de trouver pour les cônes qui, enveloppant les courbes a ot a, $ et 6', y et y\ d et d^, ont pour sommet commun le point p, ne subsiste pas pour le cône qui , enveloppant les courbes a et a\ a pour sommet le point r; ni pour le cône qui, enveloppant les courbes 6 et 6', a pour sommet le point r' ; ni pour le cône qui , enveloppant les courbes y et y, a pour sommet le l>oint r" ; ni pour celui qui ^ enveloppant les courbes 3 et d', a pour sommet le point r'".
19* J^ suppose que les sommeu des trois cônes S', $", y sont «ur un plan passant par la droite £ : pour que ces trois cônes se coupont deui; à dew suivant deux courbes ptoiies , il fout que leurs sommets soient deux & deux sur (cois
droites passant par les trois sommets e',, , e',,^, e''^^, des cônes extérieurs enveloppant deox à deux les trois courbes C, C, G'".
Ainsi , désignant par p le sommet du cône S' ; par p" le sommet du cône S", et par p" le sommet du cône S"' ; l'on aura les trois points p', p", e',, en ligne droite , droite que je désigne par S'^^ ; les trois points p', p"', e,,^ seront sur une droite, que je désigne par S',,^ , et les trois points p", p", é\^^ seront en ligne droite, et je désigne cette droite par S",,^.
20. V Les deux points ci et a", contacts de la courbe a avec les courbes C et C", seront en ligne droite avec le sommet e",. ^
Par conséquent, le plan qui passera par la droite rfa" et la droite S',,, coupera le cône S' suivant une génératrice a'p, et le cône S" suivant une génératrice ay.
Les deux génératrices ap' et a'p" se couperont en un point a\^.
2* Les deux points a' et a'", contacts de la courbe a avec les courbes C et C" seront en ligne droite avec le sommet t^^^.
Par conséquent , le plan qui passera par la droite da^' et la droite S'^^ coupera le cône S' suivant une génératrice a'p', et le cône S'" suivant une génératrice a^ p'".
Les deux génératrices a'p' et a" p'" se couperont en un point a',,,.
3* Les deux points a" et a\ contacts de la courbe a avec les courbes Cet C", seront en ligne droite avec le sommet e",,,.
Par conséquent, le plan qui passera par la droite aV" et la droite S",,, coupera le cône S" suivant une génératrice «"p" et le cône S'", suivant une génératrice a"^*".
Les deux génératrices a'p" et a'"p"' se couperont en un point a",,,.
21. Lestroispointsa',^,a',,,, a!\,, se confondent en un seul: en effet, si par la droite fa' tangente commune aux courbes C et a au point a' (contact de ces deux courbes) , je fais passer un plan tangent au cône S', ce phrn coupera celui qui contient les trois sommets p', p", p'" suivant une droite passant par les points i'* et p' ; je désigne ce plan par (Ta'). J^btiendrai de même les deux autres plans analogues (Ta") et (Ta"').
Les deux plans (Ta') et (Ta") se couperont suivant une droite passant par le point a„ et par le point i^',, où les deux droites ta et fa" se croisent sur la droite L',,. Je désigne cette droite par ta\,,.
De même, les plans (Ta") et (Ta'") se couperont suivant une droite passant par les points a"„, et t' „^. Je désigne cette droite par to',„.
De même les plans (Ta") et (Ta'") se couperont suivant une droite passant par les points a",„ et t'\„. Je désigne cette droite par fa" „.
Les trois plans (Ta ) , (Ta") , (Ta"') se couperont en un point par lequel devront, passer les trois droites ia\, , ia',„, to",„ \ ce qui ne peut avoir Heu qu'autant que les trois points a',,, a',„ , a",„ se confondent en un seul point , que je désigne par o. Donc , etc.
22. Je puis opérer pour la courbe a', comme je viens de le faire pour la courbé a, et j'obtiendrai le point o', qui sera un des huil points communs aux trois cônes S', S", S'".
23. Les deux points o et o' sont sur une droite qui passé par le point p. El en effet , les trois points a\ a,^ p, les trois points a'\ a^,p, et les trois points a", a^ , p sont en ligne droite.
Le plan qui passe par la droite aa^ et le sommet p contient les deux points o et o'. Je désignece plan'^ar O'.
Le plan qui passe par la droite a\ et le sommet p" contient les deux points o et 0. Je désigne. ce plan par 0".
Le plan qui passe par la droite a\ et le sommet p'" contient les deux points o et o'. Je désigne ce plan par 0'".
Les trois plans 0', 0", 0'" passent par le point p; ils se coupent donc suivant une droite oo', passant par ce point p. (La droite qui passe par les deux points o et o' est celle que j'ai désignée précédemment par H.)
24. Je puis opérer par rapport aux courbes 6 et &, y et y\ i et i'^ comme je viens de le faire pour les courbes a et a , et j'obtiendrai des résultats analogues.
25. Ainsi , considérant les deux courba S et 6' dont les plans se coupent suivant la droite l\ Ton remarquera que les points de contact b^ et b'" de la courbe S avec les courbes C et C\ seront en ligne droite avec le point t„, ; que les points de contact^' et b" de la courbe 6 avec les courbes C et C" sont en ligne droite avec le point t\, , et que les points de contact b" et b"^' de la courbe S avec les courbes C" et C" sont en ligne droite avec le point t",„.
Les deux droites tb' et tb" tangentes à la fois , Tune aux courbes C et S au point b'y l'autre aiix courbes C" et 6' au point b", se couperont sur la droite L\, en un point que je désigne par t''-',,.
De même les deux droites tb' et t'b'" se couperont sur la droite L\^^ en un poiùt
^''' m9 ^^ ^^^ ^^^^ droites t6" et tb'" se couperont sur la droite V\,^ en un point ft'"
La génératrice b'p du cône S' coupera la génératrice b"p" du cône S" en un point que je désigne par 6',,.
La génératrice b'p du cône S' coupera la génératrice b"'p' du cône S"' en un point que je désigne par b\„.
La génératrice 6'p" du cône S" coupera la génératrice *" p'" du cône S"' en un point que je désigne par ^",,,.
Je désigne par (Jb') le plan passant. par le point p' et la droite tb' ; ps(r (T6") le plan passant par le point p" et la droite tb"] et par (T6"% le plan passant jiar le point p'" et la droite tb"\
Les deux plans (Tfr') et (W) se couperont suivant une droite lb\^^ passant par ie point 6',, et le point t"'\,.
Les deux plans (T6') et (T6'") se couperont suivant une droite tb'„, passant par le point 6',„ et le point <"•',„.
Les deux plans (T6") et (Té'") se couperont suivlsint une droite ffr",„ , passant par le point*",,, et le point i"^',„.
Les trois plans (T^'), (T6"), ÇTb"') se couperont en un point par lequel devront nécessairement passer les trois droites tb\,, tb';,,y tb'\^,\ par conséquent , les trois points A'„ , 6',,, , 6"„, se conrondent en un seul, que je nommez.
26. En considérant la courbe è\ j'obtiendrai un point %\ qui sera Tanalôgue du point z.
Les deux points % et % seront sur une droite que j'ai désignée précédemment par H' ; mais les trois points b\ b,^p^ ainsi que les trois points b*\ 6,, p et b"\ 6,, p , sont en ligne droite ; par conséquent, comme pour les courbes a et a y la droite H' passera par le point p.
27. Nous pouvons donc conclure de tout ce qui précède, que les huit points communs aux trois cônes S', S^, S'" sont deux à deux sur quatre droites il , H', H", H"' qui passent par le point p ; que les trois cônes S', S", S"' se coupent en huit points qui sont les sommets de huit cônes ayant respectivement pour base l'une des huit courbes tangentes à la fois aux trois courbes C, C", C", et ces huit cônes seront tangents à la fois aux trois cônes S\ S'^, S"'.
28. Si, au lieu de faire passer le plan, des sommets des trois cônes S', S", S"' par la droite E , on le faisait passer par l'une des trois droites \\ 1", T", l'on obtiendrait des résultats analogues aux précédents; donc, etc.
29. Si l'on projette orthogonalemcnt ou obliquement sur un plan X le système composé des trois sections coniques tracées sur la surface du second ordre , et les huit coniques tangentes et de toutes les lignes que nous avons vu précédemment entrer dans le système général , il sera facilede reconnaître les diverses propriétés dont doit jouir lé système pUm^ qui sera la projection, du système total de l'espace, sur le plan X.
30. Si Ton se donne trois sections coniques sur un plan X , pourra-t-on toujours leur construire hmi sections coniques tangentes? Pour que lé problème soit possible , il faudra que les trois coniques données soient situées sur le plan X , comme elles le seraient sur une surface du second ordre; en d'autres termes^ il faut que le plan X joue , par rapport à ^es trois coniques , le rôle de surface du
ucond ùré^e; dés lors, Goaime trois coniques tracées sur une swrboe du second ordre jouissent de la propriété d'être enveloppées deux à deux par trois cAnes (au moins) dont les somoiets sont en ligne droite y il faudra que si l'on mène des tangentes communes aux trois coniques tracées sur le plan X, on ait trois couples de tangentes communes reliant deux à deux ces trois coniques et donnant trois points de concours en ligne droite.
31. Ainsi , en supposant que les trois coniques données sur le plan X soient C, C\ C'\ il faudra que ces courbes (ayant ou non des points communs, et si elles ont des points communs , ces points étant des points de contact ou d'intersection) soient telles et tellement placées les unes par rapport aux autres sur le plan X , que les deux tangentes communes extérieures menées aux deux courbes G et C\ C et C'\ G et G" se coupent en trois points s, s\ s'' qui soient en ligne droite. Alors le plan X jouera, par rapport aux trms coniques G , G', G'', le r6\e d'une surface du second ordre; abrs les courbes G , G^ G'' données sur le plan X pçurront et devront être regardées comme les projections orthogonales ou obliques sur le plan X de trois coniques G, , G". , G", , situées sur une surface du second ordre 2; alors tout le système polaire de l'espace se projettera sur le plan X suivant un système polaire'plan dont il sera facile d'énoncer une à une les diverses pro* priétés, et par suite on sera conduit à la solution graphique de ce problème.
Étant donnéeê trois coniques sur mn pian X , construire les hmt sections coniques qui leur sont tangentes.
Et l'on reconnaît que ce problème ne sera possible qu'autant que le plan X jouera , par rapport aux tr<M8 coniques données , le rôle de surface du second ordre.
32. Nous savons que deux sections coniques situées dans des plans différents, et qui ont un point de contact , peuvent toujours être enveloppées par un cône , et ne peuvent être enveloppées que par un cône.
Nous savons que deux sections coniques situées dans des plans différents, et qui ont deux points communs ou d'intersection ^ sont toujours enveloppées par deux cônes.
Gela posé :
Trois sections coniques données dans Tespace et ayant deux à deux lin point de contact ou deux points d'intersection , seront-elles situées sur une sur&ce du second degréf
Ges trois courbes ne seront situées sur une surface du second ordre qu'autant que les sommets des trois cônes extérieurs qui les enveloppent deux è deux seront en ligne droite.
Or cette propriété n'existera pas évidemment pour trois coniques quelconques
(loDûées dans Tespace, et ayaot ou non deux à deux des points communs (et ainsi un point de contact ou deux pointa d'intersection ).
33. Nous n'entrerons pas dans plus de détaîla au au jet du proUème :
. CoMimire une $ectiem cctâqu/e tangente à trm eectàoni coniques iracfeè sur nn plan La solution complète de ce problème a été donnée par M. Poncblet dans Touvrage qu'il a publié sous le titre de Théorie des prepriéiés profe^^es; mais il s'est servi de la méthode géométrique qui a pour base les rapperis kamumiques; nous avons cru devoir indiquer comment noua pouvions arrivera la solution complète du même problème en ne noua servant que des méthodes basées réellement sur le principe de9 prçjectiona, ce qu'aucun auteur n'a fgdt avant nous (*).
34. Si les sectiona coniques sont trcMS cercles tracéd sur un plan X , le problème du cercle tangent aux trois cercles donnés est toujours possible , parce que le plan X jone toij^oura» par rapport aux troia cercles donnés et quelles que soient leurs positions respectives, le rôle d'une surface du second ordre; et en effet : un plan est rigoureusement une sphère de rayon infini.
SUR tM PROPRIÉTÉS POLAIRES ^^Ul BXIStBNT BIKm LSS TROIS SECTIONS FLANES d'uNE aiHiPACB 9U 8BC0NP ORnRBy BN VBRfU BEB RBL*ATI0N8 BE POSmON TOUTES PARTt- CCLIÈRES y QUI PEUVENT EXISTER ENTRE CES TROIS SECTIONS (^^j.
Il peut exister entre les trois sections planes C, C'^ G"' d'une surface du second ordre 2, trdne relations de position.
i . Les plans respectifa P', P", P'" des trois courbes C', G", G", se couperont en un point p qui pourra être :
!1* Extérieur par rapport à la surface 2. %"" Inêérieur par rapport à la surfoce 2. 3*" Situé sur la surface 2- % l^et troia plans P', P", P'" peuvent recouper tous les trois suivant une même droite D , qui sera :
(•) Voye* ce «jue f ai dit k ce fojet 4aq9 1« Cwr« ds a4Qmétri§ iefcrifti^û , f egee S78 et J7>. (**) Extrait de la Gorrespondanee mathématique et physique des Paya-Bai, pnWiée par M. Qnetelet , tome IV, a* 4, amëe ISBS.
4'' Extérieure par rapport à la surface I. Droite D. \ S"" Intérieure par rapport à la surface 1.
& Tangente à la surface 2.
3. Les trois plans P', P'^ P'" peuvent se couper deux à deux suivant (rois droites D',,, ^"n,y ^'ni 9 Parallèles entre elles, et qui seront :
V Toutes les trois extérieures par rapport à la surface 1.
8* Toutes les trois intérieures par rapport a la surface 2.
9** Une intérieure et deux extérieures par rapport à la surface 2.
\(y Une extérieure ^i deux intérieures par rapport à la surface 2.
\ V Une tangente à la surface 2 et deux intérieures ou deux extérieures à la àurface 2.
42'' Une tangente h la surface 2 et une extérieure et une intérieure par rapport à la surface 2.
d3* Deux tangentes à la surface 2 et la troisième étant intérieure ou extérieure à la surface 2.
Je n'entreprendrai point l'examen détaillé de ces divers cas, car» d'après tout ce qui a été dit précédemment il est facile de voir tout ce qui doit exister en chacun de ces cas particuliers, lorsque Ton devra construire les sections coniques tangentes aux trois courbes planes C, C", G"'.
Je ferai seulement observer que la construction d'une courbe plane tangente aux trois sections données G', C", G'", sera possible touies les fois que Ton pourra mener par Tune des droites qui contiennent trois à trois les sommets des six cônes enveloppant deux à deux les trois courbes C\ C'\ C"\ un plan tangent à la surface 2; et qu'il y aura autant de courbes tangentes que l'on pourra construire de semblables plans tangents.
Gela posé :
Examinons plusieurs cas particuliers entre ceux énoncés ci-dessus.
4. Supposons que les trois plans P', P", P'" se coupent deux à deux suivant trois droites L'„, L\,,, L"„,, parallèles entre elles; alors le point p en lequel les trois plans P', P", P"' se coupent, est situé à l'infini.
Dans ce cas particulier :
La courbe G , intersection de la surface 2 par le plan P, plan polmre de la surface 2 par rapport au pôlep situé ( dans ce cas ) à l'infini , sera la courbe de contact d'un cylindre tangent à la eurface 2, et ayant ses génératrices droites parallèles aux trois droites L'„, L',„, L"„,.
Dans ce cas le plan P sera un plan diamétral de la surface 2, et la courbe G sera une section diamétrale de cette surface 2 (et en effet le pôle p étant à l'infini, est aussi bien situé en dessus qu'en dessous du plan polaire V y la surface 2 doit donc être coupée diamétralement par le plan P). .
Ainsi Ton peut dire :
Le plan P, ayant son pôle à rinfmi , passe par le centre de la surface I. .
Cela posé :
Se rappelant , que par deux sections planes d'un cône du second degré, on peut toujours faire passer une infinité de surfaces du second ordre 2, 2', 2", etc., on peut démontrer que toutes ces surfaces 2> 2\ 2'\ etc., auront leurs centres situés sur un plan unique.
Et en effet:
V Désignant par C et G" les deux sections coniques par lesquelles passent la série des surfaces du second ordre 2, 2', 2^', etc.
2* Désignant par S et S' les deux cônes qui enveloppent les courbes C et C;
3* Désignant par G la courl>e de contact de la surface 2 avec le cylindre dont les génératrices droites sont parallèles à la droite L'^,; par G, la courbe de contact de la surface 2' avec le cylindre dont les génératrices droites sont parallèles à la même droite L ,, ; par G, la courbe de contact de la surface 2" avec le cylindre dont les génératrices droites sont encore parallèles à la même droite L\, , laquelle est rintersection des plans des deux courbes G' et G", etc.
On voit que :
1* Le plan de la courbe G sera un plan diamétral de la surface 2;
2* Le plan de la courbe G, sera un plan diamétral de la surface 2';
3'^ Le plan de la courbe G, sera un plan diamétral de la surface 2"; etc.
Et il est évident que tous ces plans diamétraux se confondront en un seul et m6me plan , puisqu'ils passent chacun par les quatre points de contact des tangentes menées aux deux courbes G' et G" et parallèlement à la droite L\^.
Et comme ces quatre points de contact sont dans un même plan P passant par les sommets s et s des deux cônes S et S', Ton peut énoncer le théorème suivant :
Par deux sections planei G' et G" (tune surface du second ordre 2, fon peut faire passer une infinUé de surfaces du second ordre ^ qui aurumt toutes leurs centres situés sur un plan unique , lequel passera par la droite qui unit les sommets des deux cônes envelappani deux à deux les courbes données G' et G".
5. Si les plans des deux courbes G' et G" étaient parallèles, alors leur intersection L',, serait située à T infini , et dans ce cas les centres des surfaces du second ordre 2, 2'^ l'\ etc.^ qui enveloppent deux à deux les deux courbes G' et C" données, seront tous situés sur la droite ss* qui unit les sommets des deux cônes
qui enveloppent ces courbes G' et G".
Et en effet :
Il est évident, par ce qui précède , que daas oe cas tout particulier je pourrai construire une infinité de cylindres tangents à la surface 2, dont les féaér«trices droites seront parallèles ft la fois et au plan de b courbe G' et au plan de la courbe G". II est encore évident que les plans des courbes de contact de tous ces cylin*dres et4le la sur&ce 2 passeront par la droite 9$'y laquelle passera par les centres des courbes G' et C.
Je puis donc énoncer le théorème sujvant :
Par deux Mectiom parallèles C et G" d'une surface de second ordre ( lesquelles sections sont deux courbes semblables et semblablement placées )> Con peui faire passer une infinité de surfaces du second ordre qui auront toutes leurs centres situés sur une droite unique , qui ne sera autre que celle qui unit les sommets des deux cônes enve* loppant deux à deux les courbes données C et G".
6. Étant données trois sections planes G\ G", G''' d'une surface du second ordre 2, il est facile de construire leoeaire de celte surftioe 1.
Et en effet : .
Se rappelant que les plans P', P", P'" de ces trois courbes C\ C\ C" se eou pant en un point p, je mènerai à cliacune des deux courbes C' et C" deux tangentes parallèles à la droite h\, intersection des plans P' ^ P"; les quatre points de contact seront sur un plan diamétral D'„ de la surface £.
J'obtiendrai de la même manière par rapport aux courbes G" et G'" le pian D"^ et par rapport aux courbes G' et G'" le plan O',,,.
Les trois plans diamétraux D',„, D"„,, D',,, se couperont en un point qui sera le centre de la surface 2.
Si les trois plans D',„ D'„„ D"„, se coupent suivant une seule droite ou suivant trois droites parallèles entre elles, alors la surfece 2 sera l'un des deux porafrolotdes elliptique ou hy.perbolique.
7. Étaat donnée «ne surface du second ordre 2 et une section plane G de cette surface 2 et le sommet p d'un cdoe A tan^OBt à la surfooe 2 suivant la ^mirbe G, j'inscris un triangle arbitraire abc dans la courbe G, et je construis les trois génératrices droites 4f), Ap, ^p du o6ne A, aboiilîssant aux sommets a, S^ c du triangle.
Gela fait :
Je construis V dans le plan {b, a^p) une section conique C\ tangente à Ja
fois à la droite ap au point a , et à- la droite 6p au point 6 ; et je pourrai construire une infinité de courbes telles que C» et ainsi C',, C'., C',, etc.
2* Dans le plan ( bjC,p) une section conique G" tangente à la fois à la droite bp au point 6 et à la droite cp au point c ; et je pourrai construire une io&nité de courbes telles que C", et ainsi G",, C., C"„ etc.
3* Dans le plan ( a^ c^ p) une section conique G'" tangente à la fois à la droite ap au point a et à la droite cp au point c; et je pourrai construire une infinité de courbes telles que G'", et ainsi G'". , G'"„ G"', etc.
Gela posé :
l"" On sah que les trois couii>es C, C", G'", ayant deux à deux une tangente commune, seront enveloppées deux à deux par trois surfaces coniques A',,,
Mais :
3* 0& saMt encore que brsqoe trois sections coniques sont enveloppées deux à deux par trois cônes dont les sommets sont en ligne droite, ces trois sections coniques sont (ûluées soir one surface du second ordre et déterminent une seule surface du second ordre.
Gela posé :
Désignant i"" pat a , a' les points sueeessifs el infiniment voisins qui donnent l'élément reetiligne aa\ contact des deux courbes G' et G'" ;
2* Par 6, b' les points successifs et infiniment voisins qui donnent Télément reetiligne bb\ contact des deux courbes G' ef G" ;
3* Par c,c' les points successifs et infiniment voisins qui donnent Télément reetiliffne ce\ contact des deux courbes G" et G"^.
On a déjà six points a, a', b^ b\ c, c' de la surface du second ordre 2.
Or : on conn^M d^ quatre points {0, a\ b, b') de la courbe G' et quatre points ( *, é', c, e' ) de la oaurhe G" , et quatre points ( *, é', c^ {/)ieh courbe C'"; un cinfuièipe pcônt x' de la courbe C, x" de la courbe C" et x'" de la courbe G'", détermÎMra done diaeune d'elles.
Par eonséquent tes neuf points ( a , e', ^ , 6', e, c\ x', x'\ x'*' ) détermineront une surface du second ordre (et une seule surface du second ordre), si les trois aeclions coniques C\ C, G'", tangentes deux à deux , satisfont, quoique arbîtraireoMem tracées , ja )a pondilk^n d*ètre enveloppées deux à deux par trois cônes dont les sommets seront en ligne droite.
8. El connie Toa ppul oeimdérer n<w-seuiement les courbes G', C", G'", mais toutttleaceiurbesC'., G'., C'3, etc., et G",, G"., G",, etc., elG'^, G'"., G'\, été./ el combiner entre elles trois de ces courbes , en en prenant une dans chacune de cesirck séries, on peut énoncer les deux théorèmes suivants.
Deux surfaces du second ordre 1 et il ont toujours pour ligne de contact une courbe du second degré.
Par une section plane G dlune surface du second ordre 2 1 Con peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre 2', 1", etc. y tangentes entre elles et à la surface 2, suivant cette courbe G .
9. Deux surfaces du second ordre tangentes entre elles suivant une courbe piane, doivent ( rigoureusement ) être considérées comme se coupant suivant deux courbes du second degré, dont les plans sont infiniment voisins et parallèles entre eux.
En vertu de cette considération infinitésimale et de tout ce qui précède, on peut énoncer ce qui suit :
Étant donnée une surface du second ordre 2 et une droite L arbitrairement située dans l'espace par rapport à la surfaoe 2; si par cette droite L je fais passer une infinité de plans sécants, donnant pour sections dans la surface 2, les sections coniques a, a', a\ etc.
Désignant par R la polaire réciproque de la droite L :
l"" Toutes les surfaces du second ordre, tangentes entre elles et à la surface 2, suivant l'une des courbes a, a\ a\ etc., auront leurs centres situés sur un plan unique passant par la droite R; '
2* Toutes les surfaces du second ordre, tangentes entre elles et à la surface 2 , suivant une courbe a, auront ainsi que la surface 1, leurs centres situés sur une droite D passant par le centre de la courbe a et le sommet p du cône A tangent à la surface 2 suivant la courbe plane a ; ou en d'autres termes : sur la droite D , passant par le centre de la courbe a et le pôle p de la surface 2 par rapport au plan polaire P qui n'est autre que celui de la courbe a.
Ainsi : toutes les surfaces du second ordre tangentes entre elles et à la surface 2 suivant une section conique a, auront toutes même pôle p et même plan polaire 9.
3* Toutes les surfaces du second ordre passant par deux quelconques des courbes ai a', a\ etc., auront leurs centres situés sur un plan unique passant par la droite R.
Si les plans des courbes a, a y a\ etc., sont parallèles entre eux (et si dès lors
la droite L est située tout entière à l'infini ) la droite R deviendra un diamètre de la surface 2.
4* Toutes les surfaces du second ordre passant par deux sections parallèles a et a de la surface! auront leurs centres situés sur le diamètre R de la surface 2, lequel unit les centres des courbes a et a .
5"" Toutes les surfaces du second ordre tangentes l'une à l'autre par une section conique (X d'une surface du 2' ordre 2» auront leurs centres situés sur un diamètre R de cette suriUce 2, passant par le centre de la courbe de contact a.
Ètani données trois droites A, B, C, sur un plan, ton detnande le lieu des pôles des divers cercles tangents à la droite B, aytmt leurs centres sur la droite ky et ayant la droite C pour polaire commune (*)•
Je désigne par a l'angle que font entre elles les droites B et A , et par g l'angle que font entre elles les droites C et C.
Par un point p, pris arbitrairement sur la droite A, je mène pm, perpendiculaire à la droite B, et pq perpendiculaire à la droite C (fig. 1 ).
Du poipt p, comme centre et avec un rayon z:=:.pm y je décris le cercle y, qui sera un des cercles ayant leurs centres sur la droite A et ayant la droite B pour tangente commune.
Du point q^ je mène la droite qn tangente au cercle y, et du point n, j'abaisse la perpendiculaire nr sur pq.
Le point r sera le pôle du cercle y, par rapport à la polaire C.
Le point 0, intersection des droites A et C, sera pris pour origine des coordonnées, et les deux droites A et OQ, perpendiculaire à la droite C, pour ^es des coordonnées obliques ; la droite A étant l'axe des x et la droite OQ étant celui des y.
Dans le triangle rectangle pnq^ l'on a :
prxpq=jn
(*) Extrait de la GorreipQiidAnoe matfaématiqaa et physique det Payf-Bas , publiée par M. Qnetelet , ▼cd. rv, n* 2, année 182S.
Dana le triangle raetaftgle pqO , l'on a :
pq=zpO,An€
ençuile
pfi ssr/Hfi =pOf. sina =s {pO-^ OO) sin x 0(y s- une quantité oonâtante h
Les coordonnées do point r seront prisz^ et pOr=ra;. Nous obtiendrons dés lors Féquation :
xy={x + b)\
8in€
qui appartient à une section conique, rapportée à des axes obliques.
1* Sans discuter cette équation, il est fecile de reconnaître qu'elle est celle d'une hyperbole ayant pour asymptote la droite OQ.
Et en effet , si do point 0» comme centre, l'on décrit un cercle y tangent à la droite B, la droite G sera un diamètre de ce cercle et aura par conséquent son ^le situé i l'infini sur la droite OQ.
2^ Si la droite B est parallèle à la droite C , alors l'angle «^rFangleS, et Téquation devient a:y= {x + by sin a.
9* Si la droite B passe par le point 0 , c'est-à-dire , si les trois droites A ^ B , C
se coupent au même point 0; dés lors ^=:=0> et l'équation devient y=x -r-^ ,
qui appartient à une ligne droite passant par le point O.
4* Si l'on prend le point 0' pour origine des coordonnées au lieu do point 0 , et que l'on suppose que la droile G soit parallèle à la droite A y alors pq est une quantité constante =a^ et l'on a :
|)r = ^— , et pf»=:pm = pO'8iiis
MM
d'oà yss ; équation d'une parabole rapportée à des axes rectangulaires.
S"" 4Si la droite B est parallèle à la droite A , alors Tangle a est nul , et l'on a :
pr =^9 pn 3s une quantité confUnte r ^ et pg =|iO. Bin6
par conséquent, l'équation devient a;j/ = -r-g, et appartient à une hyperbole rapportée à ses asymptotes OA et OQ.
6* Si les trois droites A, B, C sont parallèles entre elles, alors pr ^ss une quan-
tiié constante, et fe lieu deB pôles «t une droite parallèle aux trois droites données. T Si la droite Best perpendiculaire à la droite A , supposant l'origine des coordonnées en O 9 alors
l'équation devient dans ce cas ity:= . « .
8* Si en «aètne temps la droite G deyient parallèle à la droite A , l'angle €=0,
pq (est alors constant) =: a, «t Téquation ^▼iént y =g*
équation d'une parabole rapportée à des axes rectangulaires, et dont le sommet est au point Ô'.
IL Étant données deux surfaces développables D'et D"^ je suppose que le centre d'une sphère S , variable de position et de rayon suivaxU une loiidonnée , se meut sur une génératrice K' de la surface D'.
Les pôles de la surface S , dans une de ses positions, par rapport aux divers plans tangents de la surface D'\ formeront une courbe y.
Les pôles de la surface S , dans une posiiîoo infiniment voisine de la précédente, par rapport aux divers plans tangents de la surface D", formeront une courbe y.
Et la série des courbes y , y, etc., formera une surface G.
Si je suppose que le centre de la sphère S se meut sur une génératrice K" de la surface D", infiniment voisine de la génératrice K'; la sphère S étant variable de posilioin etdeira^fi suiwantk mâme loi qoe pnécédemment :
Les pàfe» de la sphène S , daas ees divenaes positions^ pèJt rapport aux plans tangents de la «Ur&ce D'', formeront une suifaeeiG' ^
Et les surfaces G , G', etc. , seront les enveloppées d'une surface enveloppe £.
La surface E contiendra les pôles de la sphère S, dans les diverses positions de son centre sur la siurfaee D^, par rapport à la surlàee D*".
De ce <fiî précède, t'on peut déduire les théorèmes -suivants :
i^ Ayant deux cAnes droits G et C\ normaux entre eux, c'est-à-dire, tels que la génératrice de l'un soit normale à Tautre ; toutes les sphères de rayons constant R, ayant leuirs •centres 'Sur le cône C , auront ieure pSies, par rapporté la surface conique G', sur un hyperboloide à une nappe et de rotation , et ayant le cône C pour surface asymptotique ;
2' Toutes les sphères ayant leurs centres sur un plan P , et tangentes à une
surface conique droite , dont le sommet est sur le plan P et dont l'axe A est perpendiculaire à ce plan , auront leurs pdle$ , par rapport à un plan R parallèle au plan P, sur un paraboioide elliptique, ayant pour axe de révolution la droite A ;
S"" Toutes les sphères ayant leurs centres sur un plan P et passant par un point r, situé sur le plan P, auront leurs pôles , par rapport à un plan R parallèle au plan Py sur un paraboioide elliptique , ayant pour axe de révolution une droite perpendiculaire au plan P, et passant par le point r ; .
4"" Si Ton a trois cônes droits G, G', G", ayant même sommet a et même axe A , toutes les sphères tangentes au cône G' et ayant leurs centres sur le cône G , auront leurs pôtes^ par rapport à la surface conique G, sur un quatrième cône droit, ayant son sommet en a et pour axe la droite A.
L'un quelconque des cônes G , G', G" peut être une surface plane , et la surface , lieu des pôles , sera toujours un cône droit ;
5* Si l'on a deux cônes droits G\ G", ayant même sommet a et même axe 'A , toutes les sphères tangentes au cône G', et dont les pôles j par rapport à la surface conique G", seront sur un plan passant par le point a et perpendiculaire à la droite A, auront leurs centres sur un troisième cône droit, ayant son sommet en a et pour axe la droite A.
Sur les propriétés des htberboles et des paraboles considérées comme
ÉTANF LE LIEU DES PÔLES d'uN CERCLE MOBILE ET VARIABLE DE RAYON, ASSU- JETTI A PASSER PAR UN POINT FIXE, ET DONT LE CENTRE SE MEUT EN LIGNE DROITE (*).
Etant donnés un cercle y et deux droites A et B, situés sur un plan ; trouver la courbe , lieu des pôles d^un cercle mobile d, dont le centre se meut sur la droite B ; le cercle 8 étant, dans ses diverses positions , taugent au cercle y et ayant la droite A pour polaire commune.
I. Par le centre o'du cercle y, je m:}ne la droite o'G perpendiculaire à la droite
{*) Extrait de la Coiretpondance mathëmatiqae et physique des Pays-Bai , publiée par M. Qaetelet , n« 1, tome V, 1829*
A. Le point o en lequel se coupent les droites A et o'C, sera l'origine des coordonnées; h droite A sera Taxe des y et la droite oC sera celui des x {fig. 2).
Par le centre o" du cercle mobile d» je mène la droite o"M parallèle à la droite oC; ensuite, menant du point M une tangente Mn au cercle d, et abaissant du point de contact n sur la droite Mo" la perpendiculaire wp, le point p sera le pôle de la droite A par rapport au cercle d.
Ce point p sera donc un des points de la courbe cherchée. . Les coordonnées du point p seront pp' et ap'. Le triangle rectangle o"Mn, donne : .
- o"n^o"Hxo"p (I)
Mais
Joignant les centres des cercles 3 et y, et désignant par R le rayon du cercle y l'on aura : . '^*
ô^=ô'^=:ÔV— R Le triangle rectangle o'o"N donne, en désignant par a la distance : ^,
Substituant dans l'équation (1) les valeurs de o'ti et de o"N, l'on aura :
LV »*+(«— a+©";»)'Rj'=P^(a,+'^>
Les deux triangles rectangles o"pg et CNo" donnent, en désignant par m la tangente trigonométrique de l'angle « et par * la distance 7c.
? - = S a: ft+g— g-^
'^ 'pg »
d'où l'on tire :
valeur qui, substituée dans l'équatiod (2), donne :
équation qui sera celle de la courbe lieu des pâles. 2. Si l'on suppose que R = o , c'est-à-dire , que le cercle mobile d passe
dans ses diverses, positions, par le point fixe o\ l'équation (3), se réduit à:
y*— mopy + 2aftiy-f (a+6)a:— («"+2«fc) « o (4)
équation qui appartient à une section conique.
On peut démontrer que cette équation est celle d'une hyperbole, sans avoir besoin de la discuter; il suffit pour cela de faire voir que la droite CD parallèle à la droite oC et passant par le point où les deux droites À et B se coupent , est une asymptote.
Et, en effet , si du point C, intersection des deux droites A et B, comme centre, je décris un cercle 3 avec le rayon Co\ la droite A sera un diamètre de d' et son pôle par rapport à ce cercle d' sera situé à T infini sur la droite CD.
Si je prends sur la droite B et à part^ du point C, une suite de points A, h', h"j etc, qui s'éloignent successivement du point C, et si je décris des cercles ayant respectivement ces points pour centres et ayant respectivement pour rayons les droites ho^ lildy h!W, etc., la droite A deviendra pour chaque position du cercle mobile , une corde qui s'éloignera de plus en plus du centre du cercle mobile à mesure que ce centre s'éloignera du point C, et le pôle de la droite A, par rapport au cercle mobile, se rapprochera, au contraire, de plus en plus de la droite A.
Ainsi, en supposant que l'origine des coordonné^ fût transportée au point C» l'on voit que les ordonnées croissent à mesure que les abscisses diminuent; e^ Ton voit aussi que lorsque l'abscisse est infinie, Tordonnée est nulle ; tandis que lorsque l'abscisse est nulle, l'ordonnée est une ligne finie, et correspondant aux deux points q et q' situés sur la droite A ; ces points q et q' sont tels que l'on a : qk" = h"'o et q'h!^z=Ji'^o , et ainsi ils correspondent aux deux points ou le cercle mobile est tangent i la pobàre commune A.
Ainsi la ligne CD est une asymptote de la section conique représentée par réquation (4), donc, etc.
Cela posé :
Il est facile de démontrer que la droite B est perpendiculaire à la seconde asymptote de la courbe lieu des pôles , et que par conséquent Tangle a est précisément égal à celui que les deux asymptotes comprennent entre elles.
En effet , si par le point o je mène la droite o'G , parallèle à la droite B , et la droite o'H perpendiculaire à la même droite B, cette dernière droite o'H sera précisément le cercle mobile, dont le centre est situé à l'infini sur la droite B.
Le pôle du cercle o'H de rayon infini, pris par rapport à la polaire A, sera évidemment situé sur la droite oH et à l'infini ; car, pour déterminer ce pôle^ il faudrait du point q", intersection du cercle o'H de rayon infini et de la poUnre A,
mener une tangente à ce cercle^ et cette tdogeate , qui n'est autre que la droite o'H , irait couper la droite perpendiculaire à la droiie À et menée par ie centre du cercle a'H (lequel centre est situé à l'infini sur ta droite B) ea un point qui serait le pôle demandé.
La droite o'H sera donc parallèle à la seconde asymptote; donc, etc.
3. Si Ton suppose quea=sO, alors le point fixe est situé sur la polaire commune Al.
Par cette supposition, l'équation (4) se réduit ii :
y*— mâpy4-to=0 (5)
L'équation (5) nous montre que dans ce cas le point fixe est situé sur la courbe lieu des pôles.
On peut démontrer comme précédemment :
l"" La droite^ qui passe par le point d'intersection des deux droites A et B et qui est perpendiculaire à la polaire commune A*^ est une asymptote de la courbe lieu des pôles.
2'* L'angle <x, compris entre les deux droites A et B, est précisément celui que font entre elles les deux asymptotes de la courbe lieu des pâles. ,
Ainsi l'équation (5) est celle d'une hyperbole.
Il est facile de démontrer que^ dans ce cas, la polaire A est une tangente à la courbe lieu des pôles.
En effet {fig. 2 bis) y si du point fixe o on abaisse une perpendiculaire oH sur la droite B, le cercle qui aura pour centre le point H et pour rayon la droite oH sera tangent à la polaire A au point o ; et tous les cercles qui ayant leurs centres sur la droite B passeront par le point fixe o, couperont la droite A ; par conséquent , les pôles' des diirerses positions du cercle mobile , par rapport à la polaire A,
seront situés dans Tangle AG'D ou dans Tangle A'C'D' ; et il est évident que le point o sera le seul pôle situé sur la droite A ; donc , etc. Ce qui précède conduit à la^ution des problèmes suivants:
i*' PROBLÈME.
Construire une hyperbole ay(mi pour asymptote une droite CD, ayant pour tangente en un point o une droite A perpendiculaire à tasymptote CD, et passant de plus par
un point p' situé dans l'angle AG'D ou par un point p'^ situé dans t angle opposé par le
sommet AX/ÏÎ.
Solution. — On construira le triangle oh'p ou oh'^^ rectangle en o et ayant son hypothénuse parallèle à l'asymptote donnée CD*
On joindra le point G' (intersection de la droite donnée À et de l'asynrptote donnée CD ) avec le point A' ou h\ et la droite G'B sera la ligne des centrés du cercle mobile.
Cela posé :
Si du point o, Ton mène les droites oh^ oh\ oh", etc., et leurs perpendiculaires op, op\ op\ etc., la droite Ap, parallèle à la droite G'D, coupera la droite op en un point p qui appartiendra à V hyperbole demandée.
Les points p\ p'; p\ etc. (obtenus par une construction semblable ) seront situés sur la même courbe.
Construire une hyperbole passant par deux points p et p', situés du même côté , ou p et p'^ situés de côtés différents par rapport à la droite donnée A ; ayant pour tangente en un pmnt o cette même droite A ; et ayant pour asymptote une droite perpendiculaire à la droite A.
Solution. — On construira les deux triangles oh'p' et ohp, ou oh'p et oh'y\ rectangles en o et ayant leurs hypothénuses perpendiculaires à la droite donnée A.
Gela fait :
On joindra les points h et h\ ou h' et7t'% et Ton aura la droite BB', ligne des centres du cercle mobile, laquelle coupera la droite donnée A au point G'.
Gela fait :
Menant par le point G' la droite G'D perpendiculaire à la droite A , l'on aqra l'asymptote de la courbe cherchée. (Les divers points de V hyperbole j lieu des pôles 9 s'obtiendront par la construction ci-dessus indiquée au Problème V. )
Je me contenterai d'énoncer les deux problèmes suivants :
Construire une hyperbole ayant pour tangente en un point o une droite donnée A ; ayant pour asymptote une droite donnée G'D, perpendiculaire à la droite A ; et dont les asymptotes comprennent entre elles un angle donné a plus petit quun angle droit.
Construire une hyperbole assujettie à passer par un point p' ; ayant pour tangente en un point o une droite A donnée de position; ayant pour lune de ses asymptotes une per-
pendiculaire à la droite kf et les astfmptotes comprenant entre elles un angle donné a , plus petit quun angle droit.
4. Si ToQ suppose (ji^. 2) que 6=0, alors réquation (4) se réduit à :
y* — mxy -f- Smay + a ( ap — a ) = 0
La droite B , ligne des centres du cercle mobile , passe alors par le point fixe. Si Ton transporte Torigine des coordonnées en ce point fixe, en faisant : X ^=:x — a y réquation de la courbe lieu des pôles y deviendra :
y* — mx'y -|- may + aa?' = 0
Ainsi cette courbe passe par le point fixe.
Il est facile de démontrer que, dans ce cas, la droite B est tangente à la courbe lieu des pâles ( qui est toujours une hyperbole ) et que le point de contact n'est autre que le point fixé.
Et en effet : à mesure que le centre du cercle mobile se rapprochera du point fixe, le rayon de ce cercle diminuera de grandeur, et son pôle par rapport à la polaire A, se rapprochera de la droite B ; de plus, lorsque le rayon du cercle mobile sera nul ( ou égal à zéro ), le pôle et le centre de ce cercle mobile se confondront en un seul et même point , qui ne sera autre que le point fixe.
Ensuite : Si Ton considère deux positions du cercle mobile ( que je désignerai par $' et S" ) ; le centre du cercle d' étant sur la droite B, à droite du point fixe, et celui du cercle d" étant aussi sur la droite B, mais à gauche du point fixe), il est évident que le pôle du cercle d' et celui du cercle d", par rapport à la polaire A, seront placés du même côté, par rapport à la droite B, et ne pourront être situés sur cette droite B, qu'autant que le cercle mobile aurait un rayon nul; donc, etc.
Cela posé :
Remarquons : l"" que le mode employé pour la construction des points de la courbe lieu des pôles j montre que quelle que soit la position du point fixe par rapport aux droites A et B , cette courbe ne peut jamais couper la droite B, lieu des centres des cercles mobiles.
S"* Que tant que le point fixe.n'est pas situé sur la droite B, il existe toujours un second point fixe par lequel passent les diverses positions du cercle mobile ( ces deux points fixes étant situés sur une droite perpendiculaire à la droite B, l'un à droite et l'autre à gauche de cette droite B et également distants de cette droite B).
En vertu de ce qui précède , Ton peut très-faeilement résoudre les problèmes suivants, dont jeme contenterai de donner ies énoncés.
* Étant donné» m angle obtus BG'D {fig. 2 bis) et sur l'm des côtés C^ un point h'; construire une htfperbole tangente à ta droite C'B au point W et ayant ta droite CD pour asytnptote.
r PROBLÈME.
Étant donnés un angle obtus BC'D (fig. 2 bis), un p(nni p arbitraire et un point h' situé sur te côté C'B; construire une hyperbole passant par le point p, étant tangente à la droite BC au point h', et ayant fune de ses asytnpttkes paraUète à la droke DG\
Faisons remarquer :
1* Que la construction de V hyperbole (2* problème) ne sera possible qu'autant que la portion ph delà droite parallèle à la droite CD sera : >ou = M';
2' Que dans les deux problèmes précédents^ Tangie des deux asymptotes de Yhyiperbole est implicitement donné , car il est égal au complément de Tangle ob*
tus BC'D qui est donné.
5. Si je suppose {fig. 2) que les deux droites A et B sont parallèles, alors Tangle a étant nul 9 la tangente trigonométrique m sera égala zéro; faisant donc m =z 0 dans Téquation (4) on a :
y«4.(a + 6)«— a(a+a6)=rO (7)
équation qui appartient à une parabole.
