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66. Il est utile de faire , touchant la construction de la courbe d'erreur qui sert à déterminer le centre de courbure d'une courbe donnée , diverses remarques , qui nous conduiront à la solution de plusieurs nouveaux problèmes.

1* Si la courbe donnée 9 {fig. 67 ) est très-bombée près du point m, pour le* quel on cherche le rayon de courbure , on pourra déterminer avec plus d'exactitude , sous le point de vue graphique , les divers points de la courbe d'erreur ; tandis que, si la courbe cp était trés-aplatie au point m, outre les inexactitudes qui pourraient altérer la position graphique des divers points de la courbe d'erreur, le rayon de courbure p pourrait être si grand, que l'on ne pourrait construire sur Le papier la courbe d'erreur. En effet :

Plus la courbe f sera bombée vers le point m , plus les cordes mp , tnp', etc., quoique ayant des longueurs peu différentes entre elles, feront des angles diffé-, rents en grandeur avec la normale N au point m.

Dès lors : l*" Les points a, a', etc., de la courbe d'erreur seront d'autant plus rapprochés entre eux, puisque les perpendiculaires </a, ^a^etc, seront respectivement égales aux cordes mp^mp, etc. ; et ¥ il sera d'autant plus possible de prendre une cordemp assez petite, et telle cependant que l'angle pmq soit assez grand pour que la droite 69, perpendiculaire sur le milieu de la corde tnp , fasse avec la normale * N un angle bqm qui soit aussi lui-même assez grand pour que le point q se trouve déterminé d'une manière exacte, quoique ce point soit donné par l'intersection de deux droites se coupant sous on angle aigu.

{Fig. 68) Faisant une application de <^tte remarque au problème qui nous occupe, construire la tangente en un point dune courbe dont l'équation est inconnue; nous voyons qu'il peut arriver : que le rectangle ocfrd , formé par l'intersection des génératrices extrêmes des deux cylindres, soit tel, que le petit côté oc, diamètre du cercle section droite du premier cylindre , soit beaucoup plus

petit que le grand côté ad, qui serait l'axe de la section droite 9 du second cylindre.

Alors cette courbe 9 pourrait être trés-aplatie au point culminant n.

Pour que la construction delà courbe d'erreur soit plus exacte, il faut donc s'arranger de manière à ce que ce soit le grand côté du rectangle qui se trouve le diamètre du cercle base du premier cylindre; et que la différence entre les deux côtés du rectangle soit la plus grande possible, pour que la courbe 0, section droite du second cylindre , se trouve la plus bombée possible vers le ■

point culminant n.

67. 2* Si l'on ne pouvait , par l'emploi de deux cylindres, obtenir une courbes assez bombée , il faudrait substituer au second cylindre une surface conoïde , et exécuter la construction suivante.

(Fig. 68.) Prendre un point P et le considérer comme le pied d'une verticale qui serait la directrice droite d'un conoide^ ayant le plan horizontal pour plan directeur y et pour seconde directrice la courbe à double courbure située sur te cylindre à base circulaire ; puis déterminer la courbe 9' section de ce conoide par le plan ' vertical passant par l'axe D du cylindre à base circulaire.

Remarquons que , l'axe D coupant la courbe 9, la courbe 9' sera d'un côté comprise entre la courbe 0 et la normale N, et de l'autre côté au contraire ce sera la courbe 9 qui sera comprise entre la courbe 9' et la normale N.

Il est évident que la branche de la courbe 9' la plus rapprochée de la normale N sera plus bombée près du point culminant n que l'une ou l'autre branche de la courbe 9; tandis que l'autre branche de la courbe 9' sera au contraire plus aplatie.

{Fig. 69.) Il est encore évident que , puisque la courbe d'erreur doit couper à angle droit la normale N , l'on pourra substituer à la branche de la courbe 9' la plus éloignée de la normale, une branche égale et symétrique à celle qui se trouve la plus rapprochée; et#on aura dès lors une courbe d'erreur syméirique par rapport à la normale N , et qui servira à déterminer le centre de courbure cherché.

L'exactitude de cette construction est hors de doute, puisqu'elle revient à supposer que la courbe 9' tourne autour de la normale N , pour prendre la position inverse et symétrique B", et que les courbes d erreur, e donnée par la courbe B\ et t' donnée par la courbe 9", auront même tangente au point &>, en lequel elles coupent la normale N , puisqu'elles la coupent Tune et l'autre à angle droit.

Ayant déterminé le rayon de courbure p de la courbe 9\ Ton achèvera la construction comme dans le cas où Ton employait deux cylindres, puisque la génératrice culniinante du conoide se trouve, en vertu de la génération particulière de cette surface , une ligne de courbure (voir les articles 22 et 23).

68. 3^ On peut encore remarquer que, plus la courbe derreur approchera

de la ligne droite^ plus la détermination du centre ée courbure ti) sera nacte. Pour que cela soit, il faut que la courbe 9 ou 0' approche leiplus^possible de la fornne circulaire près du point culminant n» et dans une étendue suffisamment grande pour permettre de construire un' arc assez grand delà courbe d'erreur.

On devra donc » soit que l'on emploie deux cylindres , soit que l'on emploie un , cylindre et un conoide , disposer les axes de ces cylindres et le point Pde manière à obtenir une courbe 9 ou B\ dont la forme approche de celle d'un arc de cercle , si faire se peut»

69. 4* Cependant il peut arriver que la forme de la eourbe à laquelle on veut construire la tangente ne permette pas d'obtenir les résultats graphiques auxquels on a été conduit, par les considérations précédentes, et qu'ainsi l'on ne prisse pas parvenir à tracer une courbe, section droite du second cylindre ou section du conoîde, dont Tune des branches soit assez bombée, ou qui offre une forme approchant de celle du cercle dans une étendue suffisante pour assurer l'exactitude graphique des divers points de la courbe d'erreur.

Nous sommes alors conduits à remarquer que^ si, au lieu de supposer que les perpendiculaires à la no rmaleN, savoir : qa, q'a!jeic.{fig. 67), sont égales respectivement aux cordes mp, wfi\ etc. , de la courbe 9, on suppose qu'elles sont à ces

cordes dans le rapport -- , l'on obtiendra, pour chacune des valeurs que l'on

attribuera à fii et ^, une nouvelle courbe d'erreur; et que Ton aura ainsi une série de courbes, qui toutes couperont à angle droit la normale N, et qui toutes la couperont au même point o), centre de courbure cherché.

Ainsi désignant par y une perpendiculaire m; à la normale N on une ordonnée de la courbe d'erreur ( les abscisses étant compt^ sur cette normale N), par / une corde ap de la courbe (f, l'on aura :

y : / :: f* : X Pour simplifier les calculs l'on poui^ra supposer que A = 1 , et l'on aura :

Supposant que (^ est un nombre entier, l'on voit que, plus |k sera grand, plus la courbed'erreur s'approchera d'une ligne droite , perpendiculaire à la normale N et passant par le point a>, centre de courbure cherché.

Considérant deux cordes ayant leurs longueurs désignées par ^, t" {figi 67 ); déterminant les points a ^ a', en lesquels la normale N est rencontrée par les perpendiculaires élevées sur le milieu.de ces condes; désignant par x\ x"y les abscisses na et na'; et par (ui/'et fil" y les ordonnées de la courbe d'erreur tsorrespon-

dantes aux abscisses. a:' et x'\ Tcm pourra supposer que la courbe d'erreur est une parabole (^) du second degré , dont Téquation sera , en désignant par p la distance du point n à son sommet :

on aura donc les deux équations de condition :

fAT = A(a/ — p) et f*T"=:A(a?" — p) ou :

IL — ^'~p r "^ x'^ — p

équation qui donne pour la \aleur de p ou du rayon de-courbure :

afp— xT

Mais remarquant que réquation (1) est indépendante de |ex, Ton en conclura : que toutes les paraboles du second ordre, qui remplaceraient les diverses courbes d'erreur obtenues par les diverses valeurs attribuées k pi, couperont toutes la normale N au même point. Par conséquent l'équation (i) donnera une valeur d'autant plus exacte pour p , que {x — x" ) sera plus petit et que ( /' — /" ) sera plus grand ; puisque par là la parabole approchera le plus possible de la ligne droite. On devra donc chercher dans la courbe donnée cp deux cordes /' et T telles , que cette double condition soit satisfaite.

^ 70. Si l'on voulait obtenir pour p une valeur plus exacte , il faudrait employer la courbe d'interpolation dont l'équation est :

a; = 0 + Ay 4- By* + Cy' + Dy^ + etc.

dans laquelle A , B, G, D, etc.^ sont des coefficients que l'on doit déterminer au moyen des coordonnées des divers points par lesquels la courbe est assujettie à passer, et dans laquelle p sera l'abscisse du point en lequel la courbe coupe l'axe des abscisses ou la normale ^l.

La courbe d'interpolation devra couper l'axe des abscisses normalement^ puisqu'elle remplace la courbe d'erreur qui satisfait à cette condition. Ainsi il faudra que l'on ait :

' . • dx

= 0 pour y = 0

dy

n Je remplace la courbe d'erreur par nue parabole du second ordre , parce que la parabole ( en faÎMnt ▼arier son paramètre ). peu» dégénérer en une ligne droite perpendiculaire à Taxe des abscisses.

Difiërentiaiit l'équaiion de la courbe d'interpolation, on trouve :

^=A + 2By + 3Cy' + etc.

dm expression qui se réduit à ^= A pour {^ = 0, donc A=:0.

Ainsi Téquation de ia courbe d'interpolation, que l'on devra substituer à la courbe d'erreur, sera :

(2) ^ = p + W + Cy* + Dy* + etc.

La valeur de p sera d'autant plus approchée , que Ton prendra un pluB grand nombre de coefficients B, G^ D, etc. Si Ton se borne à un seul, on aura pour Péquation de la courbe d'interpolation :

Ce qui justifie l'emploi de la parabole du second ordre, que j'ai proposé précédemment et â priori.

Prenantdoncunesériedecordesdont je désigne les longueurs par /', /", /"', etc., dans la courbe donnée cp, on substituera dans Téquation (2), pour o: et j/, les valeurs V et (xf , x" et |ut/", x"' et fxf", etc. ; on déterminera les coefficients arbitraires B, G, D, etc., et enfin l'on obtiendra p en fonction des abscisseso;',^'', a;'", etc., et des cordes /', /", T', etc.

La valeur dep sera d'autant plus exacte, que Ton aura employé un plus grand nombre de cordes et d'abscisses correspondantes; mais dans la plupart des cas l'emploi de la parabole du second degré suffira.

Si l'on prend une courbe d'interpolation du troisième degré, dont l'équation est :

X + p + By' + Cy»

l'on emploiera trois cordes /', T, /'", l'on déterminera les trois abscisses x, x\ a;'", et les trois équations :^

ar' = p + BptT + Cf»»P a;"' = p + BptV" + Cpt^r^ serviront à d terminer la valeur du rayon de courbure p, qui sera :

^r. p f {^-^'') jv'-i "')-{x'-x"KP^n I ,, ( ra?'- x") {r--m-(oif-^") ( l'-n \

71. Remarquons que la valeur de p esl indépendante de fi , comme dans le cas où Ton n'employait qu'une parabole du second ordre; la valeur dep sera toujours indépendante de ^, quel que soit le degré de Téquation de la courbe d'interpolation que l'on voudra substituer à la courbe d'erreur.

Il serait long et pénible <Ie construire graphiquement l'expression analytique dep;d'ailleursle grand nombre d'opérations graphiques par lesquelles il Faudrait passer pour arriver enfin à la valeur linéaire de p, altéreraient nécessairement et d'une manière notable la longueur de ce rayon de courbure.

Il sera donc préférable de calculer p, au lieu de le construire graphiquement. Pour cela on fera une échelle arbitraire, mais telle cependant que l'on puisse avoir des fractions assez petites de l'unité linéaire employée; ainsi on prendra, par exemple» un double décimètre; l'uniié étant le millimètre.

On prendra à cette échelle les longueurs des trois abscisses â;', x"fx"\ et des trois cordes l\ t\ l'\ en millimètres et parties de millimètre (dixièmes de millimètre, par exemple).

On substituera les nombres obtenus dans l'expression analytique de p , et efTectuant les calculs, on aura un nombre qui exprimera la Iongueur.de p en millimètres et dixièmes de millimètre.

On portera cette longueur sur la normale N, et Ton aura le point co centre de courbure cherché.