S VII

Ce qui précède nous permet de résoudre les deux problèmes suivants :

72. Étant donnée une courbe ayant un point d'arrêt ou un point de rebroussement , consirtHre la tangente en ce point , ne connaissant d'ailleurs aucune des propriétés géométriques de la courbe , en d^autres termes , son équation étant inconnue.

Solution. Soit donnée une courbe cp ayant un point d'arrêt en m. Si l'on suppose que la tangente en ce point soit mt, on pourra supposer une infinité de courbes telles que cp', passant par le point m , et ayant aussi en ce point pour tangente la droite mt.

Si on connaissait une de ces courbes cp^, on pourrait construire la tangente à la courbe 9 au point m, par l'une ou l'autre des méthodes précédemment expliquées, en choisissant la ptus convenable, vu la forme qu'affecteraient les deux courbés f et f'.

Mais- nous ne oonnaiseons aucune courbe lelle que fV H ftul donc c&ercher une méihode graphique qui permette de n'employer que la courbe donnée 9.

Pour cela on tracera une sécante arbitraire D passant par le point d'arrètm; on la regardera comme Taxe d'une surface cylindrique à base circulaire , et Ton emfiloiera ensuite, comme dans la méthode suivie pour la constructionde la tangente en un point quelconque d'une courbe , un second cylindre ou un co* noide, doni on déterminera la section 8.

Comme la courbe cp s arrête au point m y omn'aura qu'une branche de cette courbe 9 , c'est^-à-dire la partie située à droite ou à gauche de la normale N ; mais on déterminera complètement la courbe d'erreur, au moyen de ce qui a été dit article 67 ; ou bien on déterminera le rayon de courbure p au -moyen de la courbe dlnterpolaiion inditiuée articles 69 et suivants :

73. Êtani donnée une courbe polaire j ayant une ou plmieur$ branches infinies y aon" naissant les rayons vecteurs sur lesquels se trouvent situés les points de la courbe qui sont à l'infini^ on demande de reconnaître si la courbe a des asymptotes; et, si elle en a ^ de les construire.

On ne connaît d'ailleurs aucune des propriétés géométriques de la courbe^ en dtnOres termes , son équation est inconnue.

Solution (fig. 10). Soit la courbe 9 ayant une branche infinie, on sait que le rayon vecteur PV contient le point situé à l'infini sur la courbe cp.

Du pôle P comme centre , on décrira d'abord un cercle d'un rayon arbitraire Pa.

(Fig. 71). On prendra ensuite un cône de révolution ayant son apothème SA égal au rayon Pa , et ayant d'ailleurs pour base un cercle d'un rayon arbitraire.

On enroulera sur le cône la courbe cp, qui se transformera en la courbe à double courbure $.

On regardera la courbe 9 comme la directrice d'une seconde surface conique ayant pour sommet un point quelconque S'.

Ce cônecoui)era le plan du cercle base du cône (S) suivant une courbe 4^\ dont on ne pourra déterminer que les divers points de l'arc b'a.

Mais le rayon vecteur infini PV se sera placé sur le cône (S), en la position d'une génératrice SU ; et si , par le sommet S' du second cône, on suppose la génératrice S'U' parallèle à SU, ces deui droites contiendront le poiut^situé à l'infini sur la courbe $. Par conséquent, on est assuré que la courbe $' passe par le point l}\ mais on ne peulconstruire aucun des points compris entre les deux points U' et a\

Pour.coDslruire rMymptoie, il faudra* mener au point U une tangente Ui au cercle base du cône (&\^i au point U^ Q«ie tangente UY à Uvcoorbe^^ base du cône (S').

Si ces deux tangentes sont parallèles, la courbe ^ n'aura pas d'asymptote; si elles se coupent , la courbe cp aura une asymptote parallèle au rayon vecteur PV (et ceci montre que, dans les courbes polaires , l'asymptote est toujours parallèle au rayon vecteur infini) ; enfin si la tangente UY passe par le point U, et sans être parallèle à U<, alors le rayon vectebr PY sera lui-même Tasyroptote de la courbe ^ .

Il suiBra donc de construire la tangente à la courbe $' au point isolé U' ; et pour cela on emploiera la méthode indiquée article (70) , ou article (69) si Ton ne désire pas une exactitude aussi grande , ou bien la construction indiquée (article 67),

74. Étant donnée une courbe telle y que l'on sache que^ pour une certaine abscisse, l ordonnée est infinie ; on demande de reconnaître si la courbe a une asymptote ; et si elle en a «m, de la construire.

On ne connaît dt ailleurs aucune des propriétés géométriques de la courbe , en cfaii* très termes , son équation est inconnue.

Solution. Ce problème n'est qu'une modification du problème précédent , car l'on suppose tacitement que le pôle P est transporté à l'infini.

{Fig. 72.) On a la courbe cp, l'on sait que pour l'abscisse OM Tordonnée MP est infinie.

{Fig. 73. ) On enroulera la courbe sur un cylindre de révolution ayant pour base un cercle arbitraire , ayant soin d'enrouler sur une des sections droites de ce cylindre l'axe oX des abscisses.

La courbe 9 se transformera en la courbe à double courbure 9.

L'ordonnée infinie MP se placera en la position d'une génératrice telle que MM'.

L'on prendra un point S' arbitraire que "^ l'on regardera comme le sommet d'un cône ayant pour directrice la courbe 4>, et l'on achèvera la construction comme dans le problème précédent.

S Vin.

75. J'ai donné (article 70) Texpression analytiqoET de p en fonction de trois cordes ty l'\ r\ etc., de la courbe ft* En emfilayant les mêmes considérations qui

nous ont conduit à cette valeur dep, l'on peutarriver à réduire le problème, construire la tangente en un point dune courbe dont C équation est inconnue y aux simples calculs de formules algébriques , sans avoir besoin d'employer aucune construction géométrique.

. En effet :

{Fig. 66.) Soit q'm une corde /' de la couYbe S.

ef la perpendiculaire en son milieu/;

e le point de rencontre de la normale N et de la perpendiculaire ef. D'après la notation adoptée article (70) , on a :

çW = V et eni = x.

Soit mD l'axe des abscisses v et mD' Taxe des ordonnées i , (La courbe donnée pétant supposée rapportée à ces deux axes). Soit un point n de la courbe cp ; On aura :

nv=^ t et mv^ss. V

Désignons toujours par R le rayon du cercle base du cylindre qui a pour axe la droite D ;

On aura pour l'équation du cercle C :

Z'+f = R'; d'où z=|/R" — r Pour le point « : .

Dans le triangle rectangle ç'Am, on aura :

d'où

d'où enfin

Ainsi on obtient /' en fonction des coordonnées rectangulaires du point n de la courbe donnée f.

Cherchons la valeur de x' ou ein en fonction de t; et r ; on a :

008 AmY S.cosAmV

itoais

Ung W=-|r = R vAw

el comme :

co»* = -

l + tang* on aura :

G06 Am'9' ^

donc

.m' ou J/ = ;? . . = 7 . , (2)

Il suffira donc de prendre les coordonnées reclangulaires de trois points quelconques de la courbe 9 ; d'estimer leurs longueurs en millimètres et dixièmes de millimètre; et de calculer, au moyen des formules (1) et (2) , les valeurs de V, x\ x'\ et de l\ T, T'; puis de substituer ces valeurs dans l'expression de p.

Ayant p en millimètres et parties de millimètre , on calculera mS, dont la valeur est donnée par \/^pR. Et la tangente au point m de la courbe q» sera d'autant plus exacte, que l'on aura pu estimer d'une manière plus approchée, à l'échelle donnée, les coordonnées v, v\ v'\ et 1, t', <", des trois points arbitrairement choisis sur la courbe cp.

Les calculs seraient très-longs , mais dans la plupart des cas il est probable que deux cordes suffiront, et alors on ne prendra que deux points arbitraires sur la courbe f, et l'on emploiera l'expression de p donnée article 69.

§ IX

La propriété dont jouissent les surfaces gauches d'avoir, suivant certaines de leurs génératrices droites, une courbure développable , lorsque leurs courbes directrices satisfont à certaines conditions , en vertu de leur forme el de leurs positions respectives dans l'espace, trouve son application dans le tracé des escaliers à limon.

Dans les escaliers formés par des marches en volée , chaque volée s'arrètant à un palier, les limons sont composés de trois parties distinctes : 1* le limon droit et incliné; 2* le limon rampant; S"* le limon droit et horizontal.

Les marches s'engagent dans le limon incliné; le palier s'engage dans le limon horizontal , et le limon rampant rachète ou raccorde les deux limons droits.

Il faut alors que les surfaces supérieure et inférieure du limon courbe et rampant (lesquelles sont parallèles) se raccordent, l"" avec les plans inclinés et parallèles qui terminent supérieHrement et inférieurement le limon incliné, et 2"" avec les plans horizontaux et parallèles du limon horizontal.

On sait que la surface supérieure du limon courbe est engendrée par une droite se mouvant horizontalement en s'appuyant sur un cylindre vertical et sur une hélice donnée , qui est parallèle à la courbe de marclie ou de montée.

Pour opérer le raccordement avec le limon incliné , on ne peut disposer que de la base du cylindre vertical , puisque la courbe de montée est invariable.

Il faut donc chercher à quelle condition doit satisfaire la courbe base du cylindre directeur^ pour que la surface du limon courbe se raccorde, suivant tous les points d'une de ses génératrices droites , avec un plan incliné.

La surface du limon courbe étant de la famille des surfaces gauche ayant un plan directeur , il suffît qu'en deux points de la génératrice droite de raccordement cette surfece ait pour plan tangent le plan incliné qui termine supérieuremen le limon droit.

Pour cela, il est évident qu'il faut que la projection horizontale de la génératrice de raccordement soit Tasymptote de la base du cylindre directeur.

La méthode du balancement des marches y que Ton emploie daM la pi^atique, n'a pas d'autre but que celui de déterminer une courbe ayant une asymptote et pour asymptote, précisément, la projection horizontaiede la génératrieede raccordement. Cherchons maintenant comment on peut raccorder la surface du limon rampant avec le limon horizontal.

Il faudra passer, de la surface rampante du limon courbe , au plan horizontal au moyen d'un conoïde ayant une génératrice droite culminante et telle qu'en chacun de ses points le plan horizontal sera tangent à cette surface conoïde. ' Il faudra donc prendre pour directrice courbe de ce conoïde une courbe à double courbure tracée sur le cylindre vertical qui contient l'hélice de montée, et telle qu'elle ait en un de ses points même tangente avec cette hélice, et en un autre de ses points une tangente horizontale; puis prendre pour la droite directrice du conoïde l'arête du cylindre directeur j correspondant au point de contact de sa base avec la projection horizontale de la génératrice droite de raccordement du conoïde et de la surface gauche du limon rampant.

H est facile de vériGer par V analyse les résultats que nous avons obtenus par la géométrie ( article 53 ).

Cherchons Véquatlon de lâ surface annulaire. ()!^. 62).

Nous prendrons pour axes des coordonnées : l*axe (o) pour axe Z , la ligne om pour axe X , et une perpendiculaire à om pour axe Y. Le point o étant Torigine des coordonnées.

Les équations du cercle (c) seront :

y = 0 et (or — /r + ^ = R'

désignant par R son rayon, et par / la distance de son centre à Torigine des coordonnées.

L'équation de la surface annulaire sera :

Cherchons l'équation de la surface conoîde. Nous prendrons pour directrice courbe du conoîde le cercle (c) y dont les équations seront :

x=^V et y*4-«' = R*

désignant par R son rayon et par /' la distance de son centre à Torigine des coordonnées.

La directrice droite du conoide sera l'axe des z.

L'équation de la surface conoîde sera :

Les deux surfaces se coupent suivant une courbe dont la projection sur le plan horizontal ocy a pour équation :

^ + ^={l±fj

Cette courbe est composée de deux branches symétriques par rapport à l'axe des a; .y et qui se coupent en les trois points m, o, m'. Cherchons quelle est la direction des tangentes en chacun de ces trois points multiple-dotéle.

En différenciant l'équation (3) , on trooTe :

dy a* y -^ g;/ ly(ly±Py) — xi

*" ~ „. J' /, . l'n ~af\x*y±r(lx±ry)\

X \ xj

Substituant dans réimpression (4) les coordonnées des points m et m', qui sont

pour le premier y^:=o et xzszl, et pour le second y =0, et xT=i— l, on trouve :

ce qui montre que pour ces deux points les couples de tangentes sont parallèles.

Ainsi, désignant par j et d' les deux branches de la courbe , la tangente au point m de i est parallèle à la tangente au point m' de d", et la tangente au point m de j est parallèle à la tangente au point m' de d.

Si dans l'expression (4) Ton substitue les coordonnées du point 0, si donc Ton fait xz=zo et 1/5=3 0, on trouve :

dy __ o dx o

ce qui indique que ce point est un point singulier et il est évident que chacune des branches a pour ce point une inflexion. Cherchons quelle est la direction des

tangentes pour ce point. Afin d'obtenir la véritable valeur de ^ pour le point o ,

il faut éliminer xouy entre les équations (3) et (4) , et substituer dans le résultat de l'élimination la valeur de y ou de o; pour le point 0.

Tirant la valeur de y de l'équation (3) ^ on a , en n'ayant égard qu'au signe + de Téquation (3) :

Substituant cette valeur de y dans l'équation (4) , on trouve :

"^ (a?+ r r*^"' + Vx^p^e^-x^))'

Expression qui se réduit pour a;=o à ^ = + -=; et si l'on avait égard au signe — de l'équation (3) , on trouverait une expression de -^ qui se réduirait

à : — p pour x= 0.

Ainsi les six tangentes qui existent en les points m, 0 et m forment deux couples de droites parallèles.