Si Ton fait a :=0, Téquation (7) devient

y«-|.te = 0 (8)

équation qui appartient à une parabole dont le sommet n'est autre que le point

fixe.

Et dans ce cas, la polaire commune A coupe la courbe (parabole) lieu des pôles ; la droite B ligne des centres du cercle mobile est tangente à cette parabole et à s6n sommet, et les deux droites A et B sont distantes Tune de l'autre d'une quantité égale au paramètre de la parabole Heu des pôles.

7 . Au moyen du mode dit de transfortnation cylindrique (*) , on pourra transe former la suite des cercles positions diverses du cercle mobile en des ellipses semblables et semblablement placées, ayant leurs centres sur une droite B' et

■ II

C) Voyes le Coun es géométrie dsscrlpH^êy i~ purtie, çlisp.YI^ i«g. 1 M , «i2« piftie, le «bip* XIl.

pour polaire canmime une droite A' et passant par un poiot fixe ( les droites B' et A' étant les transformées cylindriques des droites A et fi ) ; et le même mode de transfarmiOion ^ transformera V hyperbole ou la parabcte lieu des païen du cercle mobile en une autre hyperbole ou en une autre parabole lieu des pôles Ae Tellipse mobile ayant son centre sur la droite B' ^ pissant par un point fixe et restant semblable à elle-même et toujours semblablement placée par rapport à la po* Unre commune A'.

8. Si nous passons an plan dans V espace^ nous pourrons énoncer les trois théorèmes sui^nts :

i" THÉORÈME.

Le lieu Am pôles d'une sphère mobile S dont le centre parcourt une drdite B et qui passe constamment par un point fixe m, est par rapport à un plan (A) perpendiculaire au plan Q (déterminé par lepoint met la droite B ) l"" une hyperbole^ si le plan (A) coupe la droite B, et 2'' une parabole y si le plan (A) est parallèle à la droite B.

Si l'on conçoit 1* un dlipsotde à trms axes inégaux A » dont le centre parcourt une droite B, cet ellipsoïde restant toujours semblable à lui-même et semblablement placé par rapport à Tune quelconque de ses positions et passant en toutes ses positions par un point fixe m, le lieu des pôles par rapport à un plan ( A ) parallèle à une corde Z conjuguée d'un plan Q (déterminé par la droite B et le point fixe m ) sera une courbe située dans le plan Q , et cette courbe sera 1* une hyper-bole si le plan (A) coupe la droite B , et 2* une parabole si le plan ( A ) est parallèle à la droite B.

Et 2'' si Ton conçoit un paraboloîde elliptique A, se mou\ânt parallèlement à lui-même^ ce paraboloîde restant toujours semblable à lui-même et passant en toutes ses positions par un point fixe m et ayant en toutes ses positions une droite B pour axe infini, te Jieu des pôles par rajf^rt à un plan (A) parallèle à une corde Z conjuguée du plan diamétral Q (déterminé par ta droite B et le point m) sera une courbe située dans le plan Q, et cette courbe phne sera 1* une A^perbole si le plan (A) coupe la droite B, et 2"" une parabole située tout entière à l'infini si le plan ( A ) est parallèle à la droite B. ^

y THÉORÈME.

Si Ton prend dans l'espace un point arbitraires et qu'on le regarde comme le sommet commun de divers cônes ayant pour bases respectives les diverses posi-

lions d'uû cercle mobile , ou d'une etUpse mobile , ou d'une parabole mobile ayant son centre sur une droite B et passant en ses diverses positions par un point fixe m (cette courbe mobile étant toujours semblable et semblablement placée par rapport à elle-même) le lieu des pôles ou des draUes polaires de ces divers cônes par rapport à un plan P passant par le point s, sera un cône ayant le point s pour sommet et ayant pour base sur le plan Q (déterminé par la droite Bet le point m) V une hyperbole si le plan P coupe la droite B, et 2"" une parabole si le plan P est parallèle à la droite B.

Remarque. — Si le points est supposé situé à l'infini, les cônes deviendront des cylindres dont les génératrices droites seront parallèles entre elles et au plan P.

9. On peut se proposer \9r solution des problèmes suivants dont nous ne donnons que les énoncés.

Quel est le lieu des pôles d'une sphère mobile dont le centre est situé sur une droite B et qui passe par un point fixe arbiirmre m , par rapport à un plan ( A ) oblique au plan Q ( déterminé par la droite B et le point m ).

Nota. Il est évident que le lieu demandé sera une courbe plane située dans un plan R mené par la droite B perpendiculairement au plan ( A ).

Étant données trois droites A , B , D , non situées dans un même plan , trouver le lieu des pôles dun cercle mobile i ayant son centre en un point x mobile sur la droite B ; le plan du cercle i étant déterminé par la droite A et son centre x , et ce cercle d s'appuyant sur la droite D.

Nota. Il est évident que le lieu des pôles sera une courbe située sur une surface gauche 1 engendrée par une droite 6 s'appuyant sur les deux droites B ( lieu des centres du cercle mobile) et A polaire commune des diverses* positions du cercle mobile, cette droite G étant en outre perpendiculaire à la d/bite A; la surface 2 sera donc un paraboknde hyperbolique rectangulaire dont le sommet sera situé sur la droite A.