I XII

Exemple (tun point méplat.

(Fig. 82.) Étant donnée une surface annulaire engendrée par un cercle C du rayon R tournant autour d'une droite D tracée dans son plan , et distante d'une

quantité / du centre du cercle générateur; on sait que pour les deux points du cercle G qui seront distants de l'axe de révolution de la quantité /, les rayons de courbure de la surface seront y l'un infini et l'autre égal à L

Si donc je coupe la surface donnée par un plan parallèle à Taxe de révolution , perpendiculaire au plan méridien et passant par le centre du cercle G, la courbe d'intersection aura la forme indiquée par la figure 80*

Elle aura deux axes mm' et aa\ et pour les deux points m et m' ses rayons de courbure seront infinis, de sorte que sa développée se composera de deux branches ^ 'd'y fd, ayant toutes les deux pour asymptote commune Taxe prolongé mm\ et ayant chacune un point de rebroussement de première espèce/ eif, correspondant aux deux sommets a et a! de la courbe de section.

La courbe aura donc deux points méplats ^ Tun en m, l'autre en m'; et pour savoir si les tangentes i en met f' en m' auront en leur point de tangence un contact du second ou du troisième ordre avec la courbe , il faudra avoir recours à l'équation de cette courbe. *

L'équation de la suiiàce annulaire est, comme on sait :

la coupant par un plan dont l'équation est :

on aura pour l'équation de la courbe de section :

y' = R' — jt' + 2/J/R'-«Ji* et les zxfi& de cette courbe seront :

oa = V'R + î/R et:

om =r R '

L'équation de la courbe conduirait à des calculs assez longs; mais, en vertu de ce qui a été développé dans ce mémoire , il est facile de reconnaître sur-lechamp que chacun des points met m' sera un point méplat triple , que par conséquent la tangente aura , en chacun de ces points, avec la courbe, un contact du troisième ordre.

En effet :

Goncevons un cylindre vertical et de révolution , j'enroule la courbedonnée sur ce cylindre, de manière que la tangente mt soit perpendiculaire à la génératrice <j ducylindre, sur laquelle Taxe mm' de la courbe vient se superposer; la courbe trans*

formée sera évidemment symétrique par rapport au plan passant par Taxe du cylindre et la génératrice G ; le point m de la transformée sera donc un sommet de courbe , et sa développée offrira pour point correspondant un rebroussement de première espèce.

Par conséquent Le cercle osculateur de la transformée pour le point m aura un contact du troisième ordre avec cetle transformée; le plan de ce cercle esl évidemment perpendiculaire à la génératrice G. Développant donc le cylindre , le cercle osculateur se transformera en la tangente mt^ qui dés lors doit avoir un contact du troisième ordre avec la courbe donnée.

Concluons donc de ce qui précède qu'il existe deux espèces de points sommet$ dans les courbes. planes ; pour le premier le cercle osculateur à un rayon fini et un contact du troisième ordre ; pour le second , le cercle osculateur devient une droite tangente, puisqu'il a un rayon infini , et dès lors la tangente représentant le cercle osculateur a un contact du troisième ordre avec la courbe.

Dans le premier cas , la courbe a trois éléments rectilignes successifis en arc de cercle.

Dans le second cas^, la courbe a trois éléments rectilignes successifs en ligne droite.

Et dans les deux cas , la courbe est tout entière d'un même cAté de la tangente au point sommet.