S XIII

L'on peut généraliser tout ce que nous avons dit dans ce Mémoire touchant l'ordre du contact qui peut exister entre une courbe et sa tangente ou entre deux courbes; de sorte que par les méthodes graphiques de la géométrie descriptive Ton peut résoudre les questions suivantes :

1* Tracer une courbe ayant avec sa tangente un contact du n* ordre , et au point de contact un point d'inflexion ou un point méplat.

Prenons un cône ayant pour base une courbe arbitraire <p, soit une génératrice

droite.G de ce cône, un point a sur cette droite j et par ce point menons un plan

sécant perpendiculaire au plan qui est tangent au cône suivant la droite G. La

courbe de section A se transformera sur le développement du cône en une courbe

B'', le point a se transportera en un point 26 ( indiquant par 26 que la courbe B"

a eo ce point deux éléments rectilignes en ligne droite). La courbe B" aura au

point 26 une inflexion et un contact du deuxième ordre avec sa tangente.

Je regarde la courbe B^' comme la base d'un nouveau cône, que je coupe de

la même manière que le précéileiit par un plan pMaanl pm ml poioran' de la géaératried GVl&<)ueH6 a pour pied te ppiot 26, et j'obCiens'la ooorlié A'. La Vao^ g^nte au point 2m se pliera sur le cône suivant une hélice dont le plan oaculateur contiendra le double élément rectiligne 2a et l'élément rectiligM auiTant de la courbe A' ; par conséquent , en développant, la courbe A' ae tranafonmera' en une courbe B'", le point 2a se transformera en un psint 36 ;^ la courbe^B'" ayant en ce point 36 une infiemm et un contact du troisième ondreaveo sa taaigence.

En opérant ainsi de suite, Ton obtiendra une série de eoaiiiea planta B'', B'", B"", etc., B\ ayant avec leurs tanigentes un coniacl du 2*, 3%. 4% etc., n* ordre, et au point de contact une ktflexUm*

Sif au lieu de mener un plan sécant , perpeiidivuflaîre an plan qui est tangent au cdne suivant la génératrice droite G et orbliqticà cette génératrice 6 , on Pavait assiiîetti à ôtre perpendrcularire à" cette génératrice G, alors le point a se serait transformé en nn point 26 , pour lequel' la côtirbe B'' aurait en crn point mép&ir; et en coniinoant à diriger les? plans sécants- perpendiculairement à la génératrice pour chaque cône, on obtiendrait une suite de courbes planes B", B'''., etc., B*" ayant avec leurs tangentea on contact dd 2^, 3% 4% etc., n* ordre, et au point de contact un point méplat.

2"* Étant données deux courbes planes ^ tangentes Cune à C autre ^ recmmaiire de quel ordre est le contact.

Concevons un cylindre et deux coufibeà k double courbure A et A' tracées sur ce cylindre , de telle sorte qu'elles aient en un point a un contact du i*' ordre.

Désignons par i la tangente commune, et par 0 et D' les deux surfmaes développables ayant respectivement pour arèle de rebrou^aement les courbes A et A' ; coupons ces deux surfaces par un plan suivant les deux courbes B et B' qui auront un point commun 6, qui sera celui en lequel le plan sécant coupera la droite t.

Puisque lea deux courbes A et A' n*ont qtr'un contact du t^ ordre en a, leurs plans osculateurs se couperont suivant la tangente t ; par conséquent , ces plans n'étant autres que les plans tangente meniéa aux. deux surfisK^es D et D^ suivant la génératrice commune l, les deux courbes B ci B< se couperont au point 6.

Si au contraire les deux, courbes A et A' avaient en a uo contact du 2* ovdre, les deux surfaces D et D' auraieut deux génératrices soocessivee et communes t et. i', les plans osculateurs se superposant; etdôa lors les dens courbes B et B' auraient en 6 un contact du 1®' ordre.

Si les deux courbes A et A' ont un contact du 3* ordre , lei^ courbes B et B' auront un contact du 2* ordre.

lÀÎQsi , .«p (géDéiyl, .lQ»«Qamib^3 <è^ et A' ^y^ojt :un coivlnfît ,du n**^ ordre, les iH9iUi:b;d3 B et )ft' swfmi m fipnikaet dp in-r-i y^ pt^tfi.

€6la posé :

SuppMaiis»deuxaourbe&M«t M'tayafit«i»n'OoiMact d'un ordre inconnu, et supposons en lOiéQMl iteiqps que Ton sache ^to^stvuire les' tangentes aux divers f)oints de ces courbes.

On enrottlei^ .<»» courbes 'Sjw* Ain cylindre ayant pour .section droke un cercle*, comme l'oa jsofyiatt «la position des tangentes aux courbes non enroulées , on pourna avoir le pied des tangentes aux courbes enroulées sur le plan de base du cylindre. Dèa lors, unissant tous ces pieds par deux courbes N et <N', si elles ne se coupent pas , on affirmera que les cleux courbes données ont au moins un contact du 2* ordre ; si elles se coupent, on pourra aflirmier queles^deux courbes données n'ont entre elles qu'un contact du 4^ ordre.

Maintenant, sifon savait construire^ les tangentes aux divers points des courbes N et 'N', en les enroulant sur -un nouveau cylindre^ on déterminerait ;deux nouvelles courbes P^t P', lieu des pieds "des tangentes aux .courbes enroulées sur le •plan de base du cylindre; et si les courbes P et P' ne se co!>paient pas , on affirmerait que les courbes données M et M' ont au moins un contact du 8* ordre; si elles se coupaient, on affirmerait que les deux courbes M et 'M' n*ont entre elles qu'un contact du 2* ordre.

A la première vue il paraîtrait possible , au moyen de cette méthode graphique, de reconnaître de quel-ordre estle contact de deux courbes planes données. Mais comme la connaissance dos positions des tangentes aux divers points des deux courbes données M eIrMVne peut conduire à^déteroliner, p»^ aucune méthode graphique, les tangentes aux divers points des ooucl)es N et IN'; comme^'on serait toujours obligé de construire ces tangentes par des méthodes graphiques qui ne donneraient que des tangentes plus ou moins approximatives , parce que l'on serait obligé d'opérer directement sur les courbes N et N', sans employer les courbes M et M' et leurs tangentes, Ton voit que la méthode graphique indiquée ne peut conduire rigoureusement qu'à la solution du problème suivant:

Èumi données deux courbée planes , reconnaître si elles ont : i"" seulement un

contact du premier ordre ; ou 2** si eUes ont des rayons de courbure égaux.

Et l'on ne pourra se prononcer sur l'ordre du contact, dans le cas où l'on trouverait que les deux courbes ont même cercle osculateur,

3"" Construire une surface réglée ayant avec une surface gauche du second degré un contact du n*^^ ordre , tout le long de la génératrice commune.

On prendra une droite G , par cette droite on fera passer trois plans P, P', P"'. Dans le pian P on tracera une courbe A coupant la droite G au point a, et ayant en ce point un contact du (n — i)''*^ ordre avec la tangente l.On tracera de même dans les plans P' et P" deux autres courbes K'j k!\ coupant la droite G aux points a et a!\ et ayant aussi , avec leurs tangentes i et i" en ces points , un contact du (n — i)**^ ordre.

En faisant mouvoir la droite G sur les trois tangentes i , i\ f", on engendrera une surface gauche du second degré , osculatrice à la surface proposée , et dont le contact avec cette surface sera du vf*^ ordre. Si les trois tangentes ne sont pas parallèles à un même plan , la surface du second degré sera une hyperboloide à une nappe; si les trois tangentes sont parallèles à un même plan^ Ton aura une paraboloide hyperbolique.

Si lacourbe A avait un contact du {n^Zf^ ordre, la courbe A' un contact du (w— 2)"^ ordre, et la courbe A" un contact du (n — 1)'*^ ordre avec leurs tangentes respectives f , i et i\ alors la surface du second degré n'aurait avec la surface réglée qu'un contact du (n — ^2)"^"^ ordre tout le long de la génératrice commune G.

Si Ton coupe le système par un plan, on aura une courbe de section M sur la surface gauche générale , et une section conique S sur l'hyperboloide osculateur ou sur le paraboloide osculateur , et ces courbes auront entre elles un contact du n'*^ ordre.

Si Ton coupait, tout le système , par Une surface arlHtraire, Ton aurait deux courbes à double courbure ayant un contact du n^^^ ordre.

Il est donc possible , par de simples constructions graphiques , d'obtenir directement et de tracer rigoureusement , ou des courbes planes, ou les projections de courbes à double courbure , ayant entre elles un contact d'un ordre voulu.