SOLUTIONS DE QUESTIONS ET PROBLÈMES DIVERS

PROBLÈA|^.

Étant donnés tme surface de révolution engendrée par une courbe quelconque et un cône dont la trace sur un plan perpendiculaire à t'axe de totation , soit aussi une courbe quelconque , trouver leur intersection en n'employant que la ligne droite et le cercle (*).

Solution. On coupe les deux surfaces données par une suite de cônes auxiliaires, qui ont même sommet que le cône donné et qui ont pour bases des cercles de la surface de révolution. L'un de ces cônes auxiliaires prolongé jusqu'au plan de la base du cône donné , a pour trace, sur ce plan , un cercle. Les points d'intersection de ce cercle et de la courbe base du cône donné déterminent des arêtes communes à ce dernier cône et au cône auxiliaire. Une quelconque de ces arêtes passe par un point du cercle qui est à la fois sur le cône auxiliaire et sur la surface de révolution. D'où il suit que ce point est sur la courbe intersection des deux surfaces données.

Je me propose de déterminer les cônes auxiliaires limites ^ c'est-à-dire ceux qui passent par les cercles de la surface de révolution , entre lesquels sont comprises les différentes branches de la courbe d'intersection cherchée.

(*) Extrait de la Correspondance sur PÉcole polytechnique publiée par Hachette , t. Il , p. 437 ( année 1S12), lorsque je donnai la solution de ce problème, elle n'était encore exposée dans aucun ouTrage. Ce problème et sa folution étaient à cette époque une chose nouTelle en géométrie descrlptire.

Si la trace du cône auxiliaire ne coupe pas celle de la surface conique donnée, * il n'y aura aucun point de la courbe situé sur le cercle appartenant à la fois à la surface de révolution et au cône auxiliaire.

Si au contraire ces deux traces se coupent, il y aura sur ce cercle autant de points de la courbe d'intersection, qu'il y aura de points communs aux deux traces.

Les cercles limites seront donc oeux qui ne ooitfiendront qu'un seul point de la courbe; ils seront évidemment placés sur les cônes auxiliaires dont les traces seront tangentes àvCelle de la^rface conique donnée^ et ces derniers seront les cônes limites.

Pour déterminer les centres des cercles traces de ces cônes limites, nous emploierons la construction suivante :

Tous les cercles, bases des cônes auxiliaires, ont leurs centres {fiy. 90 j sur la trace horizontale oVdu plan vertical passant par le sommet (», s') des cônes auxiliaires et par l'axe {0\ 6(ù) de la surfeoe de révolution.

Si de tous les points de la courbe ABCD, trace de la surface conique donnée, on mène des normales à cette courbe , chacune de ces normales coupera la droite oV en un point qui est le centre d^n cercle, trace de Tun des cônes auxiliaires. Le rayon.de ce cercle. étant connu ^^n le portera sur Ja normale, à partir du point.de Ja courbe par lequel on a élevé cette normale; Textrémlté de ce rayon appartient à -une courbe m», mV, qui coiipe la .droite oV au:x points F,G,... centres des cercles, qui touchent la. courbe ABCD trace du cône donné.' Ces cercles sont évidemment les bases des cônes auxiliaires limites.

Ayant déterminé les cônes auxiliaires limites, il sera .facile de trouver les cercles limites. situés sur la surface de révolution.

Ce problème étant résolu, on appliquerait utilement ce^te solution à la déter* mination des ombres, dans le cas, par exemple, où Ton demanderait Tombre portée par une courbe donnée sur une surface de révolution, 'les points lumi* neux partant d'un seul point.

Lorsque -les rayons lumineux sont parallèles entre eux, l'ombre d'unecourbe sur une surface de révolution est la ligne d'intersection de cette surCace de révolution et d'un cylindre qui a pour base la Gour1)e donnée et dont les arêtes sont parallèles entre eux, et à la direction des rayons lumineux. Dans ce cas, pour trouver la ligne d'intersection, on coupe les deux surfaces de révolution et.cylindrique par une suite de cylindres ayant pour bases des cercles ou forMètes de la surfoce de révolution et ayant leurs arêtes parallèles aux rayons de la lumière.

C'est ainsi que dans l'épure du vuêe (leçons de fiaehette sur -les ombres ) , Qn déterminera facilement l'ombre , portée sur ce vase , par le cercle qui termine supérieurement sa surface.

Celle mélhode n*est pas particulière aux surfaces de névoluiion; eile s^appliquenâitavee les meniez avantages dans le cas où il s'agiraii de trouver Tincepseclîoii' d?un>e6ae queleonque et d'une surface engendrée par une c(Mrbe plane, mobile y eonstafntle de ferme , et doM^ le plan ne cban^rait pas de direction ; et ainsi elle pourrait être utilement employée pour trouver l'interseistion d'une surface coaique ot^eyiindriqiie avec une surface du second! ordre non^derévol'Utton. Car on pourrait prendre un nouveau pIsMi horizonlal de projection parallèle aux sections circulaires de la surface du second ordre.