ET AU PLAN

Il existe une grande différence entre une solution géoméirique et une solution graphique; pour bien faire concevoir en quoi les deux modes de solution dilTèrent l'un de Tautre, je vais prendre pour exemple la solution de deux problèmes de géométrie descriptive qui se trouvent résolus dans tous les traités^ par la méthode géométrique et non par la méthode graphique.

Ces deux problèmes sont l'un : la plus courte distance entre deux droites, et Tautre : la section droite dun cylindre.

V Plus courte distance entre deux droites. 0

L'épure que l'on fait exécuter pour arriver à la solution de ce problème, n'est, comme on le sait, que la traduction graphique et mot à mot, si je puis employer cette locution , du raisonnement géométrique suivant :

Faire passer par la seconde droite un plan Pparallèle à la première droite.

Par la première droite mener un plan rf perpendiculaire au plan P.

Les deux plans N et P se coupent suivant une droite L, laquelle rencontre In seconde droite en un point p.

Et menaift par le point p une perpendiculaire au plan P, on a la plus courte dislance demandée»

(*) Extrait dn nàDoire pnhlië dias le 21« cahier do joamftl de VtfioU Polytedniqtte.

Ce mémoire » moins ce qni est dooné ici , est publié dans cet onyrage sous le n" 1 du chapitre III.

Ce mode de solution n'est pas toujours applicable ; on ne peut obtenir la plus courte distance qu'avec des données très-particuiiéres; car sans un choix trèsparticulier dans la position assignée aux projections des deux droites, on aurait des points qui sortiraient de la feuille de papier , ou qui seraient déterminés par des droites se coupant sous des angles trop aigus.

Il me semble que la meilleure solution à employer^ ioû$ le point de vue graphique^ est l'une ou l'autre des solutions suivantes :

Première solution (fig. 91 ). Lorsque les deux droites données sont telles que Tune est perpendiculaire au plan horizontal, la plus courte distance est sur-lechamp déterminée en la ligne d.

(Fig. 92). Deux droites étant donc dans une position arbitraire par rapport au plan horizontal , il faudra les ramener à la position particulière indiquée dans h fig. 9i.

Pour cela, on mènera un plan N perpendiculaire à l'une des droites, on le rabattra sur le plan horizontal j et l'on déterminera les projections horizontales des deux droites en les nouvelles positions que l'une et l'autre viennent de prendre, supposant qu'elles ont été entraînées par le plan dans son . mouvement de rotation.

L'on changera , pour faciliter les opérations graphiques , de plan vertical de projection; Ton prendra pour nouveau plan vertical un plan de profil , c'est-àdire un plan perpendiculaire à la trace horizontale du plan N.

Seconde solution (fig. 93). Lorsque les deux droites données sont parallèles Tune et l'autre au plan horizontal , la plus courte distance est sur-le-champ donnée en la droite d.

(Fig, 94.) Il faudra donc ramener les deux droites données arbitrairement à cette position particulière indiquée figure 93.

Pour cela on mènera un plan P parallèle aux deux droites données, on le rabattra spr le plan horizontal, et l'on cherchera les projections horizontales des nouvelles positions que viennent prendre les deux droites après le mouvement de rotation. Pour simplifier et faciliter les constructions graphiques , on changera de plan vertical de projection, et Ton choisira un plan de profil ^ c'est-à-dire un plan vertical perpendiculaire à la trace horizontale du plan P,

Il suffit de jeter les yeux sur les deux épures pour s'assurer que tous les points sont déterminés par des l^nes se coupant, pour le plus grand nombre, à angle droit, et pour quelques-unes, sous des angles qui, quelles que soient les données,

ne seroDt jamais assez aigus pour laisser de rindéieriQination sur la position ^aphique de ces points.

Légende de la figure 92*

H y V, projections de la première droite (*);

H^, \\ projections de la seconde droite ;

L , T, ligne de terre primitive ;

(H), trace horizontale du plan perpendiculaire N ;

L\ Ty nouvelle ligne de terre ou trace horizontale du plan de profil;

^^j ^'^ projections des droites données sur le plan de profil ;

V, H'', et V'% H'% projections verticales et horizontales des deux droites supposées entraînées par le plan N , et ayant décrit un angle a ;

d, plus courte distance entre les deux droites en leur nouvelle position ;

w'y Mij projections de la plus courte distance d pour la position primitive des deux droites données.

Légende de la figure 94.

H , V, projections de la première droite ;

H', V, projections de la seconde droite;

(H) , trace horizontale du plan P, passant par la première droite et parallèle à la seconde ;

L'j Tf nouvelle ligne de terre ou trace horizontale du plan de profil;

V, y'^y projections des droites données sur le plan de profil ;

D*", D'% projections horizontales des deux droites en leur nouvelle position , le plan P ayant tourné d'un angle a, pour se rabattre sur le plan horizontal;

d!y point qui est la projection horizontale de la plus courte distance en la nouvelle position des deux droites.

vv\ M'y projections horizontales et verticales de la plus courte distance d pour la position primitive des deux droites.

Trouver la plus courte distance entre un point et un plan, est encore un des problèmes élémentaires pour lesquels l'emploi du plan de profil conduit à une solution plus exacte sous le point de vue graphique.

Il suffit de mener par le point donné m un plan perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné et de i*abattre ce plan (voir la figure 95),

Cette méthode est celle que Ton doit toujours employer dans les applications;

(*) Je oonserre ici la notation telle que je Tai employée au moment où yécmiê cette note ; depnia , je l'ai modifiée et amenée , je crois , à un point de simplicité et par suite de perfection désirable (Voyez la première partie du Cours de géométrie deêcriptipt^,

car rarement alora un plan selrouvQdétermtné par ses deux Iraees ; presque toujours un plan est donné ou V par deux droites parallèles^ ou 2^ par deux droftos qui se coupent 9 otiS'par une droite et un point , ou 4"" par une horizontale ou sa trace horizontale et Vangle quMl fait avec l'horizon.

Il est très-important de savoir ré^ydre les divers problèmes que Toa peut proposer sur la droite et le plan, de quelque manière que le plan ae trouve donné, en n'employant que les données qui le détermineitt, sans, cbiercher à construire les traces de ce plan , et à ramener par là la solution à œlJa que l'on est dans rhabitude d'expliquer dans cette partie de lia géoméirije descriptive que Von est convenu d'appeler préliminaires.

Il faut toujours au contraire , dans les appliications , ramoner ces divers problèmes à l'emploi du plan de profil, car c'est c^ mode de solution qui est préférable, puisqu'il conduit à une construction graphique plus rigoureuse, des droites et des points que l'on cherche.

On devrait insister, surtout , sur les problèmes fondamentaux de la géométrie descriptive; problèmes qui sont^ en géométrie descriptive, ce que les quatre règles, addition ^ soustraction y multiplication et division y sont en arithmétique.

Ces problèmes sont les trois suivants :

i"" Construire les projections du poii^tt de rencontre d'ojie droite a.vec on plan horizontal ou avec le plan horizontal; et d'une droite aveq un plan^ peralléle au plan vertical ou avec le plan vertical ;

2"" Construire larvéri table longueur d*uoe droite doni on connaili les projections ;

3*" Étant donné un plan et une droite, supposant que la droite est fixée au plan d'une manière invariable, faire tourner ce plan d'un angle donné autour d*une de ses horiMntales ou d'une de ses verticales j et construire les j^DOJections de la nouvelle position eu laquelle la droite vient se placer dan» l'espace ^^vès le mouvement de rotation.

Ce^ trois problèmes sont lesiseuls ouUUy si je puis me S(e«vij\de cette expressêom , que l'on emploie pour la solution des diverse» qjoeslioAS* doot on^ s'occupe en géométrie desçrif^tive..

2'' Section droite dun cylindre*

Dan^ les diivers* Irailé» de géométrie descriptive , ce problème est résolu de la

même manièreqiue s'il, e'agissaît de déterminer /e» projecAons de la courbe inter^ section dun . cylindre quelcotugiiC' par un^pkm quelcompte.

Il me semble que^ puisque Ton- ne- eberehe la section droite d^un^ cylindre que* pour arriver par son moyen au développement de cette surface , il faut tâcher d'obtenir le plus promptement possible cette section droite, et surtout par une

méthode telle que ses divers points se trouvent déterminés le plus exactement possible; puisqu'il faut rectifier cette courbe, et qu'il est important que la droite, base du développement, soit , le plus exactement que faire se pourra , égale en longueur au périmètre de la section droite du cylindre.

La construction suivante me parait préférable èous le point de vue graphique.

{Fig.Qiy. Un cylindre est ordinairement donné par sa trace sur le plan horixontal, et par les projections d'une droite , à laquelle ses diverses génératrices droites sont parallèles (cette droite est dite directrice droite des génératrices du cylindre).

Soit donc la courbe (C) trace horizontale du cylindre;

D"*, D'^, les projections de la directrice droite des génératrices ;

(H) , la trace horizontale du plan de la section droite;

On déterminera Tangle a que la droite D fait avec le plan horizontal : pour cela , v, hj étant les projections d'un point de cette droite, on portera knizzvp^ei b**

sera le rabattement de la droite D; par conséquent Fangle noh=sa sera l'angle cherché. La droite hm , perpendiculaire à la droite on , coupera cette droite en un point m, qui sera le rabattement du point de rencontre de la droite D et du plan de section droite.

Supposant une suite de plans verticaux perpendiculaires au plan de section droite , dont l'un d'eux aurait pour trace horizontale çQ; rabattant ce plan sur le plan horizontal » on aura : en qq le rabattement de la génératrice droite intersection de ce plan et du cylindre , et en q'Q le rabattement de la droite intersection de ce plan et du plan de section droite.

Supposant ensuite que le plan de section droite tourne autour de sa trace (H) pour se rabattre sur le plan horizontal, il sufBra de prendre^ QQ' = 09' pour avoir en Q' le rabattement d'un des points de la section droite.

On obtiendra ainsi les divers points de la section droite (S).

Pour exécuter le développement du cylindre, et pour rapporter sur ce développement la transformée de la base (C) {fig. 97) , on remarquera que , si lé point Q' de la section droite (S) se trouve en Q/ sur la droite 06, on n'aura qu'à porter Q'.^. ^=^(l<f, pour avoir le point q, de la transformée (S'') de laba$e(C).

Ce mode de construction a l'avantage : i"" de permettre de vérifier la position graphique d'un point quelconque 6, de la courbe (S").

En effet, on mènera B,6, perpendiculaire à la droite 06 qui est la transformée de la section droite (S). On enroulera la droite ^fi, sur la courbe (S"), et ceb à partir du point G , et Ton aura le point B, ; menant la droite B'^ perpendiculairement à la trace (H); puis les deux droites ^B, B6', parallèles respecivement aux droites om, mhy on devra avoir B.6, t=3 6B.

2' De construire pronipteinent la projection horizontale et par suite la projec^ lion verticale d'une courbe tracée sur le cylindre , sa transformée étant connue sur le développement de ce cylindre.

Ainsi , soit donnéelacourbe (E') sur le développement ; soit r un point de cette courbe ; on prendra > avec le compas y la longueur QV> on la portera sur qq' de q en r, et abaissant du point r une perpendiculaire sur 9Q, on aura en r' un point de la courbe (E) , qui sera la projection. horizontale de la courbe, qui , située sur le cylindre , se transforme sur le développement en la courbe (E'j ; et la droite rr donnera la hauteur du point au-dessus du plan horizontal.

Remarquons que les divers points {fig. 96) tels que q' sont liés entre eux par une courbe (f), qui est toujours de*mème nature que la base (G) du cylindre.

Car il est évident : que la courbo (/) peut être regardée comme la projection horizontale de la section faite dans un cylindre, aynnt pour base la courbe (C) et ses génératrices étant projetées parallèlement à la droite D', par un plan ayant pour trace horizontale la droite (H).

Remarquons encore que les divers points tels que r sont liés entre eux par une courbe (e) qui peut être regardée comme la projection horizontale de Tintersection de deux cylindres , Tun ayant pour base la courbe (G) et ses génératrices t étant projetées parallèlement à la droite D*" ; et Tautre ayant pour base la courbe (E) et ses génératrices étant projetées parallèlement à la droite (H) (^).