DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES HYPERBOLOÏDES

L'on sait que le lieu de Fintersection de deux plans perpendiculaires entre eux et passant respectivement par deux droites qui ne sont pas dans un même plan , est un hyperboloïde à une nappe ( voir la correspondance de l'École Poly-

(^)De)>nis longtemps, et ayant la publication de cette manière nouyelle de résoudre certains problèmes de géométrie descriptiTC , j'aTais montré dans mes leçons Tutilité de soumettre la solution des diyers problèmes relatifs au point, à la droite et au plan, à une méthode jjT^fl^rci^e, afin de n'ayoir plus des solutions indépendantes les unes des autres , sans corrélation entre elles, comme cela a^ait lieu dans les divers traités publiés sur la géométrie descriptire; c'est ainsi que j^ai été conduit à écrire la première partie du Cours de géométrie descriptive,

(**) Extrait du Bulletin delà Société philomalique, séance du 10 août 1833.

technique, publiée par Hsichette), dont les plans des sections circulaires sont respectivement perpendiculaires atix deux droites données (*).

Ce théorème n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général que Ton ' peut énoncer de la manière suivante , et je ne sache pas qu'il soit énoncé quelque part. Étant donné un cône du second degré; si on lui mène deux plans tangenls quelconques désignant par D leur intersection et par G et H les génératrices droites de contact; si Ton prend sur D à droite et à gauche deux points m et n également distants du sommet du cône ; si par Je point m on mène deux droites g et (j parallèles à la génératrice G , et par n, deux droites h et A' parallèles à la génératrice

H; si enfin, par une génératrice quelconque V du cône. Ton fait passer deux plans, contenant l'un la génératrice G et l'autre la génératrice H, et que par la droite g l'on mène un plan P parallèle au plan (V, G) et par la droite h un plan Q parallèle au. plan (V, H), les deux plans P et Q se couperont suivant une droite v parallèle à la génératrice droite Y. Toutes les droites telles que t; formeront un hyperboloïde à une nappe ayant pour cône asymptote le cône donné « et ayant pour centre le sommet de ce cône. Si au contraire c'est par la droite 9' que l'on mène un plan parallèle au plan ( V, H ) et par la droite h' un plan parallèle au (V, G), la droite v' d'intersection sera encore parallèle à la génératrice droite V, et toutes les droites telles que v formeront le même hyperboloicle-, de sorte que les droites telles que v en seront les génératrices du premier système, et que les droites telles que t^' en seront les génératrices du deuxième système.

Le théorème général peut encore être énoncé de la manière suivante :

Étant donné une section conique G ( ayant un centre ) et un diamètre arbitraire de cette courbe, si par l'une des extrémités de ce diamètre on mène d('ux droites arbitraires D et cf, mais cependant telles que leur plan coupe celui de la courbe G suivant une tangente à cette courbe; si par l'autre extrémité on mène deux droites respectivement parallèles , savoir : D' à D, c(' à d] si enfin, par un point quelconque m de la courbe G l'on fait passer deux plans , l'un par la droite D et l'autre par la droite cf, leur intersection v sera la génératrice du premier système d'un hyperboloïde à une nappe ayant pour centre, le centre de la section conique; si au contraire par le même point m l'on fait passer deux plans, Tun par la droite D' et l'autre par la droite d, leur intersection v sera la généra trice du deuxième système du même hyperboloïde.

Ce théorème conduit à quelques propriétés nouvelles des hyperboloïdes.

Etant donné un hyperboloïde à une nappe et de révolution , désignons par A son axe^ par G une de ses génératrices droites, par 0 son centre, et par a le point

(*) Voyez les Développements de géométrie descriptive , chapitre 5', pnge 229 et saivantes.

en lequel I9 génératrice droite G coupe le cerde de gorge C de Thyperboloide.

Cela posé : Par un point m de la droite G menons le plan tangent T à la sur^ face hvperboloide; par le point m et par Taxe A menons un plan P, cet deux plans se couperont suivant une droite M ; toutes les droites telles que M formeronl un hyperboloïde S à une nappe et non de révolution , et qui sera tangent à Thjperboloide donné suivant la génératrice droite G.

La démonstration est facile : en effet, supposons un hyperboloïde à une nappe et de révolution ; soit C son cercle de gorge, toutes ses génératrices du premier et du deuxième système se projetteront orthogonalement sur le plan du cercle C suivant des tangentes à ce cercle.

. Ainsi , désignant par g une tangente au cercle C ; par m un point de 9; par h la tangente menée par le point m au cercle C; para le point de contact de la droite g et du cercle G ; par b le point de contact de la tangente h et du même cercle C : l'on pourra regarder g et h comme les projections de deux génératrices droites G et H de la surface et de systèmes différents, et le point m comme la projection du point M, intersection de G et H.

Le plan T passant par G et H sera tangent à la surface au point M , et aura pour trace sur le plan de gorge la droite ab.

Si par Taxe de la surface et par le point M on fait passer un plan Q , il aura pour trace la droite am (désignant par o le centre du cercle C). Les deux plans T et Q se couperont suivant une droite qui percera le plan de gorge au point n, intersection des deux traces ab et om.

Faisant la même construction pour tout autre point de la génératrice G, on voit que toutes les droites telles que M perceront le plan de gorge en des points situés sur un cercle a}ant pour diamètre le ra^on oa du cercle C; et en vertu du théorème énoncé ci-dessus, on peut conclure que la surface gauche engendrée par les droites telles que M est un hyperboloïde à une nappe.

On voit de suite que Taxe A sera une génératrice de la surface S et du même système que la droite M.

Que le centre de la surface S sera le milieu de la droite oa , et que celte surface sera coupée par le plan du cercle C suivant un cercle G' ayant pour dia- ^ mètre le rayon oa.

L'axe A de T hyperboloïde S fera avec^ Taxe A un angle qui sera égal à la moitié de celui que font entre elles les droites A et G.

Pour chacune des génératrices du premier système de Thyperboloïde donné, on aura un hyperboloïde tangent analogue, à S. Tous ces hyperboloïdes seront égaux.

De sorte que leurs axes A' formeront les génératrices du premier système d'un hyperboloïde S' à une nappç et de révolution ayant pour axe l'axe A et pour

cercle de gorge un cerete G" conceiitriqne.au cercle G et dyant pour rayon la

nooitié de oa.

Pour chacune de $es généralrîces du deuxième systèifte, rhyperboloide donné aura auësi un hyperboloîde langent, èg^i à S et dont Taxe A." sei^a incliné eu sens in'Verse^; de sorte que lou& tes axes A'^ seront les génératrices du deuxième système du même hypérboloide S' trouvé ci*dessus.

§ II

Remarquons que la droite M divise en deux parties égales Tangle que font entre elles lés deux génératrices se croisant au point m sur l'hyperboloido donné, et que la droite N menée perpendiculairen^ent à la droite M, laqueMe est située dans le plan tangent au point m à l'hyperboloïde , sera parallèle au plan du cercle de gorge. De sorte que Ton peut déduire de là, un procédé graphique simple pour résoudre la question suivante : A quel caractère géométrique peut-on reconnaître quun hypérboloide donné par ses trois droites directrices , est ou non de révolution ?

Désignons parD, D', D", les trois droites directrices, concevons une génératrice droite G de la surface et coupant D au point m, D' au point m', D'' au point m".

Désignons par a, a, o!\ les angles que la génératrice G fait respectivement, niais du même côté^ avec les trois directrices» par 6, ^ ^' les suppléments de ces angles. Concevons les trois plans tangents (D, G) en* m, (D', G) en m', (D'', G) en m\ et traçons dans chacun de ces plans deux droites divisant en deux parties égales leS angles a, ol\ oe'' et leurs suppléments 6, S', g-'.

Désignons par 9, g\ g\ les droites qui divisent respectivement en deux parties égaies les angles a, a\ a" et par A, A', hi' celles qui diviseront les angles supplémentaires 6, 6', 6".

Si les trois droites g , g y 9", ou si les trois droites A , A', A'' sont parallèles à un mêmepian, la surface sera de révolution; si Tun et l'autre de ces deux systèmes de droites ne se trouvent pas parallèlesà unplan^ la surface ne sera pas de révolution.

On peut encore résoudre le même problème au moyen des considériatiorls géométriques suivantes.

Lorsque Thypef'bolotde est de révolution, son côiie asymptote est aussi de révolution^, on peut donc dbns ce cas- construire une sphère, qui ayant son centre

sur Taxe du cône, lui serait tangente suivant un cercle dont le plan serait per- [tcndicubire à cet axe.

Tous les plans tangents au cône sont des plans asymptotes de la surface hyperboloîde donnée et contiennent chacun deux génératrices droites de systèmes diiTérents et parallèles entre elles de cette surface hyperboloïde. Dès lors : ayant les trois directrices D, U\ D"' de la surface hyperboloîdç , on construira les trois génératrices droites, savoir : G parallèle à D, G' parallèle à D' et G" parallèle à D''; les trois plans (G, D), (G', D'), (G'', D") seront trois plans asymptotes de la surface hyperboloïde se coupant au centre o de celte surface. ( Tous les plans asymptotes passent par le point o. ) Si du point o comme centre et avec un rayon arbitraire, on décrit une sphère S et qu'on lui construise trois plans tangents respectivement parallèles aux trois plans asymptotes , ils se couperont en un point o\ qui sera situé sur Taxe de la surface hyperboloïde , si cette surface est de révolution. (Cette construction permet de construire avec facilité Taxe de la surface hyperboloïde, lorsqu'elle est de révolution.) Si maintenant on construit une génératrice droite quelconque g de la surface hyperboloïde donnée par ses trois directrices droites D , D', D", et la génératrice du deuxième système A qui est parallèle à Çy le plan (9, h) sera un plan asymptote; construisant à la sphère S un plan tangent parallèle au plan (9, h) ce plan passera par le point o', si la surface hyperboloïde donnée par ses trois directrices droites est de révolution ; ainsi tous les plans tangents à la sphère S, et respectivement parallèles aux plans asymptotes de la surface hyperboloïde, se couperont en un même point, lorsque cette surface sera de révolution-, et cela n'aura pas lieu, si cette surface hyperboloïde n'est pas de révolution.

Cette solution a quelque analogie avec celle indiquée par Hachette. .^

§ IV

Si Ton remarque : V qu'étant donné un cercle C et une série de cercles c', c'\ etc., passant par son centre 0, et qui lui sont respectivement tangents aux points ûj cl\ etc., si l'on projette obliquement tout le système, le cercle C se transformera en une ellipse E, et les cercles c , c\ etc., en des ellipses e , è\ etc., de telle sorte que: ï" les ellipses e', e\ etc., et E, seront semblables (leurs axes étant parallèles); ^ toutes les ellipses «', e\ etc., passeront par le centre de l'ellipse Eet seront respectivement tangentes à cette ellipse E, le centre de chacune d'elles étant sur les droites unissant le centre de l'ellipse E et le point de contact.

Si l'on remarque, 2" qu'étstht donné un hyperboloïde à une nappe, et l'un

— sei —

de ses diamètres réel B ou imaginaire B', el le plan conjugué P de B ou P' de B', le plan P ooupera la surface suivant une hyperbole H et que le plan P' la coupera suivant une ellipse E; que le cylindre tangent à Thyperboloide suivant rhyperbole H aura sds génératrices parallèles à B, et que celui qui sera tangent suivant l'ellipse E, aura ses génératrices parallèles â B' et que dès lors toutes les génératrices de la surface se projetteront obliquement sur le plan P et au moyen de lignes projetantes parallèles à B, suivant des tangentes à la courbe H, et sur le plan P' et au moyen de lignes projetantes parallèles à B' suivant des tangentes à l'ellipse E.

On pourra énoncer le théorème suivant :

Si par le centre d'un hyperboloïde à une nappe^ on mène une droite arbitraire B ; que Ton construise son plan conjugué P , ^ plan P coupant la surface suivant une ellipse ou une hyperbole S; que l'on prenne une génératrice droite G de la surface, laquelle coupera la courbe S en un point a; si par un point m de G on construit le plan tangent T à la surface et que par la droite B et le point m on fasse passer un plan Q, les deux plans T et Q se couperont suivant une droite Y ; si l'on fait la même construction pour tout autre point m' de la génératrice droite G, l'on obtiendra une nouvelle droite V; toutes les droites telles que V formeront un hyperboloïde à une nappe H tangent à la surface proposée suivant la génératrice G; le centre de la surface H sera sur le plan P; la droite B sera une des génératrices droites de cette surface H ; et le plan P coupera cette surface H suivant une section conique s semblable à la courbe S, etc. , etc.

Ce qui précède permet de résoudre le problème suivant ;

Étant données les trois (Hrectrices droites dun hyperboloïde à une nappe et une droite arbitraire B , construire (en n employant que la ligne droite et le plan) le plan conjugué du diamètre parallèle à ta droite B,

Étant données les trois directrices droites Â, À'^ A" de la surface, on sait construire son centre o, au moyen de trois plans asymptotes. On pourra donc par ce point o mener le diamètre B' parallèle à la droite arbitraire B.

On pourra construire une génératrice droite G de la surface , coupant respectivement les trois directrices A , A', A", aux points a , a\ a".

On pourra construire les plans (G, A), (G, A'), (G, A'') tangents à la surface et

respectivement aux points a, a , a".

Le plan déterminé par le diamètre B" et le point a, coupera le plan tangent

(G , A) suivant une draite Y, on obtiendra de même V et V" par l'intersection des plans C B', a) , (G , à') et (B', a'')» (G , O-

Ces trois droites V, V, V" seront les directrices droites d'un hyperboloide H tangent à la surface donnée suivant la génératrice G. Àu*nioyen de trois plans asymptotes , on déterminera son centre o'.

Construisant une seconde génératrice droite G' de la surface donnée; elle coupera respectivement les trois directrices A, A', A", aux points 6, *', 6", et les plans (B', b), (G', A) et (B', 6'), (G', A') et (B\ V^), (G', A'') se couperont deux à deux suivant des droites D, D', D'^^qui seront les directrices d'un second hyperboloïde H' tangent à la surface donnée suivant la- génératrice G", et dont on déterminera le centre o" par l'intersection de trois plans asymptotes.

Les trois centres o, o\ o" détermineront le plan diamétral conjugué du dia* mètre B'.

Supposons une section conique C , une tangente i ayant pour contact avec cette courbe le point a ; prenons sur t un point m , et menons par ce point une tangente T à la courbe G et ayant pour contact un point A ; menons la corde ak ; puis par un point fixeA , arbitrairement choisi sur le plan de la courbe^ menons la droite bm\ les deux droites bm et aA se couperont en un point p. Faisons la même con* struction pour les divers points de la tangente i, tous lés points tels quep sont situés sur une section conique S tangente à la courbe C au point a et passant par le point fixe 6.

Supposons maintenant une section conique C semblable et concentrique à C, les deux tangentes i et T la couperont en deux points a pour i et A' pour T^ et la corde a!k' sera parallèle àaA ; si l'on prolonge la droite bm , elle coupera la corde a a! en un point p' qui appartiendra à une section conique S' passant par le point iixe b et le point a et tangente à la courbe C au point a. Les deux sections coniques S et S' seront semblables et auront leurs axes parallèles. La droite i coupe aussi C en un point a'' et la droite T coupe encore C en un point A''; la corde a' A^^ est parallèle aux cordes aA et a A'; si l'on prolonge la droite bm elle coupera la droite a "A" en un point p'' qui appartiendra à une section conique S'' passant encore par les points 6 et a , mais tangente à C an point a\ S, S', S" seront des courbes semblables et semblablement placées ayant pour corde commune la droite a6; et toutes ces sections coniques S , S', S" y etc., seront enveloppées par une section conique R.

On pourra regarder les deux courbes C et C comme les projections obliques

de sections parallèles faites dans un hyperboloîde à une nappe 2, e{ les courbes S el S' comme les projections obliques, et par le même système de projection , des sections faites par les mêmes plans parallèles dans la surface gauc1ie<^, lieu des droites déterminées de la manière suivante.

La droite t représentera la projection oblique d*une génératrice de la surface donnée 2; m la projection d'un point M de cette génératrice ; T sera la projection d^une génératrice du deuxième système de la surface 2; le plan (t, T) sera tangent à cette surface 1 au point M et aura pour trace sur le plan de la courbe G la droite aA; la droite bm représentera la trace d'un plan passant par la droite projetée obliquement suivant le point b etpar le point M projeté obliquement en m, ces deux plans se couperont suivant une droite B projetée suivant bm et perçant i° le plan de la courbe G au point p et 2* le plan de la courbe dont G' est la projection oblique en un point dont p' est aussi la projection oblique.

Les surfaces du deuxième ordre sont les seules qui soient coupées par des plans parallèles suivant des courbes semblables ; les deux sections parallèles S et S' étant semblables , la surface gauche $, lieu des droites B, sera un hyperboloîde à une nappe qui sera enveloppée par un cylindre dont les génératrices étant parallèles à la direction des lignes projetantes obliques, aura pour trace sur le plan de la courbe G la section conique G'.

Ge mode de démonstration pourrait être appliqué aux théorèmes précédents sans avoir besoin de recourir au théorème énoncé au commencement de cette note , et ce théorème lui-même peut être facilement démontré par cette méthode fondée sur les propriétés des projections obliques.

D'après ce qui précède , on peut donc énoncer les théorèmes suivants :

1* Étant donnés un hyperboloîde à une nappe 2 et une droite arbitraire D ; menons , par le centre de la surface une droite (/parallèle à D, et le plan P conjugué de d (ce plan coupant la droite D en un point a et la surface suivant une section conique ellipse ou hyperbole H) ; prenons une génératrice droite G de la surface 2 (perçant le plan P au pointa) et en un de ses points m construisons le plan tangent T à la surface 2 ; par le point m et la droite D, menons un plan Q , les deux plans T et Q se couperont suivant une droite V ; toutes les droites telles que V formeront un hyperboloîde à une nappe $, tangent à la surface donnée 2 suivant la génératrice G. La droite D sera une génératrice de cette surface 9, laquelle sera coupée par le plan P suivant une section conique S paesant par les points a et 6 et tangente à la courbe H au point b.

S"" Étant donnée une section conique C; deux points arbitraires a et 6 situés sur cette courbe ; en a on suppose un plan P passant par la tangente en ce point et dans ce plan une droite arbitraire A : en 6 on mène une droite arbitraire B parai-

léle au plaaP; maintenant , si par un point m de la courbe G et par la. droite A on fait passer un plan Q ; si par le point m et par la droite B on fait passer un second plan R, les deux plans R et Q se couperont suivant une droite V, et toutes les droites telles que Y formeront un hyperboloide à une nappe dont les droites À et B seront deux génératrices de systèmes différents.

3* Étant donnés une section conique G , et deux points arbitraires a et 6 de cette courbe^ on mène à cette courbe, savoir : en a la tangente i , en 6 la tangente T ; par t on fait passer un plan arbitraire P, et dans ce plan et par le point a une droite arbitraire A ; par T on fait passer un plan arbitraire Q , et dans ce plan et par le pointa une droite arbitraire B. Les droites A et B doivent être telles qu*elles ne se coupent pas. Maintenant si par un point m de la courbe G et par les droites A et B on fait passer deux plans, ils se couperont suivant une droite V. Toutes les droites telles que V formeront un hyperboloide à une nappe. (11 est évident que si les droites A et B se coupaient, la surface formée par les droites Y serait un cône.)

Si L'on fait passer, i** par la droite B et le point a un plan coupant le plan P suivant une droite A', 2"" par la droite A et le point b un plan coupant le plan Q suivant une droite B', et que 3* par un point m de la section conique et par chacime de ces deux nouvelles droites A' et B' on fasse passer un plan , les deux plans ainsi obtenus se couperont suivant une droite Y' ; toutes les droites telles que Y", seront les génératrices du deuxième système de Thyperboloide dont les droites Y déterminées ci«dessus donnent les génératrices du premier système.

On voit sur-le-champ que le deuxième théorème n'est qu'un cas particulier du troisième théorème qui est éhoncé dans toute sa généralité.