DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES GAUCHES

M. Gbasies a donné dans le Journal de Mathématiques une note étendue sur quelques propriétés générales des surfaces gauches (voir le tome If , page 413). Gette note a principalement pour but la démonstration du théorème suivant : Étant me-

(*) Extrait da Bulletin de U Société phitomatique , aéanoe da 26 mai 1836.

nés par une génératrice droite d'une surface gauche deux plans rectangulaires entre eux , les painês où ces deux plans touchent la surface auront entre eux celte relation y savoir : le produit de leurs distances à un ceriain point fixe, situé sur la génératrice droite considérée, est constant.

Pour démontrer ce théorème qui a été énoncé pour la première fois par M . Gliasies^ ce géomètre s'appuie sur la propriété connue, savoir : que par une génératrice droite d'nne surface gauche on peut faire passer une infinité d'hyperboloïdes tous tangents entre eux et à la surface proposée et tout le long de la génératrice donnée. Mais Ton peut faire remarquer que la démonstration du théorème serait plus prompte et plus simple, si Ton s'appuyait au contraire sur la propriété connue, savoir : que par une génératrice droite G d'une surface gauche passe une infinité de paraboloides tangents , et que parmi eux il s'en trouve un et un seul qui est rectangulaire , c'est-à-dire qui ait ses plans directeurs, P et Q , perpendiculaires entre eux ; l'un d'eux, le plan P (par exemple), étant perpendiculaire à la génératrice G.

Sans doute , M. Chastes a donné à sa démonstration la forme particulière sous laquelle il l'a présentée , parce qu'il avait en vue de rattacher son théorème à la théorie de l'involution de six points, théorie dont il avait déjà fait plusieurs applications à la géométrfe.

Démontrons la propriété énoncée ci-dessus ^ en nous servant des paraboloides gauches.

1* On sait depuis longtemps que la surface formée par les normales menées aux divers points d'une génératrice droite G d'une surface gauche forme un paraboloîde rectangulaire. Nous désignerons ce paraboloîde par N , et ces deux plans directeurs par P et Q'.

2* On sait aussi que l'on peut toujours construire un paraboloîde T, rectangulaire et tangent à la surface gauche donnée et tout le long de la génératrice droite G ; désignons par P et Q ses planadirecteurs.

3"" On sait que les deux paraboloides T et N ont un plan directeur commun qui est le plan P, lequel est perpendiculaire à la génératrice droite G, et que les deux autres plans directeurs Q et Q' sont perpendiculaires entre eux.

4"" On sait que les deux paraboloides T et N ont même sommet, lequel est situé sur la génératrice droite G.

5* On sait construire le sommet d'un paraboloîde, lorsque l'on connaît les deux directrices droites et ses deux plans directeurs.

C'est à Monge et Hachette que la géométrie descriptive doit ces divers théorèmes et les constructions graphiques qui ^'y rapportent*

Cela posé :

Il suffit de démontrer le théorème énoncé pour un paraboloîde rectangulaire, pour qu'il le soit pour une surface gauche quelconque , et il suffira de prendre pour la génératrice G l'une des deux génératrices qui se croisent au sommet de la surface paraboloîde.

Ainsi ifig. 08) :

Prenons pour plans de projections les deux plans directeurs et construisons Vépure du plan tangent en un point du paraboloîde rectangulaire , choisissant ce point sur la génératrice horizontale qui passe par le sommet.

aG , ak seront les traces du j[)araboloide sur le plan vertical et le plan horizontal.

G^ et qr seront les traces du plan tangent au point dont les projections sont G el m. .

Gb perpendiculaire à Gq et bd parallèle à pkeik qr seront les traces d'un plan ' normal au point (G, m).

Ce plan normal passant par la génératrice projetée verticalement au point G et horizontalement suivant pÀ y sera tangent au paraboloîde au point (G , n ). Le point ( G , A ) est le sommet du paraboloîde. Pour démontrer le théorème énoncé , il suffit de prouver que Ton aura :

Am X An = constante = &

Or, il suffit de jeter les yeux sur l'Eure pour lire le théorème énoncé.

Et en effet :

Les deux triangles mrA et nkd sont semblables.

Le triangle qGb est rectangle en G, et Ton a rm=i/p, nde=:ipb. On .aura donc en désignant par a Tangle rAm :

Donc

iiiA = -^i-, nA=:-2 — : et apXpfr = Gp* tangoe' tatog«' v r

— — - GP -r

mA X nA = — !-r- = constante = K

XXDfCt

Si Tangle a est égal à un angle demi-droit , alors on a :

tangarrl et wïÂ><nA=Gp*

Ainsi : le carré de la distance de la génératrice G [ par laquelle passe le plan

qui est tancent au point (G , m) et qui en môme temps est normal au point (G, n)] au plan qui , parallèle au plan directeur, coupe la surface suivant une génératrice faisant avec G un angle demi-droit, est égal au produit des distances des points (G, m) et (G, n) au sommet (G, A) du paraboloîde.

Le mode de démonstration emplojé ici a, outre sa simplicité » l'avantage de donner et la veUewr et la rignificadan géométrique do la constante K.

Si Ion considère un hyperbotoide à une nappe et de révolution , Ton sait que tous ses paraboloîdes normaux j>assent par Taxe ; si donc l'on suppose que la droite ad soit l'axe de la surface engendrée par la rotation de la droite projetée en le point G sur le plan vertical et en la droite pÀ sur le plan horizontal, Ton voit que Gp sera égal au rayon du cercle de gorge , et que a sera l'angle que la génératrice de l'hyperboloîde fait avec son axe de révolution.

D'après ce qui- précède, il est évident : V que le lieu des points fixes et qui existent sur les diverses génératrices d'un paraboloîde rectangulaire (et il n'y a qu'un point fixe pour chaque génératrice) n'est autre que les deux génératrices de systèmes différents qui se croisent, et à angle droit, au sommet de la surface ; et 2* que le lieu des points fixes pour un hyperboloîde à une nappe et de révolu* tion ^ n'est autre que le cercle M gorge.

Nous allons indiquer plusieurs propriétés dont jouissent les diverses surfaces gauches engendrées par une droite qui , en s'appuyant sur deux droites fixes , se meut parallèlement aux génératrices successives d*un cône du second degré.

Désignons par À et B les directrices droites et fixes dans Tespace ; construisons deux plans parallèles entre eux et à ces deux droites , l'un P passant par la droite A, l'autre Q passant par la droite B. Concevons ensuite un cône du second degré dont le sommet se meut sur la droite A , sa base E située sur le plan Q se mouvant sans changer de forme sur ce plan Q , pendant que le cône ,ise meut parallèlement à lui-même , son sommet glissant sur la droite A.

£n chacune de ses positions la courbe E sera coupée par la droite fi en un ou deux points, lesquels , étant unis à la position occupée en ce moment par le sommet , donneront une ou deux génératrices droites d'une surface gauche 1.

La courbe E peut être une ellipse , une parabole , ou une hyperbole.

l"" Lorsqu'elle est une ellipse, cette courbe E est toujours coupée en deux points par la droite B^ mais en deux positions la droite lui est tangente et les

deux génératrices qui correspondent aux deux points de contact sont teÛk^ ^^^M^. la surface 1 est développable tout le long de chacune d'elles. En faisant passer par la droite A deux plans tangents au cône, quelle que soit sa position , on obtiendrait deux génératrices de contact qui , en les faisant glisser parallèlement à elles-mêmes jusqu'à ce qu'elles s'appuient sur les droites A et B, donneraient deux génératrices de la surface gauche 1 pour lesquelles la surface serait encore développable. ^

On voit donc que lorsque la courbe E est une ellipse, la surface gauche 1 a quatre génératrices droites, suivant lesquelles sa surface est développable.

2"* La courbe E étant une parabole , la droite B peut être parallèle ou non à son axe infini; dans le premier cas, la droite B ne coupe la courbe E qu'en un point et toujours en deux points dans le second cas; on aura donc deux surfaces gauches leil^ , distinctes dans le cas où la courbe E est une parabole.

3*" La courbe E étant une hyperbole, la droite B peut couper les deux branches ou une seule branche de cette courbe E, et dans l'un et l'autre cas ea deux points, et dès brs on a encore deux surfaces gauches 2 et 2' distinctes.

4** Enfin les droites B et A peuvent être parallèles aux asymptotes de la courbe E , et alors la surface gauche 1 est un hyperboloide à une nappe.

Les surfaces gauches ayant deux droites directrices et un cône directeur du deuxième degré, forment donc six surfaces distinctes, dont une seule est du second degré. Les cinq premières surfaces sont composées de deux ou quatre nappes qui se croisent suivant les droites A et B; et il^era facile de reconnaître et de construire les génératrices droites , suivant lesquelles chacune de leurs nappes est développable; et l'on voit de suite que l'hyperboloîde ne possède aucune génératrice droite de ce genre.

Si Ton considère une génératrice droite G de la surface gauche pour laquelle la courbe E est une ellipse, on peut se demander si l'hyperboloide osculateur le long de cette génératrice droite G aura une osculation du troisième ordre.

Pour que l'osculation de l'hyperboloide fût du troisième ordre , il faudrait que l'on pût construire une hyperbole osculatrice du troisième ordre à l'ellipse E et au point p en lequel la génératrice^ du cône directeur (laquelle génératrice^ est parallèle à la droite G) perce la courbe E , et que de plus cette hyperbole eût ses asymptotes parallèles aux droites A et B; or cette hyperbole n'existe pas pour un point quelconque d'une ellipse, mais pour quatre points particuliers qu'il est facile de construire. Et en effet, il suffit de mener par le centre de l'ellipse E deux droites A' et B', respectivement parallèles aux droites A et B; ces deux droites couperont Tellipse E, savoir : B' en 6 et b\ et A' en a et n'; ces quatre

points formeront les sommets d'un parallélogramme inscrit à Tellipse E. Les diamètres de Fellipse E , parallèles aux côtés de ce parallélogramme , seront conjugués entre eux et couperont la courbe E en 4 points pour chacun desquels on pourra construire une branche d'hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux droites A et B et ayant de plus une osculation du troisième ordre avec Tellipse E.

s. . « -iJ