THÉORÈMES RELATIFS A LA SOMMB DES AIRES DE TROIS SECTIONS PLANES

d'une SURFACE {*).

r THÉORÈME.

Étant donné tin ellipidideS dont tesdemi-axes seront a, hj c\si ton Unagine un angle trièdre y dont les faces soient respectivement panUlèles aux plans principaux de la surface S , et dont le sommet p se meuve sur un ellipsotde S' intérieur et concentrique au

premier, et dont les demi-axes soieni ("")"> (^)*» ("")"» » ^^^'^^ arbitraire y la

somme des aires des 3 sections faites dans la surface S par les plans des faces de C angle trièdre sera constante.

En eflTet :

L'équation d'un ellipsoïde à trois axes, rapportée à ses plans principaux, est : a'6'a:' + a Vy' -h 6 Va" c= a'6 V»

Ses demi-axes étant c dans le sens des Xm

— b dans le sens des y. •

— a dans le sens des z.

Si par un point dont les coordonnées sont Xf y y z, je fais passer 3 plans respectivement parallèles aux plans coordonnés, l'on aura pour les équations des eittpses d'intersection ,

(*) Extrait du Bulletin nniTenel dai icieiicep^ publié lotif la direction de M. le baron de FérusMc , cahier de juin 1831 , aectîon 1**.

!• a: 3= «'jaVy' 4- **cV =: a'A' (c* — «'• ) ellipse dans le plan parallèle aux « y ; a'A'a:* 4- A V«' = a V ( 6' — y'^ ) ellipse dans le plan paratlèle aux x x ; a*6V + a'cy =; 6V ( a* — z" ) ellipse dans le plan parallèle aux ^r y ^

Les demi'-axes de la 4 '• ellipse sont : « = — v^(f— «'* et jf = — V/c' — x"

— 3* — j(î=— |/i^ «» et «« — J/'a* -x"

A et B étant les demi-axes d'une ellipse, Ton sait que sa surface est exprimée

par n • AB.

eh Ainsi : Taire de la 1" ellipse sera exprimée par n . -^ (c" — a?")

— 3* - u.^{a^-z-) et la somme de 3 aires sera exprimée par :

Cette somme sera constante si (a'6'x ' + 6W' + aVy'') est égal i une quantité constante.

Par conséquent : a^b^x* + 6W*^ -f- aVy ' = N sera Téquation de la surface lieu des points de l'espace satisfaisant à la condition que la somme des 3 aires soit constante.

Je puis attribuer à N toutes valeurs, par conséquent je puis écrire :

ef b' x" -\- b' <f xf + «fc'iC = ^-^ , n étant arbitraire.

La surface est donc un ellipsoïde concentrique à Tellipsoide donné, ayant mêmes plans principaux, et dont les demi-axes seront :

Dans le sens des x

Dans le sens Dans le sens

de, ., (iy^

Les sections elliptiques ne peuvent être imaginaires; par conséquent, il faut que Tellipsoide parcouru par le sommet de l'angle trièdre soit intérieur à Tellipsoîdé donné.. De ce qui précède. Ton déduit le théorème suivant :

Si ton inscrit éfans iellipsotde S^ une série de parallélipipèdes rectangles dont les faces soient respectivement parallèles aux plans principaux de C ellipsoïde S ; la somme des aires des 6 sections faites dans la surface S par tes faces de chaque parallélipipède , sera constante.

Étant donné un ellipscide S dont les demi^diamètres conjugués sont a^ b^, c', si Von imagine un angle trièdre dont les faces soient respectivement parallèles aux plans diamétraux conjugués de la surfaceS y et dont le sommet p se meuve sur un ellipsoïde S' intérieur et concentrique au premier^ et dont les demi-diamètres conjugués soient :

L—. /At ^ M4 > /j^V

m étant arbitraire, la iomme des mret de» 3 tections faUet dan$ la surface S par Ut face» de tonale trièdre , sera conttante.

En effet, remarquant que Tellipsoide à 3 axes inégaux a pour équation :

lorsqu^on le suppose rapporté à trois plans diamétraux conjugués.

Les demi-diamètres conjugués étant alors, en prenant les plans diamétraux pour plans coordonnés :

Dans le sens des x, — c'

Dans le sens des y, — b'

Dans le sens des z, — a'.

Si, comme précédemment, Ton prend un point dont les coordonnées obliques soient x\ y\ z\ et que l'on imi|[ine un angle trièdre dont le sommet soit en ce pQint , et dont les faces soient respectivement parallèles aux 3 plans diamétraux conjugués; on trouvera que les diamètres conjugués des 3 ellipses de seclion seront :

Pour la i" ellipse: a= %{/(f'^arety = - [/c'* — x"

— 3* — y= -t/«"— *"et«= -, V^a"— «"

Mais on sait que le rectangle construit sur les demi-axes d'u^e ellipse est égal au parallélogramme construit sur ses demi-diamétres conjugués , et qu'ainsi» désignant par a Tangle compris entre les diamètres conjugués désignés eux-mêmes par A' et B', la surface de Fellipse sera exprimée par :

n . A'B'sinot.

Ainsi : l'aire de la 1'* ellipse de section sera exprimée par II • -^ («"— af') sin (x, y)

désignant par (xy) , (zx) » (xy) les angles que font respectivement entre eux les axes des coordonnés.

La somme des 3 aires sera donc exprimée par :

n I a/b' sin (jv, y) -{* ^C sin {x, x) -^ ft V sin {x, y) —

Cette somme sera constante si le terme fonction de x\ z\ y* est constant. Par conséquent :

a/^V^ sin {x, y) a?"+ 6' V» sin (y, «:)«" + a' V sin [x, «) y^ = N

sera Féquation de la surface lieu des sommets de l'angle trièdre, et satisfaisant à la condition que la somme des 3 aires soit constante. On peut poser :

m étant arbitraire , et l'on trouve que les demi- diamètres conjugués de l'ellipsoïde lieu des sommets de l'angle triédre^ sont :

Dans le sens des x

V/sin (y, X) \»w/

i/8in{z,x) y^J

De ce qui précède on déduit le théorème suivant :

Si ton inscrit dans C ellipsoïde S'tme série de parallélipipèdes obliques , dont les faces soient respectivement parallèles à Vun des systèmes de plans diamétraux conjugués de r ellipsoïde S , la somme des aires des 6 sections faites dans la surface S parles faces de chaque parallélipipèdé j sera constante.

Lorsque la surface S est de révolution, la surface S' est aussi de révolution , puisque si, dans Téquation de la surface S' Ton fait b;=:Cf Ton trouve :

Et en supposant Nsa--,-, Ton aura pour l'équation de la surface S' dans le cas où la surface S est de révolution :

n est arbitraire, si on lui suppose la valeur fi = a) ; alors on trouve zsisa pour

x'=sOet y =0, et x'' + î/'"s= - pour z = 0.

Pour cette valeur particulière de n , la surface S' sera tangente aux deux sommets de la surface S.

Si Ton suppose que n=c y alors les axes de l'ellipse méridienne de la surface

S' seront : i** dans le sens de l'axe de rotation , égal à \/ —, et 2* perpendiculairement à cet axe égal à c. Dès lors la surface S' sera tangente à la surface S , suivant le cercle équateur.

Le 2* théorème est encore vrai dans le cas où la surface S est de révolution ; mais il peut se généraliser, en remarquant que pour une surface de révolution, deux plans rectangulaires entre eux et passant par Taxe de rotation,

peuvent toujours être considérés comme deux plans principaux de la surface. De sorte que l'on peut énoncer les deux théorèmes suivants :

Si l'on a un ellipsoïde de révolution S engendré par une ellipse méridienne dont les demi-axes sont^y c(raxe c étant celui de rotation); si Von construit un second ellipsoïde de révolution S' concentrique et intérieur au premier engendré par une ellipse mérh-

diennedontlesdemi'axessoient\^y j (-)*»» étant arbitraire ^ (l'axè f-V étant celui

de rotation ) , tout paralléUpipède rectangle inscrit à la surface S', donnera dans la surface S six sections planes dont la somme des aires sera constante.

Étant donné un ellipsoïde de révolution S , si ton fait passer par une droite parais lète à C axe de rotation y et tangente à C ellipsoïde ou le coupant en deux points y deux plans rectangulaires entre eux y la somme des aires des deux sections sera constante.

Si l'on suppose quç les ^axes a, by c de Tellipsoide S sont égaux , alors la surface donnée sera une sphère dont Téquation sera :

et dans ce cas la somme des aires sera exprimée par :

n { 3R' — (ar** ^- y'* + O |

La surface S'^ lieu des sommets de l'angle trièdre mobile, aura donc pour équation , x^ + y' -f *''===^' ; r étant arbitraire , mais r sera=: ou < R , pour qu'aucune des trois sections ne soit imaginaire.

Remarquons : 1* Que lorsque le point (x\ y', z') est situé sur la sphère donnée y la somme des aires des 3 sections est égale à 2nR\ c'est-à-diré à deux fois la surface d*un grand cercle.

2' Que si , par une tangente à la sphère , Ton fait passer deux plans perpendiculaires entre eux, la somme des aires des deux sections sera constante et égale i la surface d'un grand cercle.

3* Que si le point (x'y y\ z') est situé dans Tintérieur de la sphère y appelant D

sa distance au centre de la surface , la somme des aires des trois sections sera

exprimée par :

j 2nR'+n(R'— D'j} ou par |3nR*— iiD'j

c'est-à-dire sera égale à trois grands cereles de la sphère, moins la surface Ju cercle , ayant pour rayon la distance du centre au point considéré.

4« Que si la droite par laquelle passent les deux plans perpendiculaires entre eux y au lieu d*ètre tangente à la sphère, se trouve être sécante; appelant D la perpendiculaire abaissée du centre de la surface sur cette sécante, la somme des aires des deux sections sera exprimée par :

jnR'4- n(R* — D')^ ou par {20»* — n.D*}

c'esi-à-dire , sera égale à deux grands cercles de la sphère, moins la surface du cercle ayant pour rayon la plus courte distance existant entre le centre et la sécante considérée. D'après ce qui précède, on peut énoncer les théorèmes suivants :

Ëlant donnée une sphère , si ton imagine (fue le sommet éCun angle trièdre trirectangle se meut sur une sphère concentrique et intérieure à la première , pu sur la sphère donnée , ses faces restant pendant le mouvement respectivement parallèles à 3 plans rectanguUdres entre eux , la somme des aires des 3 sections faites dans la sphère donnée , sera constante. .

Étant donnée une sphère , si Con inscrit dans une sphère intérieure et concentrique , ou dans la sphère donnée y une série de paratlélipipèdes rectangles , la somme des aires des 6, sections faites par leurs faces dans la sphère donnée ^ sera constante.

Étant donnée une sphère^ si F on prend un point dans son intérieur ou sur sa surface^ et qtion le regarde com^ne le sommet dun angle trièdre trirectangle , quelque position que puisse prendre tangle trièdre autour de son sommet , la somme des aires des 3 sec^ tions sera Ungours constante.

Ce 9* théorème est celui que Carnot a donné dans sa géométrie de position, et Ton voit qu'il se déduit , comme corollaire , de ce qui précède.

Si maintenant Ton passe de l'espace dans le plan, et que Ton cherche quels sont pour le cercle les théorèmes analogues de ceux que nous avons trouvés pour la sphère , remarquant que deux cercles sont semblables , et que les aires des figures semblables sont entre elles comme les xsarrés de leurs lignes homologues, Ion retrouve les deux théorèmes connus :

l*" La somme des carrés de deux cordes se coupant à angle droit sur la circonférence d'un cercle^ est constante et égale au carré du diamètre.

Car, d'après la remarque n* 2, appelant r etr' les diamètres des deux sections circulaires, et D le diamètre de la sphère, Ton a :

d*où :

nr* , n r^ __ n D'

S"" La somme des carrés de deux cordes se coupant à angle droit en un point situé dans l'intérieur du cercle , est constante et égale à 2 fois le carré du diamètre du cercle^ moins 4 fois le carré de la distance du point au centre du cercle.

Car , d'après la remarque n"" 4 , appelant D le diamètre de la sphère et d la distance du point au centre , r et r' les diamètres des deux sections circulaires se coupant à angle droit au point considéré dans l'intérieur de la sphère, on a :

d'où :

nr' , nr^ 2nD' ^ 2nD*

4rur

Cherchons maintenant si les théorèmes relatifs à l'ellipsoïde de révolution ne subsistent pas pour toute surface de révolution fermée, ou, en d'autres termes , pour toute surface engendrée par une courbe méridienne fermée et ayant un axe. On sait que l'équation générale des surfaces de révolution , ayant l'axe desz pour axe de rotation et rapportées d'ailleurs à 3 plans rectangulaires entre eux, est :

Si, par un point dont les coordonnées sonta;^ y\ z', l'on fait passer trois plans respectivement parallèles aux plans coordonnés , l'on trouve que les équations de leurs sections avec la surface » sont :

i* pour le plan parallèle aux xy 2* — y%

3' — xz

* = «' et X' + y' = 9 {z) X = x' et y' = <p (z) — «'• y = y ei x»=9(»)— y"

La première section est un cercle dont l'aire est exprimée par :

u . K = 11 ('x' +tf) = n. f{z')

— 377 ~ La $eoonde section aura son aire exprimée par :

i{yds^%\dx\/,f(z)'-ar

L'intégrale étant prise entre les limites a. et a.; ces limites étant données par l'équation de la courbe y' =9 («) — «'* dans laquelle on devra faire y =0

Par conséquent 7 (*) —«''==© étant l'équation qui donne les valeurs limiles de z, l'intégrale sera une fonction de x''.

L'on peut donc écrire :

îCyds = F(«'*)

La troisième section aura son aire exprimée par :

^\xdz = 2\dz V/^(a) — y''

Cette intégrale devra être prise entre les limites données par réqqation par conséquent l'on pourra écrire :

{xdz=r(^)

Mais il est évident que les deux fonctions F' et F sont symétriques ; que connaissant Tune , pour avoir l'autre il suffira de ren^placer x'* par y'\ ou vice vergd. La somme des aires peut donc s'écrire ainsi :

Tl.y(0+F(ir") + F(y'-) et, comme cette somme doit, par supposition , être constante ^ on devra poser :