II . y(s') + F{x'^) + F (y") = C

C étant arbitraire.

L'équation (1) sera l'équation de la surface, lieu des sommets de l'angle triédre trirectangle et mobile , satisfaisant à la condition que la somme des aires des trois sections , faites dans la surface de révolution par ses trois faces , est constante.

Démontrons maintenant que cette surface est de révolution.

La surface représentée par l'équation (1) est rapportée aux plans coordonnés primitifs; si, dans cette équation , Ton fait d'abord x'=0^ ensuite y =^0, l'on trouve que les deux sections faites dans cette surface par les plans des zy et des %Xj

sont deux courbes identiques ; il resterait à montrer que tout plan passant par Taxedes 2 coupera toujours cette surface suivant la même courbe. Or^ si Ton rapporte la surface de révolution donnée à trois nouveaux plans rectangulaires entre eux, dont Tun soit toujours le même et perpendiculaire à Taxe de rotation et les deux autres passant par Taxe de rotation ; désignant par Y" et X" les nouveaux axes , Fon voit que Ton aura y"' + aj"'=jc'+y%et que, par conséquent » l'équation «•+y'=<p(*) de la surface de révolution se transformera en :

lorsque la surface sera rapportée aux trois nouveaux plans.

Si y par rapport à cette équation (2) , Ton refait les calculs précédents , Ton trouvera que la somme des aires est toijgours exprimée par :

par conséquent les courbes de sections obtenues dans la surface, dont l'équa* tion est (1), par les nouveaux plans zy" et %x" seront les mêmes que celles obtenues par les anciens plans xy et zx.

La surface lieu du sommet de Tangle trièdre mobile est donc 'une sur&ce de révolution, ayant même axe de rotation que la surface proposée. Dès lors réquation

nç(z') + F|»^) + F(y")=C

pourra s'écrire ainsi :

On en iloit donc conclure que l'intégrale de la différentielle cfej/ç {z) — x* , les limites étant données par l'équation 9(2) — x'*:=0, sera toujours, quelle que soit la forme de la fonction 9, une fonction linéaire de x*. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Pour toute surface de révolution &, il existe une infinité de surfaces de révolution S' {ayanU même axe de rotation que la proposée) , et telles que , si ton imagine que le sommet dun angle trièdre trireclangte se meuve sur la surface S', Cune des faces de t angle trièdre restant j pendant le mouvement perpendiculaire à Taxe de rotoAon^ la somme des aires des trois sections planes ^ obtenues dans la surface S, sera constante.

De ce théorème on déduit les deux corollaires suivants :

i* Si Con inscrit dans la surface S' une série de paralMipipèdes rectangles , la somme des aires des 6 sections planes^ données par diacun éCeuw , dans la surface S , sera consUmte.

2* Si par unedroke tangente ou $écante^ à une surface de révolutàen quelconque , et parallèle à Caxe de rotation y ton fait passer deux plans rectangulaires entre eux y la somme des aires des deux sections planes sera constante.

Voyons maintenant si le théorème relatif à l'ellipsoïde à trois axes inégaux , et rapporté à ses plans principaux ou diamétraux, n'a pas son analogue pour une surface quelconque , mais fermée.

L'équation d'une surface rapportée à 3 plans rectangulaires entre eux , est :

Og peut supposer cette équation résolue par rapport à l'une quelconque des 8 variables » et alors la surface sera représentée par l'une des 3 équations suivantes :

l"|a = y(jp,y) ou 2«|a:=x(ï,z) ou 3* | » =xF(Jt:, *)

Si par un point dont les coordonnées sont x'j y' y z\ l'on fait passer trois plans respectivement parallèles aux plans coordonnés, Ton aursl pour les équations des sections :

i"" pour la section parallèle aux xy ^ — — yz

y — — xz

z=3z' et yï=F(x,J5') xt=iX^ et z=r:cp(y, x)

y^y et a;=x(«i y)

Taire de la premiéfe section sera exprimée par :.

\ydx = iixF(x^z')

L intégrale étant prise entre les limites x=sx, eixzssx^.

Ces limites seront obtenues en différentiant l'équation de la courbe , et égalant

à zéro la valeur du ^, ce qui donnera les valeurs de x, et x^ limites, en fonction

de «'.

On peut donc écrire : Vj^saF^O*

L'aire de la seconde section sera exprimée par \zdy^=s^X^')

Taire de la troisième section sera exprimée par \xdy=3sx,(y') et la somme des aires sera exprimée par :

qui sera ime fonclion de x^y^ Zy que Ton pourra toujours égaler à une constante arbitraire.

Ainsi /. (jjc'j y y z')=: G sera l'équaiion de la surface lieu des sommets de l'angle trièdre trirectangle mobile , satisfaisant a la condition que la somme des aires des trois sections est constante. Cette surface variera de forme à chaque valeur particulière que Ton attribuera à ta constante C,

Remarquons que lorsqu'une surface est rapportée à 3 plans rectangulaires entre eux, Ton peut, au moyen des formules propres à passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système rectangulaire, changer la position que les 3 plans des coordonnées affectaient dans l'espace par rapport à la surface; mais alors, Téquation de la surface étant/(a;, y, %)-=sXi pour les premiers olans coordonnés, changera et deviendra f{x^ y, z)=0 pour le second système des plans coordonnés. Dès lors, l'équation de la surface, lieu des sommets de Tangle trièdre étant dans le premier eas/(a;\ y', 2')=0, deviendra dans le deuxième cas

/i"(^\ y'j 2')=^» ^^ d^^ '^^^9 1^^ surfaces lieu des sommets ne seront pas de même nature dans les deux cas.

On peut donc , d'après ce qui précède, énoncer le théorème suivant.

ÊUmi donnée trois plans rectangiUaires entre eux et une surface quelconque , mais fermée S , t7 existe toujours une série de surfaces de même nature S', telles que si le sommet dun angle trièdre trirectangle se meut sur la surface S', les faces de Cangle trièdre restant pendant te mouvement respectivement parallèles aux trois plans donnés , la somme des aires des trois sections» planes de la surface S est constante.

Et pour chaque position nouvelle que l'on donnera aux trois plans rectangulaires par rapport à la surface S, il existera toujours une nouvelle série de surfaces S'' de même nature entre elles, qui pourront être le lieu des sommets de l'angle trièdre ; mais les surfaces, telles que S\ ne seront pas du même genre que celles telles que S".

Lorsqu'une surface est rapportée à des plans obliques , si on la coupe par un plan parallèle à l'un des plans coordonnés , l'équation de la section se trouve rapportée à des axes obliques ; mais comme l'on^peut toujours, au moyen des formules de transformation des coordonnées , trouver l'équation de cette courbe , en la supposant rapportée à des axes rectangulaires , il sera toujours possible de trouver l'expression de son aire en fonction des coordonnées x\ y, z' du sommet de l'angle trièdre.

Dès lors l'on peut énoncer le théorème suivant :

Si Ion a trois plans obliques entre eux et une surface S , (/ existera toujours une infi--

niié de surfaces S', telles quêtant le lieu des sommets (Cun angle trièdre mobile dont les face^ resteraient pendant le mouvetnent respectivement parallèles aux trois plans donnés ^ la somme des aires des trois sections sera constante^

SDR QUELQUE» PROPRIÉTÉS DE l'eLLIPSOÎDE A TROIS AXES INÉCAUX (*).

l'* Oh sait que les triangles équilatéraux inscrits et circonscrits à un cercle , ont pour centre de gravité le centre de ce cercle.

Désignons par T Taire du triangle inscrit, par T, Taire du triangle circonscrit^ et par C Taire du cepcle.

2* Si Ton projette sur un plan P et parallèlement à une droite D les aires C, T, T, , on obtiendra les aires E, T', T', ,

E étant Taire de Tellipse projection oblique du cercle G ,

T' — du triangle — — du triangle inscrit au cercle C ,

T', — du triangle — — datriangle circonscrit au cercle G..

On sait que les triangles T' et T', auront pour centre de gravité le centre de^ Tellipse E.

y On peut inscrire et circonscrire au cercle G une infinité de triangles équila* léraux : tous les triangles inscrits ont même aire. Il en est de niëme pour les triangles circonscrits.

Désignant donc par T', T", T"\.,. les aires des projections obliques sur le plan P des triangles inscrits , et par T',, T\ ^ T'\ ,... les aires des projections obliques sur le même plan P des triangles circonscrits, on aura :

T'=:T"='P"=... et r, = T". = T'". = ...

À!" Les aires du cercle G (du rayon R) et du triangle équilatéral inscrit T, sont entre elles r: ttR* : — ^—.

<*) Extrait dv ioumftl de Malliëniatiqnes pares> et appliquées, publié par H. LionTille.

On aura donc toujours , quel que soit te ratyon R ,

- = ——1 = constante » N et - ai conttaAte = N,

OÙ l'on désigne par c' Taire d'un cercle d'un rayon arbitraire, et par i et l' les aires de deux triangles équilatéraux inscrits et circonscrits à ce cercle. On aura

donc ( puisque ^ = constante = N et ^- = constante =:N,)

T", =Ç5r =fm = = constante = M

;=rr = =^=: — TT- = = constante = M,

Par conséquent si, étant données deux ellipses E et E', on inscrit les triangles 0 à E et 0' à E', ces deux triangles ayant leur centre de granité situés , le premier au centre de la courbe E , et le second , aussi , au centre de la courbe E\ les aires des deux ellipses seront entre elles comme les aires des deux triangles; tes ûres des deux ellipses seront donc égales , si celles des deux triangles sont égales.

Cela posé :

5"" Résolvons le problème suivant :

hiêcrire et circonscrire à une ellipse E deux triangles ayant pour centre de gravité le centre de la courbe donnée.

Construction. Ayant déterminé le centre o de l'ellipse E, ayant mené par ce centre une droite arbitraire K coupant Fellipse aux points 6 et^' ; on partagera le diamètre bb' en quatre parties égales entre elles. ( Désignons par / la longueur d'une des parties. )

Construisons au point b la tangente B à Fellipse.

Portons sur la droite K, à partir du point b, une longueur =: 3/, on aura un point a.

Menons par ce point a une droite L parallèle à la tangente B , et coupant l'ellipse aux deux^oints x et x\ la corde xx' sera la conjuguée du diamètre bb'^ dés lors le point a sera le milieu de celte corde.

Portons sur la droite K, à partir du point 6, une longueur =6. /, on aura un point p , et les droites px et po;' seront tangentes à l'ellipse, l'une au point x et Tautre au point x'.

Joignons beiXjb'ei x\ on aura un parallélogramme bxpx\ et le triangle 6m:'

moitié de ce parallélogramme , sera inscrit à l'ellipse E , et aura son centre de gravité situé au centre o de cette courbe.

Prolongeons les tangentes px, px\ elles couperont la droite B, la première en Tin point t/j et la seconde en un point y y le triangle pyy sera circonscrit à Tellipse E, et son centre de gravité sera situé au centre a de cette courbe.

Les deux triangles pyy- et bxx' sont semblables et inversement placés l'un par rapport à l'autre, et jouissent des propriétés suivantes :

Les droites xy et xy passent par le centre o et coupent respectivement les côtés bx' et bx en leur milieu.

Les points 6, x^ x' so&t respectivement le milieu des côtés du triangle circonscrit^ etc.

En un root, toutes les propriétés qui existent pour deux triangles équilatéraux, inscrit et circonscrit à un cercle , se reproduiront sur la projection , en vertu du principe fondamental des projections cylindriques, savoir : que les rapports de grandeur entre les droites né sont point altérés , et qu'une tangente à une courbe se projette suivant une tangente à la projection de la courbe.

Faisant la même construction que ci-dessus pour chaque diamètre de Fellipse £, on obtiendra une série de triangles inscrits T', T\ T", ... et circonscrits T'. , T". , T'", , ... ayant tous pour centre de gravité commun , le centre o de l'ellipse donnée E. ^

6* Si donc l'on considère la courbe E comme la base d'un cône ayant pour sommet un point arbitraire S de l'espace , toutes les pyramides qui auront pour sommet commun le point S, et pour bases les triangles inscrits, auront môme volume ; il en sera de même pour les pyramides ayant le même point S pour sommet commun , et pour bases les triangles circonscrits.

Et les volumes d'une pyramide inscrite et du cône seront entre eux lli/^lHi:.

Par le centre o d'une sphère S (du rayon R) , concevons trois axes rectanguk4res entre eux X , T, Z , perçant respectivement la surface irux points a^ b, d, on aura une pyramide trirectangle (o , n^cf).

Le tffiangle base abd sera équilatéral ; te plan de ce triangle coupera la sphère suivant un cercle C , dont le centre sera le centre de gravité du triangle abd.

Le cercle G se projettera orthogonalement sur le plan XY, suivant une ellipse E, et le triangle abd suivant le triangle rectangle oab.

Le triangle oa6 sera inscrit à l'ellipse E et aura son centre de gravité situé au. centre de cette courbe. .

Si Ton abaisse du centre o une perpendiculaire r sur la droite tib ^ et que Ton décrive du centre o avec le rayon r, et dans le plan XY/un cercle G', Ton pourra imaginer un cône de révolution l (ayant C pour base et le point d pour sommet).

Tout plan tangent à ce cône l coupera la sphère S suivant des cercles égaux entre eux et au cercle G , lesquels se projetteront sur le plan XY, suivant des ellipses dont les aires seront égales entre elles et à celle de Tellipse E.

Et cela aura lieu pour tout autre système formé par trois droites rectangulaires entre elles X', Y', Z', et se croisant au centre de la sphère ; de sorte que les plans des triangles abdy a'b'd!^ ... seront tangents à une sphère S' concentrique à la sphère S ^ et le point de contact de chacun de ces plans sera le centre de gravité de chacun des triangles.

On sait que le rayon de la sphère S étant égal â R.

V Le rayon du cercle G est égal à : —^ , ou à : R \/ - 2* Le rayon r du cercle C' est égal à : ô^^> ou à : R V/ j

3* Le rayon de la sphère S' est égal à : -— r , ou à : R \/ r

Cela posé , *

Concevons par le centre o de la sphère S

l"" Les trois axes rectangulaires X, Y, Z 2** Trois droites arbitraires X., Y,, Z,

Prenons un point m sur la sphère ; abaissons de ce point une perpendiculaire % sur le plan XY, et perçant ce plan au point t , par le point i menons une perpendiculaire y h Taxe X et rencontrant cette droite au point u.

Les trois coordonnées du point m seront :

à partir du point o, portons sur X, la droite ou, =M .â;; par le point u, menons

une droite parallèle à Y^ et prenons sur cette droite une longueur u,i,=M't/; par le point i,y menons une parallèle à Z,, et prenons sur cette droite une longueur

Le point m, sera le transformé du point m.

Faisant la même construction pour tous les points de la sphère S ( Bl , M', AT' restant constants), le lieu des points m, sera, ainsi qu'on le sait, un ellipsoïde X, auquel on donne le nom de surface transformée cylindrique de la sphère S.

Les axes X, , Y, , Z, , perceront la surface X en les points a,^ 6, , c, , et Ton aura : ^=M. R, o6^=M'.R, <>c,=M''.,R. ( Les points a, , A,, c., étant respectivement les transformés des points a, 6 , c, en lesquels la sphère S se trouve percée par les

axes X , Y, Z. )

Représentons M.R par Â^ M'* R par B, M^R par D; A, B^ D^ seront les -demi-diamètres conjugués de Tellipsoîde X.

Par ce mode de transformation , souvent employé par les géomètres modernes, on transforme ainsi qu'on le sait :

i"" Une droite en une autre droite, et deux droites parallèles en deux autres droites aussi parallèles ;

2"* Un plan en un autre plan , et deux plans parallèles en deux autres plans aussi parallèles ;

3"" Une surface du second degré en une autre surface du second degré et du même genre.

4"" Trois points p, q, r, situés sur une droite K, en trois autres points p.99,, r,, silués sur une droite K, et tels, que les rapports entre leurs distances restent les mêmes que ceux qui existaient entre les distances respectives des points primitifs

b^ Un plan tangent T à la sphère S , en un plan T. tangent à l'ellipsoide X;

6*" Uii système quelconque de trois droites rectangulaires entre elles L, L', V\ et se croisant au centre de la sphère S, en un système de trois droites L,, L\, L",, qui sont les directions d'un système de diamètres conjugués de rellipsoide X trmsfarmé de la sphère S (*)•

Gela posé 1

Les résultats suivants deviennent évidents et peuvent être fecilement énoncés •sous forme de théorèmes (^^).

i. Étant donné un ellipsoïde X, dont les demi-axes seront A, B, D, ^construisons un ellipsoïde X' concentrique et semblable, et semblablement placé par rapport à la surface X; les demi-axes de la surface X' étant :

»/iî' "v^ai' "v/âî

.(*) Le&résaltata énoncés sona les &*" 1, 2, 3, 4, 5 et 6 penrent donc être obtenus et démontrés par la géométrie descriptiTO, sans avoir recours à Y analyse ( Voyez à ce sujet le 6" et dernier chapitre de la l^* partie du Côun de géométrie descriptive , et le 12* et dernier chapitre de la 2* partie du même ouTrage.

(**) La plupart de ces théorèmes sont déjà connus. Mais le mode de démonstration -dont je fais ilsage n'est pas le même que celui qui avait été employé. ( Yoir le Mémoire de M. Chasles , t. 111 de la Corres^ pondance sur PÉcole polytectinique , publiée par Haehette.)

Concevons un dianiétre À' derdlipsoide V perçant eette surface en un point a% par ce point a menons un plan T' tangent à cet ellipsoïde X', le fioint de contact étant i.

Le plan T' coupera Fellipsoide X suivant une ellipse E' dont le centre sera en i.

Si Ton inscrit à laconique E^ le triangleayant un de ses sommets en a', et ayant pour centre de gravité le point i (désignant par V et é les deux antres sommets de ce triangle l')» les trois diamètres passant par les points a\ b\ i^ formeront un système de diamètres conjugués de la surface X.

2. Par le pointa on peut mener une infinité de plans tangents à la surface X^; ces plans auront pour surface-enveloppe un cône G^ ayant a! pour sommet, et qui sera tangent à Tellipsoide X' suivant une ellipse g.

Dès lors, on aura une infinité de systèmes de diamètres conjugués ^ ayant en commun le diamètre A'-, dès lors, les extrémités des diamètres conjugués formant chaque système, seront les sommets de triangles, ayant tous le point a! pour sommet commun , et le centre de gravité de chacun de ces triangles , sera situé sur l'eUipse g.

3. Si l'on mène un plan T tangent à Tellipsoide intérieur X', ce plan coupant -rellipsoîde X suivant une ellipse E ; si Ton inscrit à Tellipse E, les divers triangles 0, O'y 9'^ etc., ayant leur centre de gravité au centre de la courbe E^ chacun de ces triangles sera la base d'une pyramide , ayant son sommet au centre de la surface X, et dont les trois arêtes se croisant au sommet, formeront un système de diamètres conjugués de cette surface.

4. Étant donnés trois demi*diamètres conjugués A^ B', D'de l'ellipsoïde X ; désignant par a\ b\ d'ies points en lesquelsla surface se trouve percée respectivement par ces demi*diamé très, désignant par 6' le cône tangent à l'ellipsoide X', et dont le sommet est en a; désignant par AM'ellipse, section du cône G^ par Un plan Q, lequel passe par les deux autres demi-diamètres B' et D', on aura les^ résultats suivants :

Tout plan P tangent au cône G' coupera l'ellipsoide X suivant une eUipse E qui se projettera (par un cylindre parallèle au diamètre A'), sur le plan Q suivant une ellipse E\

Toutes les ellipses E' auront même aire.

Chaque ellipse E' aura son centre situé sur l'eHipse h! et passera par le centre de la surface h

Le triangle a\ 6-, d' se projettera (au moyen du même mode de projection oblique) , sur le plan Q suivant un triangle T' dont le centre de gravité sera situé au centre de l'ellipse E'.

Tous les triangles T' auront même aire.

5. En se rappelant , l"" que l'aire du parallélogramme construit sur deux demi-

diamètres conjugués d'une ellipse est constante et égale à celle du rectangle construit sur les demi-axes de cette courbe ; 2'' que leWolume du parallélipipède oblique, construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde , est constant et égal à celui du parallélipipède rectangle, construit sur les trois demi-axes démette surface , on voit de suite que :

1' Toutes les pyramides ayant pour sommet commun le point a et pour base les divers triangles T', auront même volume Y.

2"" Tous les cônes ayant pour sommet commun le point a et pour base les diverses ellipses £', auront même volume V. ; et les volumes Y et Y, seront constants, quel que soit le système de diamètres conjugués que l'on emploiera, et ces volumes conserveront la même valeur, en passant d'un système de diamètres conjugués , à un autre système de diamètres conjugués.

6. Si l'on mène un plan tangent P à Fellipsoide X' lequel coupera la surface X suivant une ellipse E ; si du centre de l'eUipsoîde X , on abaisse sur le plan P une perpendiculaire v, on aura v.E=:const, £=:« , quelle que soit la position du plan P. En d'autres termes : les cônes ayant leur sommet au centre de l'ellipsoide X , et pourbase les diverses sections planes E, auront des volumes égaux ; et si Ton inecrit et circonscrit à l'ellipse E, deux triangles 9 et 0., ayant leur centre de gravité situé au centre de la courbe E, on aura :