SUR LES PROPRIÉTÉS POLAIRES DE DIVERS POLYÈDRES

1 . Étant données trais droites A , B , G , œncourant en un point d , si Con prend à volonté deux points sur chacune de ces trois droites , et ainsi :

les points a' et a" sur la droite A ,

— b'eib" — B,

— c'ctc" — C,

et qu'on unisse deux à deux ces six points et dans un ordre arbitraire y on obtiendra six points de concours distribués trois à trois , l"" sur une droite unique ^ si les six points a\ a", b'y b", c', c" sont situés sur une section conique , et ^ sur quatre droites , si les six points a\ a", b', b", c', c" ne sont pas situés sur une section conique.

2. Lé théorème suivant est un cas particulier de celui que je viens d'énoncer.

Si dans le plan (Cun triangle, F on prend un point arbitraire par lequel on fasse passer trm droites contenant chacune un des sommets du triangle , elles couperont les trois côtés du triangle , chacune en un points et de telle sorte que les trois droites unissant deux à deux ces trais points d^ intersection détermineront avec les trois côtés du triangle supposés prolangés , trois nouveaux points qui seront en ligne droite.

3. On peut encore énoncer comme théorème un cas particulier du théorème général précédent :

Étant données sur un plan trois droites A, B , G parallèles entre elles ou divergeant (tun point à , et ayant pris sur chacune de ces droites trois longueurs arbitraires^ savoir :

a'a" sur la droite A , b V sur la droite B , et c'c" sur la droite G f les points, a', b', c' étant situés à droite et les points a", b", c" étant situés à gauche (comme C indique la

(*) Extrait de la Gorrespondanoe mathématiqae et physique des Pays-Bas » pnbliëe par M. Quetélêty ▼ol.UI, n. 4^ année 1827.

fig. 3), les droites a'b', a"b" se couperont en un point p', les droites a'c' et a"c" se couperont en un point p", et les droites b'c' et b"c" se couperont en un point p'" : les trois points p', p", p'" seront en ligne drmte.

Démontrons d'abord ce 3* théorème :

Par les trois points a, h\ d {fig. 3), je fais passer une section conique arbitraire a , et je considère cette courbe a comme la base d'un cône A ayant son sommet en un point s de Tespace : je suppose la droite D , qui unit le sommet s du cône A avec le point d concours des trois droites données A, B, G , supposées situées toutes les trois dans un même plan P.

Je prends sur la droite D un point s* arbitraire , et je mène les droites s*a!\ s'b", s c'y lesquelles perceront respectivement le cône A en les points m', m", m'" ; ces trois points détermineront un plan Q qui coupera le plan P suivant une droite M qui contiendra les trois points p\ p", p"\ et en effet :

Le plan R , contenant les génératrices droites sa' et sb' du cône A, coupera le plan R' contenant les deux droites sa' et s'b" suivant le côté mm" du triangle

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mm m •

Les traces ab' et a"b" de ces deux plans R et R' sur le plan P se couperont donc au point en lequel le côté m'm" prolongé viendra percer le plan P; en d'autres termes 9 au point où ce côté mW coupera la droite M, trace du plan Q (ou du plan du triangle m'm"m"') sur le plan P.

Et il en sera évidemment de même pour les autres droites, a'c et a'c'] b'c et b"c". Par conséquent, les trois points de concours p\ p", p'" sont en ligne droite.

4. Pour démontrer le théorème général énoncé ci-dessus , d'une manière complète et dans toute sa généralité , nous examinerons ce qui a lieu dans l'espace et nous redescendrons sur le plan.

Supposons donc trois droites A , B , G , non plus situées dans un plan P, mais formant les arêtes d'un angle trièdre dont je désigne le sommet par d. Goupons cet angle par deux plans non parallèles entre eux , et nous aurons une pyramide triangulaire tronquée.

Les six sommets du tronc pyramidal détermineront , savoir : trois a, b'^ c un triangle dont je désigne le plan par V, et les trois autres sommets a", b"^ c" un second triangle dont je désigne le plan par V"; les deux plans T' et Y" se coupent suivant une droite L sur laquelle viendront se rencontrer deux à deux les côtés des deux faces triangulaires qui sont situés sur une même face quadrangulaire de la pyramide.

Ainsi l'on voit que les six sommets du tronc pyramidal sont deux à deux situés sur trois droites divergeant d'un même point , et que le problème ainsi posé dans l'csPACE est bien Vanatogue de celui énoncé ci-dessus dans le plan.

Gela posé :

On peut toujours , par quatre points situés sur un plan , faire passer une infinité de sections coniques ; on pourra donc , par les quatre sommets a! y a\ b\ b" de Tune des faces quadrangulaires du tronc pyramidal , £siire passer une section conique a , et regarder cette courbe a comme la base d'un cône S ayant son sommet en un certain point s situé sur la droite L.

Déterminons la position que ce point s doit avoir sur la droite R ,. pour être le sommet d'un cône S passant par les six sommets du tronc pyramidal.

Et d'abord prolongeons les côtés opposés a!b\ ol'b"y et a V, ac'\ et 6V, b"c' des deux faces triangulaires du tronc pyramidal/ Ces côtés iront se couper, les premiers en un point s^ les seconds en un point s et les troisièmes en un point s'\ et les trois points $j s\ $" seront situés sur la droite L.

Il est évident que si l'on désigne par F la face quadrangulaire db'd'b'\ par F' la face quadrangulaire cic'a!'c\ et par F" la face quadrangulaire cb'c%'\ les points s' et s" seront opposés à la face F, les points s" et s seront opposés à la face F', et les points s et s' seront opposés à la face F".

Il est encore évident que si l'on trace dans la face F une section conique arbitraire a passant par les quatre points a'j b\ a"j b'\ l'on ne pourra prendre pour sommet du cône S ayant la courbe a pour base, que l'un des points s' et s"j si l'on veut que le sommet de ce cône soit situé sur la droite L , et si l'on a préalablement établi que les deux points c et c" sont arbitrairement situés sur l'arête G de l'angle trièdre.

Mais si l'on ne donne sur l'arête G qu'un seul point c , on pourra dans ce cas prendre sur la droite L un point arbitraire z , et mener par ce point z et le point c une droite Z qui viendra percer la face F en un point/, et les cinq points (/, a', 6', a", b") détermineront alors une section conique particulière a,.

Cela posé :

Menant par le point z une droite G s'appuyant à la fois sur l'arête G de l'angle trièdre et sur la courbe a, , cette droite G coupera la droite G en un point c",.

Et en considérant le point z comme le sommet d'un cône S ayaiit la courbe a, pour base , ce cône passera par les cinq points arbitraires a', b', a!\ b'\ c' et par le sixième point c" qui n'est plus arbitraire.

Ainsi , il est bien évident que lorsque l'on prend sur chacune des trois arêtes A, B, G d'un angle trièdre, deux points arbitraires, le cône S, qui aura son sommet en les points $' et $" de la droite L , pourra avoir pour base une section conique a quelconque (cette courbe a étant seulement assujettie à passer par les quatre points a', b'y a\ b" situés sur la face quadrangulaire F du tronc pyramidal ) , et passera par les six sommets a , 6', a", b'\ c\ c" du tronc pyramidal*

Gela posé :

ConsidéroDS le cône S ayant pour sommet le point s. La face F" coupera ce cône suivant une section conique a", et la face F' coupera ce cône suivant deux génératrices droites qui ne seront autres que les côtés de et a V prolongés. Ces deux côtés prolongés, ou génératrices du cône S , pourront être considérés comme étant une section conique a ; mais dans ce qui va suivre, nous nous rappellerons que cette section conique a est formée.de deux droites qui se coupent.

Cela posé :

Désignons par o, o\ o" les points en lesquels se croisent les diagonales des quadrilatères a'b'dT, a'cVc", c'b'c'V.

Je dis que les trois points o, o\ o" et la droite L sont dans un plan unique , et en effet :

En vertu des propriétés des quadrilatères inscrits à une section conique, nous savons que pour le quadrilatère db'a"b" auquel est circonscrit la courbe a> si Ton mène du point rf, sommet de l'angle trièdre, deux tangentes 0 et 9. à la courbe a , le point $ et le point o et les deux points de contact seront en ligne droite ; et de plus , si du point t nous menons deux tangentes d et d. à la courbe a » le point d et le point o et les deux points de contact seront en ligne droite.

Il en sera de même pour la courbe a".

Or , comme l"" par la droite L on peut mener deux plans T et T' tangents au cône S , et qu'il est évident que ces plaps contiendront les tangentes d et d. à la courbe a émanant du point «, et les tangentes i" et d". à la courbe a émanant du point s'\ on doit en conclure que les droites do et dd et le sommet s du cône S sont dans un même plan , que je désignerai par Q.

La droite L sera la polaire du cône S par rapport au plan polaire Q.

(Ce qui veut dire : que si l'on coupe le système par un plan quelconque M, ce plan coupera la polaire L en un point / , le cône S suivant une section conique 6, et le plan polaire Q suivant une droite D. De telle sorte que le point / sera le pôle de la section g par rapport à la polaire D. )

Or , comme 2!* l'on peut mener par la droite cb deux plans 0 et 0' tangents au

cône S y et qu'il est évident que ces plans contiendront les tangentes 0 et 0. à la courbe a, et O" et S", à la courbe <t\ on doit en conclure que les deux points o et d! et la droite L sont dans un même plan que je désignerai par R , la droite ds sera la polaire du cône S par rapport au plan polaire R.

. Or , comme S"" nous pourrons considérer successivement trois cônes ayant leurs bases re^ectives situées sur les faces F, F', F" et ayant respectivement pour sommets les points s y s\ s" en lesquels ces faces F, F', F'' coupent la droite L, nous voyons que nous pouvons établir d'une manière rigoureuse que la droite L et

— sales trois points o, o\ o" sont dans un même plan , plan que nous avons désigné par R.

Cela posé :

Si sur le plan R on prend un point arbitraire i , et que de ce point on mène des divergentes aux six sommets a> al\ Vy b'\ c\ c" du tronc de pyramide et au sommet d de la pyramide complète ou de l'angle trièdre et aussi aux trois points o, o\ o" en lesquels se croisent les diagonales des quatre faces quadrangulaires du tronc pyramidal» en coupant le système formé par ces dix divergentes , par un plan X de direction arbitraire, l'on voit de suite que les six points de concours que l'on obtient en combinant deux à deux les six côtés de l'hexagone ayant pour sommets les points intersection du plan X et des six divergentes passant par les sommets du tronc pyramidal , seront tous distribués sur la droite M , intersection du plan R et du plan X.

Mais si , au lieu de prendre le centre i des divergentes sur le plan R , on le prend hors de ce plan , alors on obtient , sur le plan sécant X , six points de concours distribués trois à trois sur quatre droites.