THÉORÈMES SUR LA DIVISION DES SURFACES ET DES CORPS
Par le sommet d'un triangle quelconque AMN je mène une droite (i) parallèle à la base NA , que je désigne par (it) (fig. Dr PL 30 ) , je mène epsuite (n —2 ) parallèles à la base (n) , et comprises entre les deux droites (1) et (n) et arbitrairement distantes entre elles.
Sur deux parallèles voisines (1) et (2) , (2) et (3) , etc., ... (n — 1) et (») , je construits de petits triangles semblables au triangle AMMettels que le triangle A", construit sur les droites (l)et (2) aura son sommet situé sur la droite (i) et sa base située sur la droite (2); et de même pour le» petits triangles suivants A",
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(*) Extrait de la Correspondance maUiëmatique et physique des Pays-Bas , publié par M.. Quetelet , tome 4«, page 205, et tome 5% page Vt^ ( 3^ janvier et 28 aotlt 1829^ }.
Je désigne par y (a base et par h' la hauteur du triangle A", dont je représente l*aire par t'\ par b" la base et par h" la hauteur du triangle A" ayant son aire exprimée par i" ; et généralement par 6^**^' la base , et par /i^*""^' la hauteur du triangle A^*^*^ dont Taire est rt^résentée par t'^K
Je désigne par B la base et par H la hauteur du triangle donne AMN , et je représente son aire par T.
Cela posé , on a :
H =:*' + *"+ A'"+ctc. ..• + *(—*>
ou :
^= âTH
ou : •
Mais comme Ton a , en vertu de la similitude des triangles :
B 6' fc" ftc-^)
on aura :
ou :
et enfin :
V Si Fon divise le diamètre d'un cercle en n parties arbitraires, et si, sur chacune d'elles, comme diamètre, Ton trace un cercle, la surlace du grand cercle sera égale au carré de la somme des racines carrées des surfaces de chacun des petits cercles.
En effet, représentant par R le rayon du grand cercle, et par r, r', r ', etc.,
— dOi —
r" les rayons des petits cercles , Ton a R e=s r + r' + r" + etc., + r"; mais , Texpression TrR'qui donne la surface du cercle (R)» peut s'écrire ainsi :
V Pour la sphère, le théorème s'énonce ainsi :
Si Ton divise le diamètre d'une sphère en n parties arbitraires , et si , sur chacune d'elles, comme diamètre, Ton décrit une sphère, le^ volume de la grande sphère sera égal au cube de la somme des racines cubiques des volumes de chacune des petites sphères.
4ir R*
En effet —«— » qui exprime la solidité de la sphère du rayon R , pourra s'écrire de cette manière :
3* Pour le cône et le cylindre droits ou obliques, et à base circulaire , le théorème s'énonce ainsi :
. Si l'on divise l'une des génératrices du cône ou du cylindre en n parties arbitratre»^ et si, sur chacune d'elles , comme génératrice homologue , l'on construit un cône ou un cylindre, semblable an cône ou au cylindre donné, le volume du grand cône ou du grand cylindre sera égal à la somme des racines cubiques de chacun des petits cônes ou des petits cylindres.
> En eflfet, — »— 9 qui est Texipression du volume d'un cône droit ou oblique et
i base circulaire j peut s'écrire ainsi : ~r * H*, et remarquant que l'on a :
Hs=3( A H- A' -H A'' + etc. -f- A" ) , en désignant par h, h% h!\ etCr les hauteurs des petits cônes semblables , Ton a :
Les volumes des côoes semblables sont entre eux comme les cubes des lignes homologues , on a donc :
nR H , itt*h , icf^y 3 ' 3 ' 3
: etc. :: H* ; A» : A*» : etc. :: R* : r* : r** r etc.
d'où l'on tire :
L'on aura donc :
La démonstration pour le cylindre droit ou oblique et à base circulaire est identiquement la même, puisque tt.R'.H est l'expression de son volume.
S IIL 1" THÉORÈME.
Si l'on divise l'une des arêtes d'un tétraèdre en un nombre art)ilrdire de parties 9 et que, par chacun des points de division. Ton mène des plans parallèles aux deux faces opposées à l'arête, l'on détermine autant de petits tétraèdres qu'il y aura de parties sur l'arête. Désignant le volume du tétraèdre par T et ceux des petits tétraèdres par i, i', t'\ etc., l'on a :
T = (V/7+ V/7 + V^ + etc.)'
&>(tiitan. Les tétraèdres T, tj i\ i\ etc. seront semblables entre eux, désignant donc par Z,. z, %\ %'\ %"\ etc., leurs hauteurs respectives, l'on a :
T : I : r : I" : etc. ;: Z» : «• : a'^ : «"' : etc.
désignent par X la base et Y la hauteur du triangle qui sert de base au tétraèdre T.
Par X la base et y la hauteur du triangle, qui sert de b9se au tétraèdre i, et ainsi de suite : l'on a :
par conséquent :
d'où l'on tire :
XY xy af.y' af\}/' ^
le volume du tétraèdre T est
