XY Z

— -.— et ZsTiz + z' + z^ + etc.

Ton peut donc écrire :

Si l'on divise en n parties Tun des côtés d'un polygone , et si , sur chacune des parties, l'on construit un polygone semblable au polygone donné, en désignant par P la surface du grand polygone, et par p, p', p^', etc.,p**, les surfaces des petits polygones semblables , l'on a :

P == lV/ir+ v7-f \/7 + etc. + v/r ]*

Solution. L'oa peut toujours construire sur le côté divisé en n parties , un triangle dont la surface soit égale à celle P du polygone donné. Dès lors , en construisant sur chaque partie de ce côté un triangle semblable , l'on sait qu'en désignant par T la surface du grand triangle, et par i, t\ i'', etc., t" les surfaces des petits triangles semblables , l'on a :

T := [V/r+ V/T+ V^Th- etc. + y/TX

Les surfaces semblables sont entre elles comme les carrés des côtés homologues; ainsi désignant par X le côté du grand polygone , et par x l'une de ses parties, l'on aura :

P : p :: X* : x* T : i :: X* : a^ d'où; P : T :: p : I.

Mais puisque P=: T l'on a p = i, et aussi de même p' =^ , p't=:i'\ etc. p* c= f. Donc , etc.

S IV

Des deux théorèmes généraux que je viens de démontrer, l'on déduit les deux théorèmes particuliers suivants.

Si autour d'un point l'on construit n polygones semblables à un polygone

donné et ayant n sommets, et de telle manière que leurs côtés homologues soient

— sn —

parallèles entre eux ; si ensuite Ton construit un polygone semblable au polygone donné, mais tel qiiësoncètéâ; soitégàl à las^fiie4? + x'+x"-i-etc.-Haf des côtés homologues des petits polygones , l'on aura , en désignant par P la surface de ce dernier polygone , et pal* p, p', p\ etc,, p" celles des petits ^ôlygon^ ,

P =;: [kp + WV + |/p^+ etc. + i/^V

i' THÉORÈME.

Si autour d'un point l'on construit n polyèdres semblables à un p<%èdre donne et ayant it soàdmets^ et de telle manière que leurs arêtes homologues soient parallèles entre elles ; si ensuite l'on construit un polyèdre semblable au polyèdre donné, mais tel que son arête X soit égbie à ta somme :tH-x'+x"+ etc.-4-a:^ des arêtes homologues des petits polyèdres , Ton aura : en désignant par Y le volume de ce dernier polyèdre , let^par t;> v\ v\ etc. v** ceux des piettts polyèdres :

Il est évident que les deux théorèmes suivants :

1* Si par un point pris dans l'intérieur d'un triangle, on mène des parallèles à ses côtés, ces droites diviseront le triangle en snc "paHies , dont trois seront des triangles tels que l'aire du triangle proposé sera égale au carré de la somme des riaciiiës carrées des aires de ces trois petits triangles ;

2* Si par un point pris arbitrairement dans l'intérieur d'un tétraèdre, on conduit des plans parallèles à ses quatre "faces^ t^es plans diviseront le tétraèdre en quatorze parties, dont quatre Beik)Gft â<es téti'aèdres, tels que le volume du tétraèdre proposé sera égal au cube delà sodime des 'î^(iines cubiques des volumes de ces quatre {>etits tétraèdres ;

Ne sont (](u'un cas particulier des deux théorèmes précédents.

Les théorèmes sur les aires et les volumes que je viens de démontrer pour quelques surfaces particulières et quelques corps particuliers , sont vrais pour toutes les surfaces et pour tous leS'Corps.^ ^t en effet :

Soit%ne surface S dont l'équation est k^ (a;, y , z, P, P', P", etc., P*).

P^ P', P'!, etc., P"étantses.paramétreset«au nombre de ^; parunipoîntoarbitrairement choisi par rapport à la surface S, je mène les ^î^vers rayons veclenrs

R , R'y R'', etc., de eetle sur&ce , ensuite sur chacun d'eux et à partir du point o , je prends des longueurs r sur R, /sur R', etc.^ telles que Ton ait la relation :

— — — —y — 6tC.y — "^^

Les droites r, /, r'\ etc., seront alors les rayons vecteurs d'une surfaces, qui sera semblable à la surface S , et dont Téquation sera (^{Xf y 9 s^ p, P^p'y ^^^-yf^'h P) Pj p'f ^tc.} p** étant ses paramètres au nombre de it ^ et tels que Ton aura entre eux et ceux de la surface S, la relation :

Les rayons vecteurs R et r, R' et r'y etc., sont dits rayons vecteurs homologues, de mâme que P et p , P' et p', etc. , sont dits paramètres homologuer , des deux surfaces semJUabtos S et «.

Les deux surfaces semblables S et s jouissent des propriétés svi.va<ites (^) :

1* Si par le p(Mnt jo, Ton mène une droite arbitraire D , eoupant la surface S au point M , et la surface 9 au poîn4 m , les deux plans langents menés , le pjremier à la surface S au point M , et le second à la surfiuce 9 au point m , sont parallèles ;

2* Si par le point 0» l'on mène une seconde droite D', eoupai^t la surfiiee S au point M', et la surface s au point m', la corde MM' de la surfeee S sera parallèle à la corde rmn! de la surface 9 ;

3* Désignant par X la longueur de la corde MM', et par x celle de la corde mm\ l'on a :

Les cordes telles que X et x sont dites cordes homolqgues des deux surfaces semblables.

Si lasurfaeeSest<finie, «t par conséquent si eHe enveloppe un espaee fini; désignant |)ar A et a le^. aires respectives, et par Y et v les volumes reii^ctifs éf» surfaces S et « , l'on a toujours :

A:a :: X' : «* et y .v ::X*: a?»

(*) Nom avons inierë daiui qet ouTrac;e , ce pëmoire sur U division ^es corps et des surfaces comme étant une application de la théorie de la simililnde qni fait le sujet du chapitre V de la 2« partie du C9UT$ de géométrie deecriptive.

Détnùnstraiioii. Si parlepoînt o, je Bdéoe une série de droites D^ D', D'\ elc, coupant lasurface S aux points M, M^ W\ etCr, et là surface a aux points m, m^ fn\ etc.; si je construis les plans tangents à la surface S, aux divers points M , M', M", etc.^ ils détermineront un polyèdre T circonscrit à cette surface. Si de même je construis les plans tangents à la surfaces , aux divers points m, m\ fn!\ etc. , ils détermineront un polyèdre i circonscrit à cette surface.

Les deux polyèdres T el t seront semblables , puisque leurs faces seront en même nombre et parallèles entre elles, et que les sommets homologues seront sur des droites concourant toutes au point o, et ils auront pour cordes homologues les deux cordes MM' et mm .

Par conséquent Ton aura : aire T : aire f ::X':x^ et volume T : volume £::X':x'. Mais plus l'on multipliera le nombre des faces des polyèdres T et i , plus leurs aires et leurs volumes se rapprocheront des aires et des volumes des deux surfeces S et s.

On doit donc en conclure que les aires des surfaces S et «^ sont entre elles comme les carrés de leurs cordes homologues , et que leurs volumes sont entre eux comme les cubes des mêmes cordes.

Si Ton trace sur la surface S, b courbes arbitraires f , 9V 9 '9 ^^-r ^9 déterminant par leurs intersections un polygone P, si Ton regarde ce polygone comme la base d' un c6ne , ayant le point 0 pour sommet , ce cône coupera la surface t , suivant un pohgone p , semblable au polygone P.

Et si par une corde X du polygone P et le point o , l'on fait passer un plan , il coupera le polygone p en des points qui détermineront une corde x qui sera l'homologue de la corde X.

On aura encore : aire P : aire p :: X* : a;\

Si l'on a n surfaces S, S', S", etc., se coupant entre elles et déterminant dès lôrs un corps polyédrique T, dont je désigne la surface par Y et le volume par Z :

Si par rapporta un point arbitraire 0, regardé comme pôle commun^ l'on construit n surfaces a y «', s", etc., respectivement semblables aux surfaces données, et telles que tous les rayons vecteurs homologues soient dans le même rapport

— et pour chaque couple de surfaces sembbbles; dès lors, les surfaces «, «', s'\ etc.,

se couperont entre elles et détermineront un corps polyédrique ( , semblable au corps T.

Désignant par y la surface et par z le volume de ^, par X et x, deux cordes homologues de T et <, Ton aura encore :

Y: y:: X' : x' et Z;ï .: X': «»

Si Ton construit par rapport au même pôle comtmm Oj de nouvelles surface^ ^19 ^'i> «'i> 6tc., respectivement semblables aux surfaces S, S^, S", etc. ; mais

telles que les rayons vecteurs homologues soient dans un rapport -7 autre que—,

ces diverses surfaces se couperont entre elles, et détermineront un nouveau corps polyédrique c", semblable aux corps < et T.

Désignant par y la surface et par z le 'volume de t', par X et x\ deux cordes homologues de T et i^ on aura :

Y;y'::X*:ar'* et Z:«'::X«:a?'*

construisant de la même manière les polyèdres c'', tf'\ etc. , on aura i

Y : s : y : y": etc. :: X' : a?« : a?" : x" etc. et :

Z:x:x!:x!' : etc. :: X* : ^r* : j/' : x"^ : etc. d^où Ton tire :

et :

Si donc :

on aura r

et:

i^Y : V^H- V^y+ l/îT+etc. :: î:a: + j:' + a:"+etc.

yz: l/x+l/'z'+ KV'4-etc. ::X:ir+y + x"+ctc. X =ar -|- flt' -f. j:'' -j" ^*c.

Z = [Vi+ V^x'+ V^? + etc.r

On peut donc énoncer les théorèmes suivants :

i* Étant donné un corps polyédrique T, déterminé par Tintersection d'un certain nombre de surfaces , si Ton mène une droite arbitraire et que Ton partage sa partie X interceptée par la surface du corps T, en b parties arbitraires x , x\ x'yeic.j x^. Puis, que sur chacune de ces parties comme corde homol(^ue de X , Ton construise un corps polyédrique semblable à T» on aura :

l"" La surface du corps T est égale au carré de la somme des racines carrées de la surface de chacun des petits corps polyédriques semblables.

2* Le volume du corps T est égal au cube de la somme des racines cubiques des volumes de chacun des petits corps polyédriques semblables^

8* Si Ton trace sur une surface S , un polygone arbitraire P ; si l'on mène une

droite arbitraire et qaoD partage aa partie X interceptée par le contour du polygone en^ parties arbitraireax, a/, «'', etc«, af ; puis, que^ur chacune de ces parties comme corde homologue de X^ l'on construise un polygone semblable au polygone P ; Ton aura :

L'aire du polygone P, est 'égale au carré de la somme des racines carrées de Taire de chacun des petits polygones semblables.