SUR LES PROJECTIONS STÉRÉOGRAPHIQUES

Dans le tome I**, page 77, de la Correspondance de l'École polytechnique, publiée par Hachette , on trouve la solution du problème suivant :

Étant donnée une surface du deuxième degré , si fcéil est placé à Cune4es exlrémUés du diamètre conjugué <Cun des deux plans des sections circulaires ^ toutes les courbes planes de la surface seront aperçues sous la forme circulaire sur ce plan.

Le problème des projections 'stéréographiques, qui était connu depuis longtemps pour la sphère 9 fut en 1804 proposé pour Tellipsoîde par Legendre, et reconnu exister pour les surfaces du second ordre, par Hachette. (Voir la Correspondance de TÉcole, tome I, pages 76-80.)

Dans ce Mémoire, je me propose d'envisager le problème des projections sléréographiques , sous son point de vue le plus général, et de résoudre, dès lors , la question suivante :

Quelles sont les surfaces engendrées par une courbe C donnée ( à simple ou à double courbure) y telles que dun point de t espace ^ la courbe génératrice G soit toujours ^ en ses diverses positions ^ aperçue sous la forme dune courbe G (satisfaisœtt à certaines conditions déterminées) , un plan étant le tarleau $ur lequel la courbe G sera tracée ( le

O Extrait dn Journal de l^Ecole polytechnique , 36* cahier , septembre 1837.

tableau éUmi d ailleurs invariable de position et la courbe génératrice G pouvant varier de grandeur suivant une loi dépendant de la loi de son mouvement ) .

La solution du problème précédent dépend de celle d^jn problème que l'on peut énoncer de la manière suivante :

Étant donnée une courbe G (à simple ou à double courbure ) , déterminer le lieu des sommets des cônes qui y ayant la courbe G pour base {ou directrice) commune j seront chacun coupés par un plan donné de position , suivant une courbe satisfaisant à certaines conditions géométriques.

Ainsi: désignant les divers cônes par S, S', S'', ... et leurs sections respectives (par le plan invariable P), par G, G\ G*\ ... toutes ces courbes de sections devront satirfaire aux mêmes conditions géométriques.

Je commence par résoudre le problème pour un cas parUculier, et je suppose dès lors : 1** que la courbe G étant un cercle, les courbes G, G', G", ... seront aussi des cercles.

Je suppose ensuite : 2^ que la courbe G étant un cercle, les courbes G, G', G", ... seront des hyperboles équilatères dont l'un des axes sera parallèle au plan horizontal.

Je résous ces deux questions en cherchant à priori les courbes lieux des sommets des cônes 9 m'appuyant dans le premier cas ^ sur la propriété des sections anti-parallèles 9 et dans le second cas^ sur ce que la section hyperbolique d'un cône du deuxième degré a ses asymptotes parallèles aux deux génératrices formant la section faite dans ce même cône par un plan passant par son sommet et parallèle au plan de l'hyperbole de section. Chemin faisant, je montre qu'il suffit de trouver, par Vanalyse^ la courbe lieu des sommets des cônes, et que cela fait , on peut : i* au moyen de Vanalyscj trouver Téquation de la surface 2 engendrée par la courbe mobile et variable G ; 2** au moyen de constructions graphiques, déterminer la forme de la surface !•

Je résous ensuite la question dans toute sa généralité, et je fais voir que le Ueu des sommets des cônes peut être situé sur m surfaces (si les conditions auxquelles la courbe G doit satisfaire conduisent à m équations), ayant préalablement montré comment on doit établir ces équations.

Ce problème offre un exemple de la méthode mixte , méthode qui consiste à employer, pour arriver à la solution définitive d'un problème proposé, tantôt Vanalyse et tantôt les constructions graphiques.

Ce problème a aussi l'avantage de faire repasser aux élèves , et complètement , les diverses parties dont se compose ordinairement un cours d'analyse appliquée à la Géométrie des trois dimensions , car il exige pour sa solution l'emploi de

presque loules les formules d'analyse applkfuée à la géomélrie. Et d'ailleurs, cette question renfermaot un grand nombre de problèmes particuliers ( puisque Ton peut prendre pour la courbe G.une courbe quelconque , et faire varier de diverses manières les conditions auxquelles la courbe G peut satisfaire), offrira un moyen d'exercer utilement les élèves j en leur apprenant à manier avec facilité et intelligence Vanalyêe appliquée à la Géométrie.

Perspective circulaire du cercle.