PROBLÈME PRINCIPAL
Fig. 99. On donne , i^ un cercle G du rayon R situé dans un plan horizontal H ; 2"" un plan V inclihé sous un angle constant et connu g : on demande le lieu des points de l'espace pour lesquels la perspective du cercle G sur le plan V sera circulaire.
Prenons le plan H pour le plan des xz, et la droite suivant laquelle se coupent les plans Y et H pour axe des z.
Plaçons le centre du cercle G sur l'axe des x en O, et à une distance R de l'origine A des coordonnées , de façon que le cercle G soit tangent à l'axe z.
Il est évident que les points cherchés seront tous situés dans le plan xy^ lequel coupera le plan Y suivant la droite AG, en sorte que Ton aura
6Aè = 5
Je suppose que le point M soit un point du plan' xy qui satisfasse à la question.
Le plan xy détef^mine dans le cône qui a son sommet en M , et pour base le cercle G , une section principale BMA.
D'après la propriété connue des sections anti-parallèles, il faudra pour que DA soit la projection d'un cercle, que Von ait :
MAC = lOA, et par suite MAB = MDA.
Désignant par a l'angle MBA , et par y Tangle MAB , on aura :
d'où :
tang a 4- tang 6 tang 7 = — 2 — ! 2 —
" 1— Uuigataog6
Comme Tangle 6 est supposé connu, nous poserons m = tafng S. On aura donc :
m + tang a
1 — «i. tftng a
Prenons maintenant les équations des deux droites AM et MB , on aura :
pour AM :
y = — tang7 .m, (2)
pour BM :
y = tanga(a?+2R); (3)
on a donc ainsi trois relations dans lesquelles il n'entre que deux indéterminées, savoir : tang a et tangy.
En éliminant donc tanga et tang y entre les trois équations (1), (2), (3), on aura pour équation finale celle du lieu cherché.
Effectuons l'élimination :
de (2) on tire :
tangy = — ^
de (3) on tire :
tanea = — =-
substituant dans (i), on obtient :
Réduisant , on a :
y tfiy^ ^m(a; + 2R) + y ^
ar"^a?(ar + 2R) a;-f2R
ou :
— yo? — 2R.y + fiiy'=fiiâ?' + 2fiiR.âP + ay
ou enfin :
my*— 2âpy — mar* — 2^^ — 2R.m.â? = 0 (4)
Cette équation est celle d'une hyperbole et même d'une hyperbole équilatére, puisque les coefficients des carrés des variables sont égaux.
Si Ton fait y = 0 dans cette équation , on obtient :
a? (a:-|-2R)=:0; donc a? = 0 et j: = — 2R
Ainsi la courbe passe par les points A et B.
Transportons l'origine au poinl 0 y milieu dé AB et centre du cercle C ; pour cela, il suffît de remplacer dans Téquation (4), â;par x-^R^ et Ton obtient, tout calcul fait :
my* — 2xy — ituf -}- mR* = 0 (5)
Cherchons maintenant la direction des axes de cette hyperbole équilatère. Appelons o l'inclinaison du nouvel axe des x sur l'ancien ; les formules de transformation des coordonnées à employer sont :
5J = x' co8w — y* . sinw y =3 a^ sinu + y* • cos«
Substituant dans l'équation (5), et ne considérant que le coefficient du rectangle, on trouve pour sa valeur, laquelle doit être nulle pour faire disparaître le terme en xy ,
2 m . 8in2u — co$2(tf = 0 d'où : ^
En formant les autres coefficients , l'équation définitive est
( 1 + m*)y*— ( 1 + »»•)«• + mR' V/T+m" = 0 ou :
- , , ifiR* ^
y" — ar" + > = 0
et comme :
une ^
il vient enfin :
Vl + m*
a?* - y* = R'sinS (6)
D'après cette équation on voit que tant que S est plus grand que iSO"", Taxe imaginaire de l'hyperbole est dirigé ^0i«ant le nouvel axe des x, et qu'au contraire c'est l'axe réel qui est ainsi dKrige, lorsque S est plus petit que iSœ.
La valeur.de chacun des axes de la courbe est : I^R' sin €.
Ainsi chaque axe est moyen proportionnel entre R ( rayon du cercle donné G), et R sin6 ( qui est le sinus de l'angle S, pris dans le cercle G). En se rappelant que l'angle 2ûi> est le complément de l'angle 6, on voit que la solution du problème proposé peut être énoncée ainsi qu'il suit :
Si Ton mène par le centre du cercle donné G un plan P perpendiculaire au
plan y (donné pour tableau) y le lieu des points de vue dans ce plan P est une hy-^ perbole équilatère , dont 1* le centre est le centre du cercle C ; dont 2*" le diamètre du cercle G est un diamètre ; dont 3"" l'axe imaginaire divise en deux parties égales Tangle complémentaire de l'angle 6, angle d*inclinaison du plan V et en suppo* sant que cet angle S est plus petit qu'un droit ; dont 4° la valeur de Taxe est une moyenne proportionnelle entre le rayon R du cercle donné C et le sinus de l'angle 6 (ce sinus étant pris dans le cercle G).
Si le plan donné pour tableau était perpendiculaire au plan du cercle donné G , alors singeai , et l'équation du lieu cherché serait :
équation d'une hyperbole équilatère , dont le centre est au centre du cercle G, et dont l'axe est précisément égal au diamètre de ce cercle C.
L'équation (5) , trouvée précédemment , a été obtenue en supposant que le plan du cercle G est le plan des xz. Il convient pour les recherches ultérieures de changer la direction des axes, et de les choisir de manière à ce que le plan du tableau soit vertical , et à ce que le plan du cercle C soit incliné.
{Fig. i.) Désignant donc l'angle C'Oy, complément de l'angle G'OB, par (p.
En employant les formules :
x=x' coa f — y' . sin ^ y=zx' sio y+S' ^508y
on passera des axes rectangulaires Ox et Oy aux axes rectangulaires OG' et OD'. Substituant dans l'équation (5), on aura :
— Ssin^oosf
— mcos*r
-j-28in7C087 — msin*^
y'*+4fn8iii7C08f
a?y-MfiR"=0
et comme :
on aura :
tang 6=m et que 6 -[- f = 90°
8ing7 =
Ainsi on a :
et co8ç =
a?'y'4-mR" = 0
el en réduisant, oo a :
et enfin :
my'« — ma?'*+2xy +mR*=0 (8)
Le cercle G se trouve projeté sur le plan x^ (qui est le plan de Thyperbole équilatère ) , suivant la droite AB , son centre étant en 0 origine des. coordonnées.
yérifions , si l'équation (8) est satisfaite par les coordonnées des points A et B.
Se rappelant que 0B= R, on aura :
L'ordonnée y du point B =? R cos 6 et l'abscisse x du point B=: — R sin 6 ;
el comme :
taBg6=:m -
on a :
006 6 =3 " et sin 6 =
Ainsi :
R Rm
et a!^ —
Substituant dans l'équation (8) , on doit avoir :
mV m'R* 2inR'
Ce qui a lieu en effet, car en chassant le dénominateur on trouve :
mR* — m^R* — 2mR- + mR'+ m^R" = 0
On doit remarquer que l'équation (8) ne diffère de l'équation (5) que par le signe du terme en xy.
" Constructions graplàques.
K i. Supposons sur le plan horizontal H une série de cercles concentriques:
C du rayon R C — R' C" — R" etc.
et dans un plan vertical P, passant par le centre commun , traçons les diverses hyperboles dont les équations seront :
Pour le cercle C , x^ — y' = R' équation de Thyperbole A
— C, X' — y'=.R"' . — — A" etc.
Traçons dans le plan P une courbe arbitraire d qui coupera les hyperboles
A au point a
etc.
Supposons que l'on joigne le point a avec chacun des points â^ a'... par des droites y et que par le centre commun o des cercles, on mène dans le plan P des droites respectivement parallèles et égales en longueur :
om parallèle et égale à oa om — aa
etc.
Les divers points m, m\... seront situés sur une courbe i' qui sera identique à d. mais tournée en sens inverse.
Supposons maintenant que le cercle C! et son hyperbole A' se meuve parallèlement à la droite aa' jusqu'à ce que le point a' se confonde avec le point a; le centre o du cercle G' arrivera alors en m, et le cercle G' restant parallèle au plan H , se sera transporté en la position G', ; faisant mouvoir de la même manière les divers cercles tracés sur le plan H, on aura, dès. lors, une suite de cercles hori^
zontaux:
G du rayon R ayant son centre en o
etc.
qui formeront une surface ( qui pourra être considérée comme engendrée par un cercle horizontal , dont le centre se meut sur la courbe i^ son rayon variant suivant une certaine loi , et cette surface X, sera telle , que chacune de ses sections circulaires (horizontales) , seront aperçues du point a (cfomme point de vue) sous la forme circulaire; le plan du tableau étant un plan vertical V perpendiculaire, el au plan H et au plan P.
Constructions graphiques.
N"" 2. Supposons dans le plan horizontal H une droite D , et par cette droite une suite de plans N, N', N" ..., faisant avec un plan vertical Y (passant par cette même droite D) , des angles 6, S\ &' j ... dont les tangentes trigonométriques seront m, m\ m''.. ; prenons sur la droite D un point fixe o, et menons par ce point un plan P perpendiculaire à D.
Traçons ensuite dans le plan N un cercle G du rayon R
etc. .
tous ces cercles C, C\ C ... , ayant pour centre commun le point o. Traçons ensuite dans le plan P les diverses hyperboles dont leis équations seront :
Pour le cercle C : mj/" — mx* + 2xy + mR" =0 , hyperbole B — C : my — m'x* + ^xy + m'R'' = 0 , — B'
etc.
Traçons dans le plan P une courbe arbitraire i qui coupera les hyperboles :
B au point b B' — 6' B'' — b"
et achevons les constructions ainsi qu*il a été expliqué au n* i.
On obtiendra une surface ( qui pourra être regardée comme engendrée par un cercle dont le rayon variera suivant une certaine loi , son centre parcourant la courbe d' (égale et symétrique à d) , et dont le plan restant perpendiculaire au plan P, fera, avec le plan horizontal, un angle variant aussi suivant une certaine loi.
Et cette surface ( sera telle que son cercle générateur sera (en chacune de ses positions) aperçu sur le plan V (pris pour tableau) , et du point b (pris pour point de vue) , sous la forme circulaire.
Constructions graphiques.
N"* 3. Sur le plan horizontal H prenons un point fixe o ; élevons par ce point o une droite K perpendiculaire au plan H.
Ensuite par lé point o menons dans le plan H une suite de droites D , D', D'', D%... telles que :
D' fasse avec D un angle a dont la tangente trigonométrique sera n D ' — D - «' - — n
etc.
Enfin, faisons passer :
Un plan N par la droite D et faisant avec la droite K un angle 6 — N' — D' — K — r
etc.
les angles 6, S", 6",..^ ayant respectivement pour tangentes trigonométriques m , m\ m"... Traçons ,' dans le plan N un cercle C ayant son centre en o et pour rayon R; dans le plan N', &n cercle G' ayant son centre en o et pour rayon R';
Et ainsi de suite.
Enfin feisons passer par la droite K une suite de plans :
P perpendiculaire à la droite D et dès lors perpendiculaire au plan N P' — D' — — N'
Traçons dans le plan P Thyperbole B qui correspond au cercle C
etc.
Ceta fait :
Coupons le système des hyperboles B, B', B",... par une surface arbitraire A.
Cette surface A coupera Thyperbole B au point b ^ — B' — b'
etc.
Supposons le point b fixe ( le choisissant pour point de vue) , et faisons mouvoir les hyperboles ainsi que leurs cercles respectifs de la manière suivante :
L'hyperbole B' parallèlement à la droite 66' — r — 66"
etc.
point b :
' Le cende C aéra vcma en C, et fion 'oeniire en p
— C" - C." - p" etc.
Les points fr» b\ b'\ b"\... étant supposés situés sur une courbe à double courbure y, les points o, p, p\ p", p"\«.. seront situés sur une courbe y', égale et symétrique à y.
Et tous les cercIesC,, €,-, C/'..., formeront une surface {; qui pourra être considérée comme engendrée par un cercle mobile, dont le centre parcourt la courbe à double courbure / et dont le rayon Tarie suivant une certaine loi, son plan faJsadt avec Ja verticale Ket une di?oileii^e .tracée dans le>plan hortzontal H<y des dQgjes variant aussi suivaiu u^e ceitaiae loi.
Et cetle surÊM^e ( sera tell0 (|ue ^&of)i ^e^cte .géoécaiitfpir sera ep6rçuc(ien oh^cune de ses positions) du point de vue, sous la forme circulaire, le, plan 4\k tabUau étant le plan horizontal H .perpendiculaire à la droite K et le point fixe b étant pris pour point de vue.
On (pourra donc toujours , as tiioyen des «on^racfions graphiques précédentes , faire uncépure qui permette de construire exactement la surface Ç. Mais si Ton veut connattre les propriétés géométriques de cetle surface 2;, il farudra avoir recours À Vanaly$e,f aÇn d'obtenir tm équaâm. Toutefois,^ à la fin de ce mémoire, nous reviendrons sur les constiructions graphiques, en ce qui concerne la surface {;, lorsque la courbe lieu des centres des oercles horizontaux est une droite , auquel cas la surface ( est une surface du deuxième degré.
Nous aurons alors l'occasion de montrer que Ton peut par les coBfitrucLions gr^pbique^i irouver plusieurs de^ nésuitats- obtenus |iar /I'cbmp^m, let euriout reconnaître avec facilité les cas où le point de vue sera ou non situé sur la surface (, quelle que soit d'ailleurs cette surface, la courbe lieu des centres des cercles étant une courbe arbitraire.
Solution analytique. Supposons les divers cercles horizontaux C, , C'i, C. ,
ayant leurs centres situés sur un Méiitt>'(tlaiii nerlèsak
Désignons par a et 6 les cooNbnnces du ceolre du cercle C, , et par II son rayon ; par à' et 6' les coordonnêM du centre du cercle C\ , et par R' son rayon ;
Et ainsi de suite.
— ut —
Les équations des hyperboles seront :
Pour !e cercle C',
etc.
(oî— a)'— (y— ô)*=R'
Toutes ces ériuations devront avoir une solution commune pour que les hyperbole» qM*elles représentem passiM par un meuve poitar (lequel seva le pomt de yueh).
Désignant par x' et y lés coordonnées du point de vue , on devDa- afvoir :
équation dans laquelle a , 6 et r seront des indéterminées. On pourra donc supposer :
V Que r est constant, et alors l'équation (9) sera Téquation d'une hyperbole équilatère dont le poiat de vue sera Je centre.
Um coAStr uetÎDii -gfapbkme conduit au mâiae résultat.
En effet (fig. 100) : '
Si Ton suppose un cercle C du rayon r situé sur le plan horizontal , son centre étant en m» et l'origine des coordonnées en a.» de- sorte quet ma=r] construisant rbyperbole A , on voit que si Ton prend sur cette courbe A , une suite de points bj Cj d,.'* 6t un point fixe o (comme point de vue) , et qu'ensuite on mène par le point m les dcoites :
ma! parallèle et égale à oa mb' — ^ ob^
me' — oc
etc.
les points a'» 6', c',... serottt fies centres des divers cercles horizontaux ayant un rayon constant r, lesquels cercles seront vus sous la forme circulaire du point o (comme point de vue), le plan du tableau étant vertical et perpendiculaire au plan de l'hyperbole A.
Et il est évident que la eo»nbe. A'j^ Ura d^s. pn^ts a'> b\ c!^... sera une hy|H^rbole égale à l'hyperbole A.
Car la courbe A ne sera autre que h courbe que nous avons désignée par j, et la courbe A' ne sera autre que la courbe que nous avons désignée ci^dessus par ^v
On pourra supposer :
2* Que : r=^|/ (a, 6), ou que r" = /(a), ou que r'ssF (6) ; et alors les équations :
ou
ou
seront exiles de la courbe lieu des centres des cercles horizontaux et de rayon variable y lesquels cercles seront vus du point dont les coordonnées sont, x' et 9 sous la forme circulaire.
On pourra supposer :
3* Que 0c et S sont liés par l'équation 6=9 (a), ou par Téquation a=:4|(6); et alors on aura Téquation
ou l'équation > (10)
A chaque valeur de a ou de 6 correspondra une valeur de r, de sorte que l'on pourra construire la courbe lieu des centres 6=9 (a) ou a=$(S), et ensuite calculer au moyen de Tune ou l'autre des équations (10), la longueur des rayons de chacun des cercles horizontaux.
Ainsi, au moyen de ce qui est dit n''2 , on peut se donner la loi suivant laquelle varient les rayons des cercles horizontaux , et Ton déterminera la courbe lieu des centres de ces cercles ; et réciproquement ^ au moyen de ce qui est dit n* 3, on peut se donner la courbe lieu des centres des cercles horizontaux , et Tune ou l'autre des équations (10) donnera la loi suivant laquelle les rayons de ces cercles dçîvent varier de grandeur.
Cherchons l'équation de la surface 2 dans l'un et l'autre des trois cas que nous venons d^ examiner.
Premier ar«. On aura : ' v
(af — «)* — (y' — e )• = r* ( r ëtaot ooMtant )
Les équations d'un cercle horizontal et du rayon r, seront :
y = S et (a: — a)' +*• = r*
Éliminant a et g entre ces trois équations , on aura :
[^ (X - V/r» - «Ml" - ( »' - ï/ = ^ (il)
équation qui sera celle de la surface 2.
Supposant 2 = 0, on âara la courbe méridienne de la surface 2; en d'autres termes la courbe section de cette surface 1 par le plan de l'hyperbole A', lieu des centres des cercles.
Ainsi , on aura :
Et en réduisant :
( or' — a: )• -I- 2 { a;' — a: ) r - ( y' - y )• = 0
équation qui est satisfaite par x-s=i x' et y = y'.
Ainsi le pointée vue est situé sur la surface 2.
En développant et ordonnant l'équation (12), on trouve :
a:' — j* — 2j: ( a?' -f r ) + 2y . y' + a:'' — y** '+ 2rar' = 0 (13)
équation d'une hyperbole équilatére égale à Thyperbole A'. Et, en eflfet, il est évident que la courbe (13) ne peut être autre que l'hyperbole A' que Ton aurait transportée parallèlement à Taxe des x, chacun de. ses points ayant parcouru une droite égale à r ( ainsi que nous l'avons vu plus haut ).
Deuxième cas. On a :
et Ton suppose que r' = 4/ ( a , € )•
Les équations d'un cercle horizontal seront :
y = 6 et ( a? — a )• 4- «• = r*
Pour avoir l'équation de la surface 2, il faudra éliminer a, S et rentre ces quatre équations.
Ou bien éliminer a entre les deux équations suivantes :
(a^-ar-(ï' -»/=+(«,») 1 . (14)
en sorte que le système des deux équations (14) représente la surface demandée 1.
Et en faisant 2=0, pn aura :
(ar',)--(y' -.,)•=+(«, y) I '
et le système des deux équations (15) donnera, après l'élimination de a 1 l'équation de la courbe méridienne.
Appliquons ce qui précède (3* ooft) à qualtioes» exemples.
V SoppodMfS que r* =<p (a , 6)î=:flf' 4- 6". Alors j posant les trois équations :
y :=:6 et (« — ar+a;*=«'+6'
et éliminant entre elles a et 6 , on aura :
x'+tr+**-^' ^ -|-y'-x" = 0
pour l'équation de la sur.&ce2* Faisant 2= 0, on aura :.
^* + »*-?•. aïyH-y'*-a5'*=0
pour l'équaeion de la courbe m^rtdieiim.Cettecourbe sera une ellipse si Ton a : —, < 0, une hyperbole si l'on a : =-, >0^ et une droite passant par yorigîiie des eocrdonaéet, si Ton a : ^=:1 ; car, dans ce dernier cas, on a : x=iy.
oc
La surface 2, dans les trois cas, sera une surface du 2* degré.
La courbe méridienne sera, dans les trois cas , une hyperbole équilatère, et le point de vue (x, y') sera situé sur la surface 1 , puisque notre équation est satisfaite par x=:x' et y=:y[* (Plus loin nous reviendrons , en détail, sur cette question.)
Suppose]
ou que :
alors :
ou :
!• Jt'(ie'— 9«)— (y' — €)• = 0 2* (a:'— a)'— y (y' — 6)= 0
sera l'équation de la courbe lieu des centres des cercles. Cette courbe est dans l'un et l'autre cas une paraMe.
3"* Supposons que :
ou que :
afof s '
ou :
sera l'équation de la courbe lieu des centres des cercles.
CetCe:£ûU9be esieacefetdaasiPun^et Feutre oa^'une^pepr^of^e. Si^d^après ce qui a été dit n"^ 2eti3 on «hecdiak la^courbe méridienne j on trouverait que cette courbe est aussi une parabole.
On pourrait multiplier les exemples; mais ce qu'on vient de dire suffit, vu l'objet qu'ott's'est proposé en écrivant celMëmoîre.
TroUième cas. On ^:
et «=9 (6) pour l'équaftionde la cQvebe lieu des centres des cercles horizomaux. Les équations d'un cercle horizontal seront :
ÉKmtMifttœ , 6 «t^r^enfre ees quatre équations, on aura celle de la surface 1, Cette élimination faite, on a :
en réduisant, on a :
j:'[a?'-2.y(y)]-a:[x— 2.y(y)]— (y'~yr-z' = 0 (1«)
poikr l'équaUoin deJa ^su^race 2 ; Et en faisant zc=:0, on a :
a/[aP'-2.y^y)]-j?[ar-2.ç(j)]-(y'-yr=i0 (t7)
pour l'équation de la courbe méridienne.
Appliquons ce qui précède (3* cas) à quelques exemples. Et 1* supposons que la courbe lîeu des eentres des cercles soit une droite ayant pour équation :
VéqmâiùB ((i4l) d«MÎ<ndra :
y»*|.«j«^a»^^liH4^ ^^je^^ (m^'—y)* +»*'—«"+ 2pjr'==0 (fg) équation qui est satisfaite par :
a?=a?', y=s^ et «=0
en sort^iqMeJb^unfeae^S (W^se paV:le.fK9iiil,4^^ii(«e, et alkest ](danfi<le cas particulier que nous discutons) .cme^surface du 2* degré.
Elle sera ou un ellipiaide k trois axes ;
ou UQ hyperbolcade à deux nappes et à trois axes; ou un parabobtde elliptique.
Si dans 4'équation (18) on suppose (pour simplifier les calculs) que p=0 , et si Fon cherche les coordonnées du centre delà surface 1 , on trouve pour l'abscisse
— 7- , et pour 1 ordonnée u = ^-^ , et 1 on voil de suite que vei u
satisfont à l'équation a=mg (équation de la droite lieu des centres des cercles). Ainsi le centre de la surface 2 est sur la droite lieu des centres.
Ainsi , les plans des cercles ont pour diamètre conjugué la droite lieu des centres de ces cercles.
Si dans Téquation (48) on suppose s=0, on aura l'équation de la courbe méridienne j laquelle sera :
y* 4- ^' — 2ma?y -f- ... = v
Cette courbe sera une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole , suivant la valeur attribuée à m.
Ainsi, si : m' — 1 ;=:0, on aura une parabole.
— si : fil" — i>0, on aura une hyperbole.
— si : m* — 1 <0, on aura une ellipse.
Si m' — 1=:0, et alors m ==b 4 , et Ton voit, de suite, que v et» sont infinis. Cherchons Féquation de la droite qui unit le centre («, v) avec le point de vue (x\ y') ; on aura :
Réduisant , on trouve :
y— îf'=m(«— «')
en sorte que si la droite B {lieu des centres) fait avec Taxe y un angle aigu dont la
tangente trigonométrique est m , la droite G qui unit le centre delà sur&ee 2 et le
t point de vue fait avec ce même axe un angle dont la tangente trigonométrique est --•.
Cette dernière droite G est donc perpendiculaire à une droite B' qui ferait avec Taxe des y un angle dont la tangente trigonométrique serait (-^m).
Il est facile de reconnaître sur^-le-champ que la droite G n'est autre que le diamètre conjugué du tableau (le tableau étant un plan diamétral de la surface 2).
Cherchons maintenant la valeur dts axes de la surface 2.
En faisant 2=0 (ayant fait , préalablement, p=:0 pour simplifier les calculs)^ dans Téquaiion (48) , on aura Téquation :
qui sera Téquation de la courbe méridienne de la surface 2.
Les axes de cette courbe seront deux axes de la surface. Transportons Torigine des coordonnées au centre de la courbe. I/équation deviendra :
