COS

— 2m8inuco8u>

— 28iii(i>oo8a> -|- 2m sin' ta — 2m COS* 6»

xff — A = 0

H faut donc poser, pour que le terme en xy disparaisse :

— co8'u)-|-8in*» = 0 , d'où 8m(D = co6u) = \ / -^

L'équation de la courbe deviendra donc :

(l+m)y' +(1— m)ap*— A = 0

et on voit que quel que soit m, l'un des axes de la courbe méridienne fera avec Taxe des x ou le plan des cercles , un angle tù égal à un angle demi-droit. Les demi-axes de cette courbe méridienne seront donc :

Vt^' ** \/îè

et comme :

est réquation de la surface 2 rapportée à ses axes et à son centre , le troisième

demi-axe de la surface sera égal à : |/a.

— us —

Àirtëi leÀ trois ates dé la surface seront entre euX côttime sont entre eux les nombres ou quantités :

1 et — .■ ■ ■ — et ■ .!■>

et en vertu de ce que le plan dû iabteùu est pei^pendiculaife aux }^léhs dés sections circulaires, et que l'un des axes de la surfoce 2 divise en deux panies égales cet angle droit , il s'e'nsUit que le plan du UÈbtmu sera parallèle aux pians des deuxièmes sections circulaires.

Ce qui précède n'a donc lieu que pour une surface dont les plans de première et de deuxième sections circulaires soèt rectangulaires entl'e éùx, auquel cas les axes de cette surface sont entre eux dans le rapport indiqué ci-dessus.

Remarquons y que A sera positif, si (1 — m) est positif, ou en d'autres termes si (1 - m) est plus grand que zéro et qu alors la surface î sera un ellipsoïde ; que A sera négatif, si Ton a(1 — m)<Oet qu'alors la surface 2 sera un hyperbo- Unde à deux nappes : car le coefficient (1 — m) de x^ étant positif ou négatif en

même temps que A, dès lors l'équation de la surface 1 ne pourra se présenter que sous les deux formes suivantes :

Py* + î*" + ** = ^ ou qx* — py' — a* s= A

on voit de suite qu'il doit exister un résultat analogue pour le paraboloide elliptique.

Mais ces résultats n'existent, ainsi qu'on vient de le dire, que pour des surfaces particulières, et ainsi pour celles dont les aies sont entt*e eux dans un rapport déterminé, en Vehu de ce que Ton a assujetti le tableau à être perpendiculaire aux plans de leurs sections circulaires.

Mais, quels que soient les axes de la surface, il doit exister un résultat analogue , si l'on suppose que le tableau fasse un certain angle avec les plans des sections circulaires , et en effet :

Supposons que les cercles soient horizontaux , et que le tableau fasse avec le plan horizdnial Un dngie dont n soit la tangente trigonométrique.

Nous aurons l'équatioD de condition :

L'équation de la droite lieu des centres des cercles sera : et lés é^ùiatrofafs dû cei'cle mobile seront :

y =6 et (« — a)* 4-Z* rrrr*

Par rélimi«»tipp de flt, 6 et r' ep^pe cep qualre équaliions, on trouve :

équation qui sera celle de la surface 2. •

Si Ton fait 2:=:0» on aura l'équation de la courbe mérviierme. Cette équation sera , après avoir effecmé les réductions :

Celte équation sera satû^faîte par ^ = a;' et ;/ c=? / : $iinsi le pot^i de vm est

situé sur la surface 2.

Cette courbe sera , en supposant q^ue m est constant : une ellipse si l'on a :

une Ityperbole si Ton a :

fine parabole si Ton a :

Si l'on cbercfae jes coordonnées du 4^ntDe de cette courbe, on troui^e que Tor-

doiHiée :

ai'imn + j) + ^ (»> "- V'I ~" tn^n+^m — n

et que l'abscisse :

m[a/(mn + t) ^- y (m ^ n)]

et Ton voit, que ti et v satisfont à Téquation as=3f?i6, de la droite lieu des centres. ( Ce que nous devions prévoir par ce qui précède. )

Cherchons l'équation de la droite qui unit le centre (u, v) avec le point de vue

Cette équation sera :

, a?^(mn4-l) + y'(m — n)

Il l/ =2 (x — x)

nCn ^%m—n

en réduisant on trouve :'

, mn-f- 1 , .

Mais Ton doil se rappeler que m est la tangente trigonomélrique de l'angle que la droite lieu des centres des cercles fait avec l'axe des y, et que n est la tangente trigonométrique de l'angle que le tableau fait avec Taxe des x. Nous devrons donc

remplacer m par — , et l'on aura :

or , désignant par y l'angle que le plan du tableau fait avec Taxe des x^ et par i l'angle que la droite lieu des centres des cercles fait avec ce même axe, onaura :

tang(7

tang7 — tang^ m

1 +tang7tang* 1

ainsi l'on aura :

0? — a?' = taiig(7— *) (y — y)

Cette droite sera donc perpendiculaire à la droite ayant pour équation :

y —V = — taBg(7 — J) (a? — a/)

Ainsi , en faisant tourner autour du centre de la courbe méridienne l'angle formé par le tableau et la droite D lieu des centres des cercles , jusqu'à ce que la droite D se superpose sur l'axe des y, la droite unissant le centre (ti, v) et le point de vue {x'j y) sera perpendiculaire à la nouvelle position occupée par le tableau i

AlU moyen d'une figure, il est facile de reconnaître que la droite unissant le centre {u, v) et le point de vue (x\ y') n'est autre que le diamètre conjugué du plan du tableau (le tableau étant un plan diamétral de la surface 2).

Si l'on suppose que le tableau est perpendiculaire au plan du cercle , on devra

poser : »=0-

Et l'équation de la droite passant par le point de vue, sera :

résultat trouvé précédemment.

L'équation de la courbe méridienne rapportée à son centre , sera :

B étant une fonction de (m , n , x\ y).

La surface 2 sera un eUip9<nde à trois axes, ou un hyperboldide à deux nappes et à trois axes , ou un paraboUnde elliptique.

Cherchons maintenant l'équation de la courbe rapportée à ses axes. En employant les formules connues pour passer d'un système rectangulaire à un système rectangulaire , on aura

2m\ . , — *) sm ti n /

-f-coe* w — 2m smb) 008 01