ti8inta>cos

Ismoicosw

^- 2 sin (i> €06 «> -1- am ain* *»

-)- 2m cos' »>

Pour faire disparaître le terme en xy, on devra poser :

ou:

d où :

dès lors :

et comme :

on aura :

d'où:

d'où:

^ sin 2tti ( — j 4- 2m 008 2t» s 0

tang 2v) = n

2 sin (•> 008 •» = sin 2^) =

2 tango»

tang2«»== ; 2.

^ l--tang*«>

tang* •» + - tang u — 1=0

tangw=:i ±: - l/n*+i

n'+ (l ±i\/7+i) 2 (»•+ 1 dtV/n'+i )

Mais dans Téquation de la courbe, remplaçant sin' o par (1 — cos* co) y on aura :

Remplaçant cos ' a> par sa valeur, on aura :

\ » ii'+idzV/n'+l/ \ n'-}- 1 ±\/«'+ i/

de sorte ^e les trois demi-axes de l'elUjMoide ou de l'hyperboloide sero«it :

et

Ainsi , étant donnée une surface dent les trois demi-axes seroni P, Q et R , P étant le demi-axe moyen , les équations :

0"= — 1 et K =

dm . nm

serviront à déterminer m et n eh fonction des demi-axes P, Q, R de la surface.

Mais il est inutile de chercher les valeurs de m et de it , le résultat tang m = fi nous indiquant que les demi-axes Q et R de la surface divisent en deux parties égales les angles que les plans diamétraux de la surface, l'un coupant cette surface suivant un cercle et l'autre étant le tableau , forment entre eux.

Ce résultat nous démontre donc que le tableau sera parallèle aux plans des deuxièmes sections circulaires , les premières sections circulaires étant celles dont on demande la perspective.

Nous donnerons à la fin de ce mémoire, les théorèmes relatifs aux surfaces du second ordre et auxquels conduisent les divers résultats précédemment obtenus par ïanalyse; examinons encore un cas particulier, celui où Ton suppose que la droite lieu des centres des cercles a pour équation :

[Ce cas offrant une .particularité, laquelle est la suivante, savoir : que le paraboloîde elliptique .obtenu précédemment, loraque J'on supposait m = i,

se réduit à une droite lorsque m =: ^ et que x'^=iy ( x'j y\ étant les coordonnées du point de vue)];

Si Ton suppose une droite D passant par rori|[ine des coordonnées et le point de vue {x\ y'), son équation sera :

Si l'on suppose une droite lï faisant avec Taxe des y un angle égal à celui que la droite D fait avec ce même axe des y, mais de l'autre côté de cet axe y, ion

équation sera :

Ainsi , en supposant que l'équation de la droite B lieu des centres des cercles est :

on suppose que cette droite B est perpendiculaire i la droite D'* Cela posé :

On voit qu'il suffira de remplacer m par-^, dans les résultats obtenus précé-

demmenty lorsque Ton supposait que la droite lieu des centres des cercles avait

pour équation :

conservant donc les autres notations et, dés lors» n représentant la tangente trigonométrique de l'angle que le plan du toMeau fait avec le plan horizontal (ou les plans des cercles) , on aura pour l'équation de la surface 2 :

Si l'on suppose que :

l'équation sera :

Si Ton suppose que :

l'équation sera :

n= - etap>ou<rir