y^^x^—^.L+y'* — af*+7^z=zO

Si l'on suppose que :

n = — et X == If

l'équation sera :

On doit remarquer que la troisième équation est précisément celle obtenue précédemment lorsque Ton supposait que :

On doit aussi remarquer que la quatrième équation étant homogène, doit représenter une surrace conique dont le sommet est à Torigine des coordonnées; mais pour 2 = 01a courbe méridienne se réduit à une droite dont l'équation est

Ainsi la surface 2 se réduit à une droite dans ce cas particulier.

Les quatre équations précédentes sont satisraites par £ = 0, âp = x, y^^y* Ainsi le point de vue se trouve situé sur la surface 1.

Il est inutile de continuer l'examen de cette question , puisqu'il est évident que nous retrouverions tous les résultats auxquels nous sommes parvenus précédemment en supposant que la courbe lieu des centres des cercles était une droite, ayant une direction arbitraire.

S"" Si l'on suppose dans Téquation (18) que m=09 c'est-à-dire si l'on suppose que la droite lieu des centres soit verticale, et par conséquent perpendiculaire aux divers cercles horizontaux , on obtient :

y' + X* + z' — 2px — 2y ' . y + y'- — ar'* + 2/>a?' = 0 (19)

qui est l'équation d'une sphère.

Si Ton cherche les coordonnées du centre et la valeur du rayon de cette sphère, on trouve que les coordonnées du centre sont 9' et p^ et que le ray(Hi est égal à : X — p si l'on a : x'>p, ou à p — x* si l'on a: j;'<p.

Ainsi : étant donnée une sphère, si Ton coupe cette surface par une suite de plans parallèles, toutes les sections seront vues sous la forme circulaire, le plan du la6/eatf étant perpendiculaire à ces divers plans et le point de vue étant sur la surface sphérique et à l'extrémité du rayon (de cette sphère) perpendiculaire au tableau.

Remarquons que la condition que l'on a reconnu devoir exister pour Vellipstndej savoir : que le tableau fasse avec la droite qui unit les centres des sections circulaires un angle plus petit qu'un angle demi-droit, se trouve satisfaite pour la «pAére, puisque, dans ce cas , le tableau fait un angle nul avec cette droite; de plus, comme la droite qui unit les centres des sections circulaires est verticale , on a m = 0.

En sorte que les trois demi -axes I/'a , V/ ^--7- — , \X — — , deviennent égaux entre eux , et, dès lors , Tellipsoide devient en effet une sphère.

Solution analytique. Supposons un cercle du rayon R dont le centre soit à l'origine des coordonnées et dont le plan fasse avec le plan vertical yz (pris pour lableau), un angle dont la tangente trigonométrîque soit m.

Le plan des xy étant celui dans lequel l'hyperbole équilatère lieu des pointe de

nue se trouve tracée ,

Supposons que le centre du cercle se trouve transporté en un point du plan xy dont les coordonnées seront a:=a et 1/ =6 , le cercle s'étant mû parallèlement à

lui-même.

L'équation de l'hyperbole équilatère sera alors :

,»(y — 6)* — m(a? — a)' + 2(y — 6)(«-a)+mR' = 0 ou

Supposons une série de cercles, on aura les équations :

(îf-6')*-(«-«')* + i(y-*')(*-<^) + R" = o

(sf - vy - (« - «")' + A (y - n (« - «") + R"*=o

etc.

Pour que tous ces cercles soient vus d'un point (x\ y') sous la forme circulaire , il faudra que toutes les équations précédentes se trouvent individuellement satisfaites par y = y' et â^so:'.

Dès lors , l'équation :

(y'-ey- (^ - *)* + ^ ^*'" ^^ ^^'" «)+ r^=o m

sera Téquation de condition qui lie entre elles les quatre indéterminées 6, a, M et r.

Premier cas. On pourra supposer que M et r sont constants, et alors l'équation (20) sera celle de la courbe lieu des centres d'un cercle mobile et de rayon constant et se mouvant parallèlement à lui-même.

On voit de suite que la courbe représentée dans ce cas par l'équation (20) est une hyperbole équilatère ; ce que l'on peut reconnaître à priori par une construction graphique , ainsi que nous l'avons fait déjà voir lorsque nous avons traité le premier problème. ( Alors on supposait que le plan du cercle mobile était parallèle au plan des xz^ ou que M était infini).

Deuxième cas. On peut supposeir M constant et r variable, et dès lors supposer que :

r*= f (a, 6) ou r* = y(«) ou r* = f(6)

et dès lors on retombe sur la question précédemment examinée.

Troitiéme cat. On peut supposer que r soit constant et M variable , et qu'ainsi :

dès lors réquaiion :

+ (a,6)(y'-6)'-*(«,6){a?'.-flt)*+2(y'-.6)(a?' — flt)+r'..K«, 6) = 0 (21)

sera réquation de la courbe lieu des centres du cercle mobile et de rayon constant. Quatrième cas. On peut supposer que :

et que :

Alors les équations du cercle mobile en une de ses positions seront :

et

On dcYra donc éliminer a, 6 , r et M entre les cinq équations (20), (a2X (23)» (24), (25), et l'équation finale sera celle de la surface 1.

Effectuons rélimination :

De (24) on tire :

X^^ oc