VL
Sf — 6
de (25) on tire :
"^ w +' i^rr^r. "•■'
ou
Substituant dans l'équation (20) ces valeurs de M et de r*, on a :
(^ 6)> (a;'- «)•-). !fcS(y 6) (a^ .) + (y 6)' + (« a)' + *• = G (26)
L'équation (23) peut s'écrire , en vertu de l'équation (24) , sous la forme :
on n'aura donc qu'à éliminer a et 6 entre les trois équations (22) , (26) , (27) , pour avoir Féquation de la surface 2.
Et en supposant que dans Féquation (26) on fasse » ï= 0^ l'ensemble des équations (22) , (26) , (27) , donnera l'équation de la courbe méridienne de la surface 1. L'équation (26) , en supposant z =0 , peut s'écrire de la manière suivante :
Pour que l'équation représente un cercle (et alors la surface 2 sera une sphère) , il faut poser :
équation qui peut être satisfaite par :
6 = y', ou par if(^) = x\ ou par M = +(«i ^)= 5
V En supposant 6 = y', et supposant dès lors que a = <p(î;'), et que M est indéterminé (M pouvant prendre toutes valeurs, depuis zéro jusqu'à
l'infini ) ,
L'équation (2S) devient :
équation d'un cercle dont les coordonnées du centra sont l'abscisse <f(y') et l'ordonnée y', et dont le rayon est égal à [x' — ?(sr')]*
L'élimination de M entre les équati<His (24) et (25) nous ayant donné :
on aura, en supposant z=0 et6=y^
ainsi , en vertu des équations (30) et (3i) , on aura :
r* = [x'—ff{jf)J, d'où' r = constante
Ce qui nous démontre que : si Ton suppose qu'une suite de plans passant par un point fixe 0 , dont les coordonnées sont y :=:y' et a: = f (y') ( ces plans étant tous perpendiculaires au plan des yx) ; si Ton trace dans chacun de ces plans un cercle d'un rayon constant r=x' — ff (y) , le centre commun à tous ces cercles étant le point 0 , tous ces cercles seront aperçus , du point de vue {x\ y') le tableau étant le plan yz , sous la forme circulaire ; tous ces cercles détermineront une sphère dont te centre sera en o et dont le rayon sera égal à r*
On retombe ainsi sur. un cas particulier du théorème des projections stéréographiques (celui où la courbe lieu des centres des cercles se réduit à un point ) .
S"* En supposant M = -r , on retombe sur ce qui a été dit précédemment ,
lorsque nous avons supposé que les plans des cercles étaient tous horizontaux.
Ainsi on retombe sur un cas particulier du théorème des projections stéréographiques (celui où la courbe lieu des centres des cercles est une droite perpendiculaire aux plans de ces cercles ).
3*" En supposant que (x = x\ et dès lors que S = 9(x')9 et que M est indéterminé ,
On trouve toujours que la courbe méridienne est un cercle dont Téquation est :
équation qui est satisfaite par y = i/' eta;= x\ ce' qui montre que le point de vye est situé sur ce cercle. Mais en faisant la figure (ou Vépure), on voit sur-le-champ que le cône qui a son sommet au point x'j y\ et qui a pour base un grand, cercle (arbitraire , mais dont le plan est perpendiculaire au plan yx) de la sphère 1 , ne sera pas coupé par le plan yz ou le tableau , suivant un cercle ^ mais suivant une hyperbole équilaiére.
Et en eiFet , le plan yz étant parallèle à la droite verticale D , qui unit le cenire de la sphère I et le point de vue^ les asymptotes de Y hyperbole seront parallèles aux génératrices du cône situées dans le plan perpendiculaire au plan dest/x , et passant par la droite D. Et il est évident que ces deux génératrices sont rectangulaires entre elles.
Solution analytique. Désignons les coordonnées du point de vue par {x\ y, J) ; les coordonnées du centre du cercle par («,69 7)9 ^t son rayon par R. Les équations de ce cercle seront :
(a;-a)' + (y-êr + (^^r=R* A(a;— «) -l-B (y-6)+ C («-7)= 0
celte dernière équation étant celle du plan N sur lequel est situé le cercle. Le tableau étant le plan vertical yz , l'équation d'un plan P perpendiculaire au tableau et passant par le point {x\ y\ z') et par le point (a, S, y) sera :
Les deux plans P et N doivent être perpendiculaires entre eux; dés lors, en vertu de ce que le plan P est perpendiculaire en naème temps et au plan N et au tableau j les traces de ces deux plans P et N sur le plan t/z devront être perpendiculaires.
L'équation de la trace du plan N est de la forme :
On devra donc avoir [en représentant ^V^-- par n J, ^ = n, et désignant par m la tangente trigonométrique de Tangle que le plan N fait avec le tableau , on aura :
dou: — - =
Ainsi l'équation du plan N sera :
Désignons par x et z deux axes rectangulaires situés dans le plan P.
L'équation de l'hyperbole équilatère tracée dans ce plan a dès lors pour
équation : * .
m' étant la tangente trigonométrique de Tangle que le plan du cercle fait avec l'axez'.
On voit de suite que z n'est ici autre que la trace du plan P sur le plan ors; ainsi ^ pour connaître m\ il faut connaître l'angle que z fait avec le plan N , angle qui n'est autre que celui que le plan N fait avec le tableau; ainsi m = m.
Il faut, maintenant, déterminer Téquation delà projection de cette hyperbole sur le plan xz.
Or, comme l'axe des x est parallèle à l'axe x , il suffira de remplacer, dans l'équation de la courbe, z par sa projection sur le plan xz; or :
on aura donc :
m (II' + 1 );<• — ma? + 2a;^|/'n' + l-fmR*?=0
pour l'équation de la projection de l'hyperbole équilatère sur le plan xz*
Gela posé , on aura les sept équations suivantes :
V («-«) + «<»-e)+(«-r) = o équations du cercle du rayon R et ayant pour coordonnées de son cercle a, (3, y;
m(n' + 1) («' — 7)' — mla/ - a)' + 2l/n* + 1 (x'^a) (/ — 7) + mR* = 0
6— y = ii(a— a?')
équations de condition , en vertu de ce que l'hyperbole équilatère est assujettie à passer par le jmni de vue ( x\ y\ z' ) , et de ce que son centre est au point
équations de la courbe lieu des centres des cercles; et enfln :
m = 4»(ii)
équation qui établit une relation entre les tangentes trigonométriques des angles que les plans P et N , font le premier avec le plan horizontal xz , et le deuxième avec le plan vertical yz.
Au lieu de poser pour septième équation m =: $ (n), on pourra poser :
R = /^(«, €, 7), ou m=F(R), ou m = ç(S S>7);
enfin , on pourrait poser une relation arbitraire entre deux ou plusieurs des six indéterminées ( a, 6, y, m, n, R).
Et en éliminant les six indéterminées entre les sept équations, on aura une équation finale en x^y^z^ et dans laquelle n'entreront que les quantités connues x\ y 9 z] cette équation finale sera celle de la surface 1^ lieu des divers cercles qui seront aperçus sous la forme circulaire du point de vue {x\ y\ 2' ) 9 le tableau étant le plan vertical yz, ou lui étant parallèle.
Perspective hyperbolique du cercle.
¥^OBLÈME PRINCIPAL.
Fig. (iOl). 1' Si Ton suppose deux cercles, l'un horizontal C et l'autre C situé dans un plan vertical , ces deux cercles ayant même centre ; il est évident que si sur le cercle C on prend un poiat quelconque m^ et qu'on regarde ce
point comme le sommet d'un cône ayant le cercle C pour base, tout plan perpendiculaire aux plans des cercles C et G' coupera ce cône suivant une hyperbole
éqmlatère.
Ainsi, supposant trois axes rectangulaires , et le cercle C situé sur le plan xz , et le cercle C situé sur le plan yx^ Torigine des coordonnées étant le centre commun à ces deux cercles,
sera l'équation de la courbe lieu des points de Tespace d'où le cercle C sera aperçu sous la forme d'une hyperbole équilatère, le plan du tableau étant un plan P parallèle au plan yzy ou étant ce plan yz lui- même.
Mais il n'y aura pas que les plans P qui couperont le cône suivant une hyperbole équilatère. Il est évident que tout plan parallèle à l'un quelconque des plans passant par la droite qui unit le point m et le centre commun aux deux cercles C et C\ coupera aussi le cône suivant une hyperbole équilatère.
Fig. (102). 2"* Si l'on suppose un cercle C du rayon R situé sur le plan horizontal xzy son centre étant à l'origine des coordonnées, et si l'on trace dans le plan vertical xy^ une ellipse E ayant son centre à Torigine des coordonnées, et ayant ses diamètres conjugués égaux à 2R, l'un de ces diamètres étant le diamètre du cercle G, dirigé suivant l'axe des x;
Il est évident que si sur cette ellipse on prend un point m arbitraire, et que l'on regarde ce point comme le sommet d'un cône oblique ayant le cercle G pour base, tout plan perpendiculaire au plan xy et faisant avec l'axe des x un angle égal à l'angle que les deux diamètres conjugués égaux de Tellipse font entre eux, coupera le cône suivant une hyperbole équilaière.
Gherchons l'équation de cette ellipse; dès lors^ menons par l'origine des coordonnées une droite D, faisant avec Taxe des x un angle 9 dont la tangente trigonométrique sera m; prenons Taxe des x et la droite D pour des axes obliques X et y) réquation d'une ellipse rapportée à ses axes, en supposant que ses diamètres conjugués égaux entre eux et à 2R Sont dirigés suivant ces axes , sera :
Passons des axes obliques x' et y' aux axes rectangulaires x et y. Dès lors , pour un point m de cette ellipse , on aura :
et {
yf = -X- et \ ou
Substituant dans l'équation de l'ellipse, on aura.:
x^ + cot'f y* — 2i;ycotf = R*
OU
ou
m' . ap' + (2 + m')y* — 2m .«y = m*R'
équation qui sera , en supposant m =: r- , ou le tableau perpendiculaire au plan
XX, devient x' + y' = R'.
' On voit immédiatement que l'on a le même résultat que celui qui existait pour la perspective circulaire, savoir : que les axes de la courbe lieu, des points de vue , partagent en deux parties égales , les angles que font entre eux les plans du cerc/6 et du tableau (le tableau passant par le centre du cercle).
Dans ce qui précède on doit remarquer que l'ellipsoïde construit sur le cercle G et sur l'ellipse E lieu des points de vue, sera le lieu de tous les points de l'espace desquels le cercle G sera aperçu sous la forme d'une hyperbole équilatère sur le plan P; mais que l'ellipse E sera le lieu des points de l'espace desquels le cercle G sera aperçu sous la forme d'une hyperbole équilatère, dont l'un des axes sera toujours horizontal. Nous reviendrons sur ce point, un peu plus loin.
OmstructUms graphiques.
Toutes les constructions graphiques indiquées pour la perspective circulaire, s'appliqueront ici ; il suffira de remplacer l'hyperbole équilatère, lieu des points de vue, par un cercle ^ lorsque le plan du tableau sera perpendiculaire au cercle donné, et par une ellipse lorsque le plan du tableau fera avec le plan du cercle donné un angle qp.
Solution analytique. Il suffira de remplacer dans tout ce que nous avons dit précédemment ( perspective circulaire ) , l'équation de condition ( le tableau étant perpendiculaire au plan du cercle supposé horizontal ) :
(ar' - «.)' - (y - sr = r^ par
et l'équation de condition ( le tableau faisant un angle 9 avec le plan du cercle, ce plan étant horizontal ) :
par
taDg<p
Il sera donc facile, dans tous les cas, d'obtenir l'équation de la surface Ij engendrée par un cercle tel qu'en chacune de ses positions il soit aperçu sur le tableau sous la forme d'une hyperbole équilatère.
Examinons cependant un cas particulier, celui où la courbe lieu des centres des cercles horizontaux sera une droite.
Supposons le tableau perpendiculaire aux plans des cercles horizontaux dont les centres se trouvent situés sur une droite ayant pour équation : ,
Les équations d'un des cercles seront :
y = 6 et (x — «)' + ^ = R*
L'équation de condition sera :
Éliminant a, 6, R entre ces quatre^n^quations , on aura Féquation de la surface 1 :
en faisant z=0, on aura l'équation de la courbe méridienne qui sera une hyperbole éqmtaîére. Cette équation sera :
elle est satisfaite par x=^x' et t/=y^
Ainsi lepoinîde vue (a/, y) se trouve situé sur cette courbe , et par conséquent sur la surface!.
Cherchant les coordonnées du centre de la courbe méridienne, on trouve pour
son ordonnée v := . f^f , pour son abscisse u = . . . -
Cherchons l'équation de la droite unissant le centre (te, t^) de la courbe méridienne et le point de vue (x\ y'),
— 43i — Celte équation sera :
* ^ , n(nx+yO ^ ' •
ou :
Ainsi la droite qui unit le centre du cercle et le point de vue est perpendiculaire à la droite lieu des centres des cercles,
La surface 1 s^ra un hyperboloîde à u^ie nappe, et à trois axes inégaux.
Si Ton supposait que le tableau^ au lieu d'être perpciulicolaire aux plans des cercles, fease avec ces plans un suiglof , on . obtiendrait les vmèiiies résultats.
Si Ton supposa que la droite lieu des oenlres des cercles est verticale , alors n=: 0 , et l'équation de la surface 2 devient :
La surface 2 est donc dans ce cas un hyperboloide à une nappe , et dont les trois axes sont égaux.
Cette surface est donc de révolution, son cône asymptote ayant son demi -angle au sommet égal à un angle demi-droit.
En vertu des divers résultats auxquels nous sommes parvenus précédemment f nous pouvons énoncer ( pour les surfaces du second ordre) les théorèmes suivants. .
Perspective circulaire.
Étant donné un e/^tp^otcfe à trois axes inégaux ou un hyperboloide à deux nappes et à trois axes inégaux (les grandeurs des axes étant arbitraires).
Si par le centre de la surface on mène les deux plans P et P' resi>ectivement parallèles aux sections circulaires, et les diamètres D conjugué du plan P, et D' conjugué du plan P' ;
Les extrémités du diamètre D serQUt les points de vue desquels toutes les sections circulaires de la surface et parallèles au plan P', seront aperçues sous la forme circulaire , le tableau étant parallèle au plan P.
Et réciproquement :
Les extrémitésdu diamètre D' seront les pomto (ie vue desquels toutes les sections circulaires de la surface et parallèles au plan P, seront aperçues sous la forme circulaire , le tableau étant parallèle au plan P'.
V etlipsaide devenant un parabotaifte elUpiiquey le point de vue se trouve situé à rinfini , ei tous les cônes aydnt ce point pour sommet et les sections circulaires de la surface pour basej deviennent des cylindres parallèles à (*âxe infini do paraboloMe.
Ce théorème n'est qu'un cas particulier du théorème général démontré par Hachette (tome I, page 77, de la Correspondance de TÉcole polytechnique); mais il est à remarquer que ce théorème n'existe pas pour toutes les surfaces du deuxième degré qui jouissent de la propriété d'avoir des sections circulaires , puisque 1 hyperboloide à une nappe se trouve exclu ; par contre, le théorème suivant (perspective hyperbolique) n'existe que pour l'hyperboloîde à une nappe.
Je ne sache pas que cette remarque, qui n'est pas sans intérêt géométrique , ait encore été faite ou publiée. En effet, dans la Correspondance de l'École polytechnique , on donne Téquation de la surface du deuxième ordre, mais sans dis cuter cette équation. Il est facile, il est vrai, de reconnaître qu'en effet, elle ne peut représenter qu*un ellipsoïde , un hyperboloide à deux nappes , et un paraboloîde elliptique ; mais enfin l'auteur de la solution ne l'a pas dit.
Plus loin, nous montrerons comment on peut, par des constructions graphiques, reconnaître qu'en effet Ton ne peut obtenir que Tune des trois surfaces ci-dessus désignées.
Perspective hyperbolique.
Étant donné un hyperbolotde à une nappe et à trois axes inégaux (les grandeurs des axes étant arbitraires ) , si par le centre de la surface on mène les pians P et P' des sections circulaires , et leurs diamètres conjugués , G conjugué du pian P et G' conjugué du plan P' ;
Si dans le plan des diamètres G et G' on mène deux droites , R perpendiculaire à G et R' perpendiculaire à G', ces droites perceront la surface , savoir : la droite R en deux points^f) et ç, et la droite R'en deux points p et q\ tels que :
peiq seront les points de vue desquels les sections circulaires parallèles au plan p seront aperçues sous la forme d'hyperboles équilaièreSy le tableau étant le plan P'.
Et réciproquement :
p'et q' seront les points de vue desquels les sections circulaires parallèles au plan P' seront aperçues sous la (orme d'hyperboles équilcuèrest le tableau étant le plan P.
Si Y hyperbolotde à une nappe a ses trois axes égaux , alors un point arbitraire m
da cercle de gorge , pourra être pris pour point de vue, et le tableau sera perpendiculaire au rayon du cercle de gorge , passant par ce point m.
La surface hyperbotmde à une nappe.et à trois axes égaux , joue , dans le pro* blèrae relatif à h perspective hyperbolique , le rôle que joue la sphère dans le problème relatif à la perspective circulaire.
