PROBLÈME GÉNÉRAL

Résolvons maintenant la question dans toute sa généralité. Les équations de la courbe C seront :

Désignons par a, a y a', a", etc., les coefficients des divers termes qui entrent dans (f (z)\

Et par 6, b\ b", b"\ etc., les coefficients des divers termes qui entrent dans ^ (s).

Désignant par x\ y', % les coordonnées du sommet du cône ayant la courbe C pour base ,

X — a/ = in(z— z') y — y' =»{*—«')

seront les équations de la génératrice droite de cette surface; et en éliminant z

entre les deux équations :

?(«) — j:' = m(jj— z*) + (z) — y' = n(Js-Ji')

on aura une relation entre m et n, qui sera :

L'équation de la surface conique sera donc :

$ sera donc fonction de x\ y\ z' et des divers coefficients a, a\ a\ etc. , et 6, b\ 6", etc.

Coupons le cône par un plan P passant par l'origine des coordonnées , et faisant un angle 9 avec le plan horizontal et dont la trace horizontale fasse avec Taxe des x un angle a.

Nous obtiendrons Téquation de la courbe de section et dans le plan même de section , au moyen des formules connues :

x = X, cos a -|- y, sin a . cos 6 y =z x,sm ai — y. cos a . cos 0 js =s y, sin 0

En substituant ces valeurs de a;, j^, z dans l'équation :

on obtiendra l'équation :

qui sera l'équation de la section , et $, sera fonction de :

(« , ô) et de (a, a', a",^ etc.) et de (6, 6', 6", etc.) et de {x\ y', z')

$, = 0 sera donc l'équation de la courbe G' perspective de la courbe G.

On pourra établir que la courbe G' satisfasse à certaines conditions. Ainsi, par exemple (en supposant que le cône est du second degré), on pourra établir que la courbe G' est : 1" un cercle, ou une hyperbole , ou une ellipse ; 2* que les axes de cette courbe ont une certaine direction, ou que son aire (lorsqu'elle est une ellipse ), est égale à une aire donnée K' ; ou S*" établir que G' aura ses axes dans un rapport donné , etc.

Ces diverses conditions, quelles qu'elles soient , seront toujours exprimées en fonction des coefficients des divers termes qui entrent dans l'équation $.=0. Pour exprimer ces conditions, on devra poser un certain nombre d'équations tellesque: ,

5(3:', y*, V) =0, Ç,(a/, y, *') = 0 , etc. Dans chacune de ces équations 4> ^.i •• • étant une fonction non-seulement de :

(a/, y', Jî*), mais encore de (a, 8) et ' de a, a', a", etc. et de 5, b\ b'\ etc.

Chacune de ces équations sera celle d'une surface lieu des sommets {xy y, i') des cônes qui ayant pour base commune la courbe G , seraient coupés par le plan P suivant des courbes C\ G/, G/, etc., lesquelles -satisferaient chacune aux conditions exprimées par les équations :

Ç (a:', y', z') = 0 , 5. (a:',y', V)=sO, etc.

Dès lors :

!• Si les conditions auxquelles l'on veut que les courbes G', G/, G/, etc., satisfassent , se trouvent exprimées par une seule équation :

le lieu des sommets des cônes sera une surface dont $= 0 sera l'équation ;

— 4&8 — '2° Si ces condition j exigent, pour être exprimées, deax équations:

Ç(a/, y-, V) = 0 et f.(«', y', x')=0

le lieu des sommets des cônes sara sur une oom4>e dont (=0 et $, =0 seront les équations.

S"" Si ces conditions exigent trois équations :

^lors le lieu des sommets des cônes se réduira à un certain nombre de points isolés et communs aux trois surfaces dont les équations sont :

4"" Si ces conditions exigent plus de trois équations de condition , alors, en général, le problème sera impossible.

Ainsi pour les trois premiers cas , le problème sera impossible : si, i"* la surface est imaginaire; si 2Mes deux surfaces ne se coupent pas, ou si 3"" les trois surfaces n'ont pas de points communs à toutes les trois; et pour le 4* cas, le problème sera possible si les 4 ou 5 ou 6,... ou n surfaces ont des points communs entre elles.

D*ailleurs il est évident que les surfaces lieux des sommets des cônes seront imaginaires toutes les fois que Ton voudra établir pour les courbes G', G", G'", etc., des conditions qui ne peuvent leur appartenir comme sections planes de cônes ayant la courbe particulière G pour base commune.'

Les conditions auxquelles on voudra assujettir la courbe C' devront donc être compatibles avec la nature du cône ayant pour équation $^=0; ou en d'autres termes devront être compatibles avec la nature géométrique de la courbe même G' dont léquation est^,=sO.

Cela posé :

Si nous supposons que la courbe C se déplace et prenne dans l'espace une nouvelle position C, , nous devrons supposer que les constantes cr, a\ a\ etc., et b, b'j b'\ etc., ont changé de valeurs et pris celles a. , a',, a'',, ... 6, , b\ , 6", , ... puis sont devenues a., a',, a".,... A,, 6,, 6",,... lorsque la courbe C aura pris une troisième position C. et ainsi de suite. Dès lors, on voit que si l'on pose les équations suivantes :

i, \ J irr \ équations de la courbe c

'i(x^y%\ aaà\ ...hb'V\ ...), équation de la surface lieu des sommets des cônes.

Et auinqt (i'équalions de condiii^m enlre a, a\ a\ ... b^ b\ b^\ ... qu'il y a de ces constantes, moins 2; ainsi s'il y a n constantes telles que a, a » ... b^ b\ ... on devra poser (ft — 2) équations de condition ; on pourra toujours éliminer ces n constantes entre les (ft \ 1) équations posées ^ et avoir une équation finale en x , t/ ^ z^ x\ y\ z* qui sera l'équation de la surface ly lieu des diverses positions C , C„ C,, ... de la courbe génératrice et mobile G; cette surface étant telle qge du point {x\ y\ %) toutes les courbes G, G., G,, ... seront respectivement aperçues sur le plan P, sous la forme G^ G',^ G'„ ... satisfaisant aux conditions établies. Mais si les conditions établies pour G^ au lieu de conduire à poser une seule équation Ç=0, conduisent à poser les deux équations (=0 et g, = 0, c'est-àdire , si le lieu des sommets des cônes est une courbe au lieu d'être une surface , alors on ne devra plus poser entre lesn constantes a, a',... b, b\... que(n — 3) équations, pour avoir en tout (n+l) équations entre lesquelles l'élimination des n constantes devra être effectuée.

Appliquons ce qui précède à quelques exemples , en nous bornant à chercher le lieu des sommets des cônes ou des points de vue.

Premier exemple. Supposons que la courbe G est un cercle dont les équations

sont :

L'équation du cône ayant son sommet au point (x\ y, z) et pour base le cercle G, sera :

Supposons que le plan sécant P soit le plan des zy, on devra faire a; = 0 dans l'équation du cône , et

[(a/-a)(;ir-V)+«'a^]'-}-[(ï'-6)(x^V)-V(y-yOr=»n^-^r

sera l'équation de la courbe Gf.

Développant et réduisant, on trouve :

Si Ton veut que la courbe G' soit un cercle, il faudra poser les deux équations de

condition :

V(y'-.k)=sO^Ç *'" - (y - 6)'— (aï' — ar -f R' =^ 0 = ç.

dès lors, les sommets {pi^ y\ %') des cônes seront situés sur la courbe intersection des deux surfaces ( =; 0 et Ç, = 0.

La première équation est satisfaite par a' = 0 , et par y' — 4=0; *' = 0 est l'équation du plan desxy] y^ — 6 = 0 est Inéquation d^un plan parallèle au plan

des zx.

V Si Ton prend la solution z' = 0, alors Téquation ^,=0 se réduit à (y — by + (a:' — a)' = R% équation du cercle C. Tous les sommets seront dès lorssilués sur ce cercle et tous les cônes se réduirontau plan même du cercle G.

2"" Si l'on prend la solution y' — 6= 0, alors Téquation ^, =0 se réduit à z'^ -- (x' — ay = R% équation d'une hyperbole équilalère, dont le centre est au centre du cercle C , et dont le plan est parallèle au plan des zx.

On retombe donc sur la solution trouvée au commencement de ce mémoire, mais à laquelle on était arrivé directement en traitant comme problème isolé et à priori le problème des perspectives circulaires. .

Deuxième exemple. Au lieu de supposer dans le problème précédent que la courbe G' soit un cercle, supposons qu'elle est une hyperbole équîAatère.

Alors il faudra que les coefficients dez' et det/' soient égaux à l'unité et soient de signes contraires; on devra donc poser l'équation de condition :

^* + (»' - ^r + ipc'—ay = R' = 0 «?

qui est l'équation d'une sphère dont le centre est au centre du cercle C.

Dans ce cas le lieu des sommets des cônes est une surface.

Mais si l'on établit pour la courbe G' une seconde condition , savoir, par exemple, que ses axes seront l'un parallèle à l'axe desz et l'autre parallèle à Taxe des y ; alors on devra faire disparaître le terme en zy dans l'équation $, = 0 qui est l'équation de la courbe C',

Et l'on devra poser dès lors :

or, pour z' = 0 , Téquation Ç = 0 deviendra :

qui est Téquation du cercle C.

Pour y =by l'équation Ç = 0 deviendra :

qui est lequation d'un cercle ayant même centre que le cercle G et qui est situé dans un plan parallèle au plan des zXy et l'on voit que dans ce cas le lieu des sommets des cônes est une courbe.

trmiéme exemple. Supposons que la courbe G est. unejBectîon conique dont les équations sont :

x = p , et y" -|- nwp* + iMP + j = 0

l'équation du cône sera :

[,+i£^^âp«j+.r^+

« — jT

J+.[^+fc^i»]

Coupons ce cAne par un pbn P passant par Torigine des coordonnées et tel que sa trace sur le plan xy fesse avec l'axe des x un angle 9 , et dont l'angle d'inclinaison sur le plan xy sera désigné par 6.

Au moyen des formules pour trouver l'équation de la section dans son plan , on aura :

♦. = 0 ==g(if,«in.O -^ «T + (y (y.sinô -- jO + (P — «0 («.MOf — y. coiy cosô — yO^ 4- "» [^(Sf. «»• — *') + (P — «){».«»f + 3f,«inf cofO — a/)r-H 4- Il [a/lsf.riiitf — «T-f (P — *') (».«»« — ^) («.«»? + ».»n? CO6O— a/)]

Cette équation en x, et y, sera celle de la courbe C, En développant et ordonnant on trouve :

x\+^mBB$inf(p — !i^ + 9$nst^ûa9 cotf(p— z^ — 9(p — nfyAn^fsoB^coêB + 2m(p— V)8inf co8f C089 + fi{p— 4P^«iii0coff

«*+cte.=0

-f-f sin*0