ia/8iii
+ Il (p — JK')siiiO . sinf . ootO
Si l'on veut que la courbe B' soit un cercle » il faudra poser les deux équations de condition :
ou:
{p~^3i)\%siAn%AvL^'\-^ma!9ixih . coe^ — i(l — m)flinf co6f coB0-|-fisinecoBf]=:O et:
ou :
{p-rt*(8iii> + mco8» = siii*e(j + y''+ mx*'^naf) + {p^ Jif)i{p ^ s^) oot^fcm^ ^
I^ première équation de condition se trouve satisfaite par :
r p — jk'sbO
y'-f- m cot . f . a;' — (1 — m] coif . cot . 0 -j- ■' n ^=g 0
L'uD6 et ravira de tm équations représente un |rfan : la première un plan horizontal qui n'est autre que celui do cercle G ( on doit rejeter cette solution ) ; la deuxième un plan vertical , perpendiculaire au plan xy.
La deuxième équation de condition est celle d'une surfiice du second ordre. .
Ainsi la courbe lieu des sommets des cônes sera une section conique*
Il est fiicîle de reconnaître que ta surface du second ordre , dont l'équation est ^, =0^ sera un hjperboloïde à une nappe lorsque m sera plus ^nd ou plus petit que xéro, et un parabdoide l^yperbolique lorsque MsaiO..
En sorte que la courbe lieu des sommets des cônes/Sera :
une e%sa lorsqpoe la courbe G sera une hyperbole » une hyperbole lorsque la courbe G sera une eUip$e^ une parabole lorsque la courbe G sera une parabofe.
Vérifions ces divers résultats pour un cas particulier.
On pourrait supposer : 1* que F inclinaison du plan sécant P (qui est le iableau) restât constante ; ainsi l'angle 6 serait constamt et l'angle ^ variable.
2"" Que la trace sur le plan xy du iableau fût invariable ; ainsi l'angle «^ serait constant et l'angle 0 variaî>le.
Nous choisirons pour cas particulier, celui où la trace horizontale du plan sécant P, fait un angle droit avec Taxe des x ; alors :
.8iiif=l et ooff = 0
Dès lors les deux équations précédentes (ssO et g. s=:0 se réduisent : La première à :
y'rinO^O, d*où y=;0
La deuxième à :
(p — 4fy(l —mcoa'O) =8m*ô(ç + y + mx'^+naf) + Sma/Cp — V) aine coee
La surface du deuxième ordre passe par la courbe G ^ car si Ton coupe cette surface par le plan dont Téquation est p — x s= 0 , on trouve :
q + tT + «Mf^ + nx' = 0
qui n'est autre que l'équation de la courbe G. On peut, sans dîminuevla généralité de la sotution, supposer que p=x 0. L'équation de la surface du deuxième ordre sera dès lors :
jt'' ( — m coi'O ) — y im*6 — mrin'^ . «^ + Stesin 9 cos 0 «l'y — nsin» to' — 9 sin" 0 = 0
et l'équation de la coarbe liea des sommets des cdnes sera (en >erta de ce que
a'» ( 1 .m cos" 0) — m8in'0a:" + îmBin0cosÔ«^«' — nsin'Ga?' — jsin*© = 0
Cette courbe sera Tune des trois sections ooniqyes.
Eu employant le caractère connu ( B' -^ 4AC ), qui sert i reeonnattre la nature d'une section conique » dont Téquation est donnée, on à :
[ 4ni' nn* 0 C06' • — 4 ( m Bill* ô ) ( 1 — m cos" 0 )] qui se réduit à (m si»* ô)
Or : 1* Si m est positif » la courbe C est une ellipse y et alors , comme m sin' 9 est> 0, la courbe lieu des sommets des cônes ou des points de vue {x\ z) sera une hyperbole.
2* Si m est négatif , la courbe C est une hyperbole , et alors comme m sin' 0 , est < 0 , la courbe lieu des sommets des cônes ou des points de vue {:xf,z') sera une ellipse.
3* Si m =: 0, la courbe G est une parabole, et alors comme m sin'O ss 0, la courbe lieu des sommets des cônes ou des points de vue (x'j x!) sera une parabole.
fiota. [ Dans ce dernier cas, l'équation de ta courbe lieu des points de vue est :
«" — nén'B . X — g sin* 0 = o
et comme l'équation de la courbe C est dans ce eas,
on voit que ces deux courbes se trouvent situées Tune sur le plan xy, l'autre sur le plan sa:, et qu'elles ont toutes deux pour axe infini l'axe des «; mais ces courbes sont tournées en sens inverse, l'une étant dirigée vers les x négatifs , l'autre au contraire vers les x positifs. ] On voit de suite que :
i* Si m est positif ( C est alors une ellipse ) ;
La surface du deuxième ordre dont ^ s= 0 est l'équation , sera encore un In/perifoUnde à une nappe et à trois axes inégaux.
T Si m est négatif (C est alors une hyperbole ) ;
La surface du deuxième ordre dont (, c=3 0 est l'équation , sera encore un kyperboknde à une nappe et à trois axes inégaux.
S"" Si m =0 ( C est alovs une pmséole)]
La surface du deuxième ordre dont S, = 0 est l'équation , sera un parabolaide hyperbolique.
Nala. (Si C est une ellipêe , cette courbe est une section de F hyperbotmde à une nappe, et Chyperbote lieu des points de vue est dans le plan zx\ Taxe imaginaire de la surface hyper boloide se trouve situé dans ce plan %x.
Si G est une hyperbole ^ ceiie courbe est une section de F hyperboloide à une nappe, et F ellipse lieu de» points de vue est dans le plan %x; l'axe imaginaire de la surface hyperboloide se trouve dans ce cas situé dans le plan xy , et ainsi dans le plan de la courbe G.
Il y a réciprocité j comme cela arrive presque toujours, dans les problèmes relatifs à des ellipses ou à des hyperboles^ et dont la solution conduit à trouver pour résultat une section conique. )
Reprenons Téquation du lieu des points de vue ,
z'* {i — mco8*ô) — msin'ôfltf" + 2** sînOcoiOa/*' — n sin'Oa:' — q cos'6 = 0
et cherchons la direction des axes de la courbe représentée par cette équation.
En employant les formules connues pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système aussi rectangulaire, et qui sont :
af=zx Costa — jTttnc* x' = â? 8În «I -|- ji 008 0»
on troi^^ve :
+ (t — mcos'ôjsin'»
— m lin" 0 oos' •»
-}-2m sinO cos9 sin» eos w
On devra poser :
a?'-|- {1 — m co8'6) oos*»
•^msin'Osin'c»
— Smrin9oo60co8w8mti
-^ dm sin' 0 tin ft> co0bi -j- 2m âne €0s6 oos' co — SmsinGcosOsiii'b)
xz -f- etc. = 0
d'où
(1 — mces*e-{-m8i»*0)8iii»co8tt+mriD0co« 0(cû8'u>-^8iii ^w) =0
tang.«»=
— msînOooftO
i — m(co8'6 — 8in"e-|-8m6co5 6)
et désignant iang 9 par I, on aura :
smO
tanf • w =1 -^-r
et cosO :=
— mt
f+l + mcr— /— i)
Dès lors :
1* Lorsque m=: 1 , et alors la section conique est un cercle , on trouve :
tangM =
