SW

2* Si l'on suppose qae le plan sécant se confond avec le plan des yz , alors l'angle 0 est égal à un angle demi-droit, et tang 0=r 1.

Faisant donc 1=4, dans la valeur de tangu, on trouve : tang «=: — I , d'où Ton doit conclure que l'angle » est ^1 à la somme de trois angles demi--

droit* Ainsi l'on a (od — 8):= i . droit.

Ces résultats s'accordent avec ceux obtenus au commencement de ce mémoire.

Nou$ ne pousserons pas plus loin ces recherches , qu'il sera facile de compléter en cherchant les axes de la courbe lieu des points de vue; on pourra aussi s'exercer à chercher la direction des axes et leurs longueurs , pour la courbé dont les équations sont Ç=iO et ^,=: 0. Alors la question sera résolue dans toute sa généralité.

Nous allons maintenant , au moyen de constructions graphiques , analogues à celles employées au commencement de ce mémoire , montrer que le lieu d'une section conique C se mouvant parallèlement i elle-même , et son centre parcourant une droite , sera :

I* Si la courbe C est une ellipse ^ un ellipsoïde, ou. un hyperbolorde à deux nappes , ou un paraboloide elliptique ;

2* Si la courbe C est une paraMe^ un hyperboloide à deux nappes ou un paraboloide elliptique ;

3* Si la courbe C est une hyperbole , un hyperboloide à deux nappes.

Et ce qui vient d'être énoncé sera exact , si , en vertu de ce que nous savons , par Vmalyse , que la surface engendrée est du deuxième ordre ; si , dis-je :

Dans le premier ca»^ la courbe méridienne est une courbe fermée ou une courbe composée de deux branches inGnies, ou une courbe ayant une seule branche infinie.

Si , dans le deuxième cas, la courbe méridienne est composée de deux branches infinies., ou d'une seule branche infinie.

Si, dans le trcisiêmecasy la courbe méridienne a deux branches infinies*

Premier cas. Supposons sur le plan boriak>ntal j^j^Oï^. 408) une suite d'ellipse concentriques et semblables E, E', E"..«; dans le plan vertical jcz, construisons la suite des hyperboles lieu des points de vue, H, H', H",... : toutes ces hyperboles seront semblables et concentriques. Sur Tune des asymptotes prenons un point arbitraire A, et pÀr ce point menons dans le plan xz une droite D , cette droite pourra prendre trois positions :

La première, D, coupera en deux points l'une des branches des hyperboles;

La ddniiài&ei D\ sert {«ndMei Tune é» wjmgMê^et ne eoupem qu'une des branches de chaque hyperbole et eo Wi^^l pQÎot ;

La tf0i3îènie> D"» ooupera m un point obaoune dot dem ^ncbea des hyperboles.

Par le centre des ellipses on pourra mener dans le plan xzune droite B parallèle à D ; ou B" parallèle à D' ; ou B'' parallèle à D".

En Taisant glisser chaque système de courbes E et H , E' et H V* • parallèlement à la droite D, ou D', ou D", jusqu'à ce que toutes les hyperboles yiennent se couper au même point h , la construction étant achevée ^ on voit que la courbe tracée sur le plan xz, et lieu des sommets des ellipses en leurs ùonveHes portions , sera :

i"" Pour la droite D une courbe fermée (ellipse) ;

2"* Pour la droite D' une courbe ayant une seule branche infinie (parabole) ;

3*" Pour la droite D'' une courbe composée de deux branches infinies (hyperbole )•

Et il est bien évident , par le mode même de génération de la surface , qu'elle sera : *

Ou i"" un ellipsoïde;

Ou T un paraboloide elliptique ;

Ou 3"* un hyperboloîde à deux nappes.

Deuxième cas. Supposons sur le plan horizontal xy (fig. 101) une suite de paraboles égales ayant même axe infini , P, P', P"... (Ces courbes seront dès lors semblables et concentriques. )

Construisons dans le plan vertical x% la suite des paraboles lieu des points de vue, Q , Q\ Q"... (toutes ces paraboles étant ^les et parallèles ).

Sur l'une d'elles, Q, prenons un point arbitraire 9, et par ce point menons dans le plan xz une droite D , cette droite pourra prendre deux positions.

La première , D, coupera en deux points chacune des paraboles, et il existera une certaine parabole Q, qui lui sera tangente ;

La deuxième, D\ ne coupera qu'en un point chacune des paraboles, et il

exinera une termine iwrabolç Q. qui Iqi «er« tangente.

Faisons gUsser • comme dan» le premier cas , \v syMèines de courbes p et Q, P'etQ'

La courbe lieu des sommets dm paraboles P, P', P'', ... et tracée sur le plan xz , sera : •

i*" Pour la droite D une courbe composée de deux l)raiiebes înfiRies(qui ne sera pas une section conique) ;

T Pour fat droite V uiie eMrtie composée d'oie brandie infinie (parabole).

Ain» , la surface engendrée par la parabole mobile P , sera :

i* CkHuposée de deux nappes in^ies ( cette surface n*est pas do deuxième ordre (♦) ;

3* Un paraboloide elliptique.

Si Ton aiwt tracé sur le pbn hdrixontal xy{Jig. i05 ), une suite de par;d>oles in^les P, P", P^... ayant même axe infini et même sommet ; toutes ces courbes seraient semUables.

Construisant les paraboles Q^ Q', Q'\..., lieux des points de vue, et achevant les constructions, on trouverait sur le plan jbs, pour lieu des sommets des paraboles P, F, K... (en leurs nouvelles positions) une courbe qui serait :

Ou I* composée de deux branches infinies (hyperbole).

Ou 2* composée d'une branche infinie qui ne serait pas une section conique.

Ainsi la surfiice serait :

Ou 4* un hyper boloide à deux nappes ;

Ou 2* formée par une seule nappe infinie (cette surfece n'est pas du deuxième ordre) (♦*)•

Troirième cas. Supposons sur le plan horizontal xy (fig. iùtf) une suite d'hyperboles H, H', H''..., concentriques et semblables.

Traçons sur lepton vertical xz la suite 4es ellipses semblables et concentriques E , E\ E", lieu des points de vue.

Prenons sur l'ellipse E un point arbitraire e, et menons par ce point e dans le plan xz une droite D. Cette droite ne pourra prendre qu'une seule position par rapport aux ellipses ; elle coupera toujours chacune d'elles en deux points » et il existera toujours une certaine ellipse E, qui lui sera tangente. Achevant les cens-* tractions , comme précédemment , l'on obtiendra sur le plan xx, pour la courbe lieu des sommets 4es hyperboles (en leurs nouvelles positions), une courbe composée de deux branches infinies (hyperbole).

Ainsi la surface sera un hyperholoide à deux nappes.

Je terminerai ce mémoire par le problème suivant : , Je suppose un cercle G , situé sur le plan horizontal que nous prendrons pour plan des xy , l'équation de ce cercle sera dès lors :

(*) Pniaque les sections panllèles ne sont des paraboles égales qne pour les deux paraboloîdes. {*") Puisque sur les denz paraboloîdes (surfaces da dendème ordre formées d'une seule nappe infinie) les sections parallèles et parabolk|aes sont des

Ce cercle élant la base d'un o6oe oblique» dont les coordonnées du sommet seront :

l'équation de ce cône du second ordire sera, dès lors :

Je coupe ce cône par un plan, et pour rendre le problème plus simple, je suppose que le plan sécant soit le plan yz* .

Je fais donc x=^ 0 dans l'équation du cône , et j'aurai pour l'équation de la courbe de section :

«" (K+ y"—»*) +»'.«'!— syV.fx+sjy'»'.* ^j["R'=o

Je cherche les coordonnées du centre de €ette courbe. Je substitue dès lors z + Set^ + ^à la place de z et j^ dans l'équation de cette courbe , et j'aurai :

Le coefficient de z sera : Le coefficient de y sera :

Pour que les termes en x et y disparaissent , il &udra égaler à zéro chacun de ces coefficients , et l'on aura deux équations , d'où Ton tirera :

""-R«— «^ et

a et 6 seront les coordonnées du centre de la courbe (i(e section.

Si nous voulons que les diverses courbes , sections faites par le plan yx dans les divers cônes, aient même centre, nous devrons établir que lesieônes ayant le cercle C pour base, auront pour sommet un point xVy'» 2', variant de position dans Tespace pour chacun de ces cônes, mais variant suivant une loi telle que lé centre des diverses sections soit toujours le même point («, 6) ; il faudra donc poser les deux équations de condition ce = constante et 6 sa constante, ou , en définitive, il faudra' écrire les deux équations de condition :

RV „ RV

A = - ^ .. et B =

Les deux équations

A«" + Ry — AR« a= 0 Bx'* 4. RV — BR' » 0

sont celles de deux cylindres ayant chacun pour base une parabole, le premier ayant ses génératrices parallèles à Taxe des z, et le second ayant ses génératrices parallèles à l'axe des y.

La courbe intersection de ces deux cylindres sera donc le lieu des sommets des divers cônes qui, ayant le cercle C pour base, seront coupés par le plan yz suivant des sections coniques ayant toutes même centre (a, S).

Si Ton suppose que les sommets des cônes sont tous situés sur le plan xzj alors

RV on devra poser y'=0, d'où Ton a : «=0, et on aura toujours : 6= ^ ^^

Alors les sommets des cônes seront tous distribués sur une parabole située sur le plan xz , et ayant son sommet au centre des sections coniques , ce centre ayant pour coordonnées a =3 0 et 6 :=s B > et ayant pour axe infini , l'axe des z 9 et passant, en outre, par les points en lesquels le cercle C est coupé par Taxe des x.

Reprenons les équations des deux cylindres paraboliques :

Aaf' + RV - AR* = 0 Baf* + RV BR* sr 0 on voit de suite que :

Les deux bases (paraboles) se coupent en deux points qui ne sont autres que ceux en lesquels le cercle G est coupé par l'axe des a; ; et si nous cherchons la projection sur le plan yz, de la courbe intersection de ces deux cylindres, nous obtenons pour son équation :

(Ry — AR')B = (RV — BR»)A ou :

yB -- VA » 0 ou y' = g^z'

Ainsi la courbe lieu des sommets des cônes est une courbe plane , et elle est une parabole située dans un jrfan passant par l'axe des x, et ayant pour trace sur le plan yz une droite dont l'équation est :

Ainsi la parabole lieu des sommets des cônes a pour axe infini la droite y'= ^ z ;

elle a son somtnel au point (a, S); et elle passe par les points en lesquels lie cercle C est coupé par Taxe des x. On peut donc énoncer les deux théorèmes suivants :

1"* Êtan\ dontj^ un çerct^ G et ^n dUunètre D dece cercle , cfe^l les eicirétniiés seront tes points d et iV ; ri. par D on mène un plan qt^elçon(iufi R ; si^ (iqns ce pian R on mène par le centre du cercle C une droite B perpendiculaire àD] si fur 6 09 prend un, point arbitraire S ; si dans le plan R on construit ufie parabole P qiifful S^ pow sommet , B pour axe infini ^ et passant par les points d et d' ; ^wl pçinii 4^ la courbe P sera le sommet (F un cône qui , anani le c^rclç C pour ba^e , siera cç4p4 par un plan T passant par le centre du cercle C et perpendiculaire au diat^^j^e D , swvçffit une section conique ayant le point S pour centre.

2* Étant donnée une parabole P, dont on connaît le sommet S et [axe infini B et un pînHi m; si du poin^ m on abaisse une perpendiculaire D sur la droite B, et qu^on la pTfàomge éu^e quantiêé cm' =s on) ( le point 0 étant h pied de la perpendiculaire D sur la droiU B ) ; si à droite et à gauche du sommet et sur la droite B j on prend deux poi!^ts f! et p tels que p'S == pS , les droites m'p' et mp se couperont en un point qui sera situé sur la parabole P.

Ce dernier théorème permettra de construire graphiquement (par points) , une parabole dont on connaîtrait le sommet, Vuxe iufi^nî et un point. Et en effet :

Étant données : 1"* une droite D (Jg. 108) et un point d sur cette droite, et 2'' une droite K perpendiculaire à D , et la coupant en ua point o , et deux points X et t/ situés sur K et à égale distance du point o; on construira la parabole passant par les points ;r et jf , et ayant le point d pour sommet , de la manière suivante.

On prendra une ouverture de compas arbitraire, on la portera sur D à partir du point d, à droite et à gauche de ce point, et Ton aura les points de division i, 2 , 3, 4, et les points de division V, 2", 3', é'.....

Les droites x.i et y A' se couperont en un point m

— X.3 et t/.3' — m" etc

et les points m, m', ni\ .... appartiendront à la p^rabol^ demandée*

Remarquons que les droites x.i et y.l'..... se couperont sous un angle qui ira en augmentant à mesure que tes points de divisions homologues s'éloignent du point d^ et que le plus petit angle sous lequel ces droites puissent se couper est celui fbcmé. pais les. droites «cf ei jfd;

Il me setnblé que cette construction de la parabole eèt préférable à celle employée dans leé ateliers f^otir le tracé du balander d'tiné machine à vapeiilr ; en eflet, la coh^trut^tîon employée est la suivante : oh divise oé^en lin certain nombre de parties égales , et oy en un même nombre de parties aussi égales entre elles ; par les pointé de division situés sur ôy 6h Mène des parallèles â la droite D; par le point X et les points de divisioh situés â(ir D , on mené des droites , tes points

de division sur D étant cotés i, 2, 3, A, à partir du point d, et les points

de division sur oy étant cotés l\ 2\ 3^, A\ à partir du point o, la droite a;.i

et la parallèle pQStônt par i' se coupent en uti point qui appartient k la ()arabole.

On voit de suite que le plus petit angle est ^al à xdo^ c'est-à-dire, égal à la moitié du plus petit augle donné par la conâtructioh que je proposle. .

La Qonstruction nouvelle peut s'appliquer au cercle , à Fellipse et à l'Hyperbole.

Et en effet :

Imaginons un côûe ayant pour base une ellipse E{fig. 107 )} coupons ce cône par un plan parallèle & la génératrice SA, et de manière que son plan passe par le centre o de la courbe E , xyet AB étant les ai^eè dé cette courbé E.

La génératrice SB sera coupée en d par le plan de la parabole P. Prenant deux points 1' et 1 à égale distance du point é , et skués sur od , qui est une droite parallèle à SA , ItB droites x.i et y.V se couperont en un point tn de la parabole P ; dès lors les droites S.l, S. l' couperont la droite AB en tes points 1. et 1/, et les droites a;.l, et ^.1/, se couperont en un point n qui appartiendra k Fellipse E.

Si le point 1/ était en q sur la droite horizontale S^, alors on voit que le point homologue de q serait le point o, car évidemment do i=^ dq.

Lepoint 1/ serait alors à Finfini sur AB , et fe point 1, serait au centre o, et le point If ne sersfit iuPlré que lé point y.

D'après ee qui précède, ht construction sera donc, pour TelIipSe et te Cercle . . celle qui est donnée ci-après.

(Fig. 109). On prendra un point S arbitraire sur fan des axes^ ôh mènera od parallèle à SA , et coupant SB au point d ,

On portera/ à droife et à gauche d J point c/, des divisions égaflés entre elles et arbitraires; on mèriei^a les dt'oites homologues fetfes que S. 1 et S . 1% ((m viendront diviser ki^ droite ABeW des poinfe homologués tels que l,ét 1/, et lés dï^oites homologuée a;. 1 . et y . 1^ , se couperbnt en des points tels que ut.

D'après ce qui précède, la construction* sera donc pour i^hypérbole , celle qui esl indiquée fy. 110 ; en supposant que Ton connaisse lés sommets  et B dé l'hyperbole et deux! points x et y d'une de ses branchés , 2^ étant , d^ailVeurs / pei'pendichlairé k AB. Ainsi :

On prendra surxj/ un point S arbitraire, on mènera les droites SA et SB; par le point 0 on tracera orf parallèle à SB, et à partir du point d on portera à droite et à gauche sUr od des divisions égales et d'une longueur arbitraire, et la construction s'achèvera conome pour l'ellipse.

Remarquons que les constructions que je viens d'exposer peuvent s^exécuter facilement sur le terrain , et qu'ainsi l'on pourra piqueter sur le terrain les divers points d'une ellipse^ou d'un cercle ^ ou d'une branche d'hyperbole, ou d'une parabole par la méthode des alignements.

Remarquons que la méthode adoptée dans les ateliers pour la construction de la parabole, courbe d'égale résistance du balancier, s'applique aussi au tracé d'une ellipse et d'une branche d'hyperbole.

Et en effet :

Imaginons, fig. i07 , le cône dont le sommet est eu S, et qui a pour base l'ellipse E.

Si l'on prend sur oy le point \" tel que Ton ait -^ = j— , la droite i" .m

parallèle à od^ coupe la droite â? . i au point m de la parabole; donc SA étant parallèle à oc/, la droite A . 1" coupera la droite x.i,^ au point n de l'ellipse E.

On voit de suite, sans qu'il soit besoin d'entrer dans de plus longs détails, comment la construction devrait être exécutée pour le tracé de l'hyperbole.

Remarquons : l*" que si Ton suppose une parabole rapportée à des axes obliques et parallèles à un système de diamètres conjugués, l'origine des coordonnées étant sur la courbe, son équation sera toujours delà forme y' = 2pa;9 et que dès lors, tout ce qui précède s'appliquera mot à mot, à la construction d'une parabole ayant une droite D' pour diamètre parallèle à l'axe infini D, et passant par un point (f situé sur D', et p^ir deux points x' et y' situés sur une droite x'y faisant avec D' un angle arbitraire a (cet angle « étant celui que la tangente au point d doit faire avec le diamètre donné D') ; ces deux points x et tf étant d'ailleurs également distants de la droite D\

Et que , dès. lors , aussi, toutes les constructions précédentes s'appliqueront à une ellipse ou à une hyperbole dont on connaîtra un système de diamètres conjugués et un point, au lieu d'en connaitre^les axes et un point.

Enfin remarquons : 2'' que l'on peut déduire de ce qui précède, la construction d'une ellipse ou d'une hyperbole, dont on connaîtrait : i"" un axe et un point (Faxe étant transverse ou sécant pour l'hyperbole) , ou 2'' un diamètre ( le diamètre étant transverse ou sécant pour l'hyperbole) ; et un points et l'angle que la corde passant par le point donné ( et conjuguée du diamètre donné) , fait avec ce même diamètre , sans avoir besoin de recourir à Vanalyne^ comme nous

Tavons fait dans Tarticle précédent, mais seulement à la théorie des projections.

Car : Fig. (i09). On peut supposer que l'axe auf de Tellipsé E, est une corde conjuguée de l'axe AB , et toutes les constructions précédentes ne seront point modifiées.

Et si, ensuite, on projette obliquement tout le système sur un plan quelconque; les parties égales prises sur la droite D à partir du point d , et portées à droite et à gauche de ce point , se projetteront toujours suivant des parties égales entre elles.

Ainsi Tellipse E sera projetée suivant une ellipse E' ; les axes AB et xy (ou Taxe AB et sa corde conjuguée xy)y suivant des diamètres conjugués A'B' et x'y' (ou suivant un diamètre A'B'et une corde conjuguée x'y')\ et si Ton considéré la parabole P (fig. 108) , elle sera projetée suivant une parabole P', dont D' projection de Taxe infini D , sera un diamètre.

On voit de suite que ce que nous venons de dire pour Tellipse E, base du cône , aurait lieu pour une hyperbole qui serait la base du cône, en vertu de ce que Ton peut projeter tout le système de l'espace, représenté par la figure (i08) , sur un plan de direction arbitraire, et parallèlement à une droite de direction aussi arbitraire.

On voit encore , qu'au lieu de prendre pour la construction dés divers points d*une section conique, un point S , situé : l*" sur t'axe , ou 2"" sur le diamètre , ou 3* sur la corde xy (cette corde étant conjuguée : V de l'axe, ou 2* et S'* du diamètre AB) , on peut le prendre partout où l'on voudra sur le plan de la courbe à tracer. Seulement il faut remarquer que lorsque le point S est un des p^Éits x ou y, par lequel la courbe doit passer, la construction graphique est plus simple , parce qu'alors les droites (ou transversales), telles que S . 1 et a; . 1 , se confondent , et qu'alors on a moins de lignes à tracer sur Vépure ou moins de lignes à piqueter sur le terrain.

Nous avons, dans ce qui précède, fait passer la propriété de la parabole sur les autres sections coniques; on peut démontrer directement pour le cercle la propriété qui nous occupe, et par suite, la faire passer sur les autres sections coniques , et en effet (*) :

Prenons une droite AB, traçons sur cette droite comme diamètre un cercle C ; menons une corde xy perpendiculaire à AB, et coupant AB au point o (les points A, B, Xj y, étant sur le cercle G).

Gela posé :

Menons la droite J!;B; et par le point o la droite D perpendiculaire à xB et la

(*) Pour ce qui sait noua ne donnerons point la figure : chacun pourra la faire en lisant le texte

coupant en un point d ; prenons sur la droite D, à droite et à gauche du point d^ deux points p et p tels que pd^ap'tf ; menons les droites ûsp et ssp' coupant AB prolongé y la première en un point q et la deuxième en un point q' ; puis traçons la droite yq' coupant la droite oûq au point m.

Je dis que le point m est un point du cercle C. En effet :

l"" Les angles Bœg' et Byf ' sont égaux ; 2* Les angles qxB et Bxq' sont égaux.

Donc :

y j;B s yflpm -|- «urB et :

Maintenant , pour faire passer cette construction, d'un point m quelconque du cercle , sur la parabole , il suffira d'élever par le point o une perpendiculaire au plan du cercle, et de prendre sur cette verticale un point S tel que l'on ait So=3oa;= la demi-corde ay; puis de regarder ce point S comme le sommet d'un cône oblique ayant le cercle C pour base.

Il est évident que le plan mené par la droite xy et parallèlement à la génératrice SA coupera ce c5ne suivant une parabole , et qu'en achevant les constructions on retrouvera la propriété remarquable au moyen de laquelle nous avons proposé de construire la parabole , etc., etc.

APPLICATION A LA GRAVURE DES MÉDAILLES ET DES BAS-RELIEFS, DES PROJECTIONS ORTHOGONALES DES SECTIONS PARALLÈLES ET ÉQUIDISTANTES , AU MOT EN DES- QUELLES l'on PARVIENT A REPRÉSENTER LES CORPS EN GÉOMÉTRIE DESCRIP- TIVE (*).

Dans les cartes topographiques (à une grande échelle), Ton représente le terrain au moyen de courbes horizontales ou de niveau ; de sorte que Ton trace sur la carte une série de courbes qui sont tes projections sur le plan d'horizon (ou sur le plan de comparaison) des sections &ites dans le terrain par des plans horizontaux et équidistants. Les courbes-projections que Ton trace sur la carte sont identiques aux courbes de niveau du terrain.

Plus les pentes sont rapides, plus les courbes-projections sont rapprochées; plus les pentes sont faibles, plus ces courbes sont éloignées, et comme lorsqu'un corps est éclairé par la lumière , ses faces sont d'autant plus lumineuses qu'elles font des angles plus approchant de l'angle droit avec la direction de la lumière , et oomme aussi , en rapprochant les lignes ou hachures dans un dessin , on détruit la lumière en les parties représentées (ou modelées) par ces lignes ou hachures, on voit que la carte topographique présentera l'aspect d'un terrain éclairé de haut en bas par une lumière diflfose; je dis par une lunière diflbse , parce que, dans ce cas , les ombres portées n'existeront pas.

Cette méthode esc sans contredit la plus parfaite que Ton puisse employer pour représenter un corps avec une grande exactitude. Elle se prête merveilleusement à l'emploi des machines pour te tracé de ces courtiesi-ppojections , par conséquent elle doit être utile pour la représentation ri^vreuse des médailles et des objets que les antiquaires oiK à consulter.

Mais une médaille a trop peu de relie^isur son fond pour que Ton puisse la couper par des plans parallèles au fond. Le nombre de ces pluis ne serait pas assez considérable pour que la médaille fftt suflkamment représentée dans ses détails.

Aussi doit-on la couper par des plans obliques au fond , et projeter les sections orthogonalement sur le fond ou plan delà médaille. Dans ce cas , les plans sécants seront non-seulement parallèles , mais devront encore être équidistants ; car il

(*) Extrait da BaNelîn de l»Sociélé phîtoauiAkiiM, Macs da aa noTeoibre ]Sa3.

faudra que les droite^obtenues sur le fond soient équidistante6 , pour que le fond (le la médaille paraisse, dans le dessin, être pla^n et non ondulé.

Ce sont donc des sections obliques qu'il faudrait projeter sur le fond, et au moyen des courbes ainsi tracées sur le fond , et en supposant le relief de la médaille détruit, on aurait une représentation fidèle de la médaille. Dans ce cas , le dessin paraîtrait être fait en supposant que la médaille était encore éclairée par une lumière difluse dirigée perpendiculairement aux plans des sections ; mais l'on devrait, puisque Ton est dans Tusage d'éclairer les tableaux de gauche à droite, incliner les plans de sections de droite à gauche sur le fond de la médaille. Tout consiste donc à transporter réellement sur une planche de cuivre les courbes que Ton devrait tracer par la pensée sur le plan de la médaille.

L'inclinaison des plans sécants, par rapport au fond de la médaille, devrait être dirigée sous Tangle demi-droit, parce que, connaissant la projection de la 'section faite sous cet angle , il est toujours possible , et par des procédés simples , au moyen de la règle et d'une équerre graduée sur unie de ses arêtes , de trouver la hauteur d'un point de la section au-dessus du fond, et dès lors de comparer entre eux les reliefs des divers points de la médaille. Il est facile d'imaginer un instrument qui donne les projections des sections obliques de la médaille.

Sur une table horizontale, on placera la médaille et une plaque de cuivre ^ la suite ; de sorte que l'on puisse faire avancer la médaille et en même temps la plaque de cuivre, et de la même quantité , au moyen d'une vis horizontale.

On prendra une équerre composée de deux branches parallèles réunies par une traverse (la figure donnera les trois côtés d'un rectangle) ; Tune des branches paraUèles sera pliée à son extrémité sous l'angle de iSS"" ( de sorte que la branche étant verticale , cet appendice sera incliné sous l'angle demi-droit, sur le fond de la médaille) ; l'appendice portera un style dont la pointe-mousse parcourra le relief de la médaille. Cet appendice glisrant sur une table fixe et in* clinéeà 45*, et supposant que tout l'instrument se meut parallèlement à lui-même en restant toujours dans une position verticale.

L'autre branche parallèle portera une pointe ou burin propre à tracer sur la planche de cuivre. Cette pointe pourra librement glisser dans une douille verticale.

On voit que lorsque la pointe-mousse parcourra la courbe-section faite dans la médaille sous l'angle de 45% la pointe à tracer décrira sur le cuivre la projection orthogonale de cette courbe. En avançant la médaille, le cuivre s'avancera d'autant^ et la pointe-mousse parcourra une nouvelle section sur la médaille, dont la projection orthogonale sera aussitôt tracée sur le cuivre par le burin.

Plusieurs tentaiives ont été faites en Amérique, en Angleterre et en France. M. Collas , mécanicien habile, vient d'inventer une machine qui donne des produits admirables pour la pureté et la netteté. J'ignore si les sections sont faites sous l'angle demi-droit. Je pense que cette inclinaison doit être préférée , parce que les antiquaires pourront alors, d'après le dessin même , juger et estimer les reliefs, et qu'alors on pourra , avec raison, dire que ce procédé permet de renfermer tout un médailler dans quelques volumes in-folio.

Je ne connais pas le principe sur lequel repose la machine de M. Collas; j'ai exposé celui qui est rigoureux , et en même temps je ferai remarquer que plusieurs essais en ce genre furent mauvais, parce que les auteurs ignoraient les éléments de la géométrie descriptive. Ainsi , dans le Traité sur le Tour, M. Bergeron indique un procédé pour représenter une médaille au moyen de sections parallèles, et son procédé conduit à une représentation fausse de l'objet. En effet , concevons deux plans perpendiculaires entre eux : l'un horizontal, l'autre vertical. Sur le plan vertical, on place la médaille de manière qu'elle puisse se mouvoir de haut en bas ; sur le plan horizontal , on place la planche de cuivre de manière qu'elle s'avance ou se recule de la même quantité dont la médaille doit s'élever ou s'abaisser.

Un compas ayant des pointes égales en longueur, et étant ouvert sous l'angle droit y se meut parallèlement à lui-même ; l'une des pointes ( la verticale) traçant sur le cuivre, l'autre (celle qui est horizontale) parcourant sur la médaille une courbe dont la section est perpendiculaire au plan du fond de la médaille.

La médaille descend, le cuivre s'avance, et l'instrument trace une nouvelle courbe.

Il est bien évident, que l'on trace sur le cuivre les projections obliques île sections faites dans la médaille et perpendiculairement à son fond ou à son plan ; mais il est bien évident aussi que sa représentation sera inûdèle ; car, deux points, pris sur le dessin , paraîtront plus éloignés entre eux que sur la médaille. Aussi remarque-l-on de suite sur les essais consignés par M. Bergeron, dans son Traité sur le TouTj que les objets représentés sont déformés, les reliefs y paraissent faux. Il est vrai que le profil de la tête, ou ce qui est sur le fond de la médaille, se trouve fidèlement tracé sur le cuivre, mais cela tient à ce que les deux branches du compas sont égales, et que les lignes projetantes sont dès lors inclinées sous l'angle de A^y soit sur le fond de la médaille , soit sur la planche de cuivre; et l'on sait que tout cylindre est coupé suivant des courbes identiques par des plans faisant des angles ^aux (mais en sens contraire) avec ses génératrices. Par conséquent f ce qui est sur le fond même de la médaille sera reproduit fidèlement sur le cuivre , mais le profil seul sera fidèle. Et si les branches du compas étaient iné-

gales, tout serait infidèle dans ie dessin j profil et relief. Je termine cette note en faisant remarquer que la machine de M. Collas doit très-probablement être construite d'après le principe rigoureux que j'ai énoncé ci-dessus, car, en examinant les produits, et les comparant aux médailles , les reliefs ne paraissent pas déformés dans le dessin , mais j'insiste sur la nécessité de diriger les sections sous l'angle de iS"" par rapport au plan de la médaille, pour que ce genre de gravure reçoive toute Tulilité et l'importance qu*il peut et doit obtenir pour les études numismatiques.