III
Lorsque le triangle mm'm" (fig. C , PI. I ) existe , on peut $e demander de chercher \es pôles respectifs des quatre droites D,, D,, Di, D^, par rapport à la section conique, ces droites D,, D,, D,, D^ étant considérées comme des polaires par rapport à cette même section conique.
Pour résoudre la question ainsi posée , nous passerons du plan dans V espace , et ainsi la section conique C étant i"* une ellipse, ou 2* une hyperbole, ou 3* une
(*) Yojres ce qui a été dit à m tnjtt dans le Cours de géométrie descripHte, 2* partie , chapitre VI , pagel(^.
parabole, nous la considérerons comme éiant une section principale d'une surface du second degré 2, laquelle sera, ou l"" un ellipsoïde de révolution ou à trois axes inégaux, ou 2"" un hyperboloîde à une nappe de révolution ou à trois axes inégaux y ou 3"* un paraboloide de révolution ou elliptique.
Les (rois plans perpendiculaires au plan de la section conique G et passant par les côtés du triangle couperont la surface 1 chacun suivant une section conique
Si Ton construit les sections coniques tangentes à ces trois courbes «» 6» 79 elles seront au nombre de huit, divisées en deux groupes de quatre chacun; Tun des groupes sera au-dessus du plan de la courbe G, Tautre groupe sera au-dessous du plan de cette même courbe G; et ces deux groupes seront symétriquement placés en dessus et en dessous du plan de la courbe G et par rapport à ce plan.
En sorte que les huit courbes tangentes aux courbes a, 6, y, se projetteront sur le plan de la courbe G , deux à deux suivant une même section conique^ et l'on obtiendra ainsi quatre sections coniques tangentes aux trois côtés du triangle tracé sur le plan de la courbe G.
Si nous désignons par d et ^ deux sections coniques -tangentes aux coniques a, g, y, ces deux sections coniques 3 et d' étant symétriques par rapport au plan de la courbe G , ces deux sections coniques d et d' seront dès lors égales entre elles ; elles seront superposabies et leurs plans feront des angles égaux avec le plan de la courbe G.
Gela posé :
Les plans des deux courbes i et d' se couperont suivant une droite située sur le plan de la courbe G , et cette droite sera Tune des quatre droites qui unissent trois à trois les sommets des six cônes enveloppant deux à deux les trois coniques a, 6, 7. Désignons cette droite par D,.
Si par la droite D on mène deux plans tangents à ta surface 2, les points de contact seront unis par une droite Q., qui sera \dL polaire réciproque de h droite D,, et celte droite Q, percera le plan de la courbe G en un point 9,, qui sera le pôle de la conique G , la droite D. étant sa polaire ; et de plus , les deux courbes ieii seront sur un cylindre vertical , c'est-à-dire , sur un cylindre dont les génératrices droites seront perpendiculaires au plan de la courbe G , et ce cylindre sera coupé par le pian de la conique G , suivant une conique i, qui aura pour pôle le point 9, et pour polaire la droite D, , et cette conique sera tangente aux trois côtés du triangle tracé sur le plan de la conique G.
Il est facile, en examinant ce qui existe dans V espace y de reconnaître ce qui doit avoir lieu sur lep/an, et aussi de voir que les trois points qy q\ 9" {fig- G,
PI. )sont respective ment en ligne droite avec l'un des sommets du triangle mm m" et Tun des six points de concours; et qu'enfin le point p est Tintersection de trois droites passant respectivement par Tun des sommets du triangle mm'm" et l'un des six points de concours.
Nous reviendrons sur ce sujet dans un des mémoires suivants ^ lorsque nous examinerons les propriétés d'un certain polyèdre à douze sommets et inscrit à une surface du second ordre. Mais déjà if est facile de voir que le problème dont nous venons de nous occuper n'est qu* un cas particulier du problème général : construire les huit sections coniques tangentes à trois coniques tracées sur un plan. ( Ces trois sections coniques étant placées les unes par rapport aux autres de telle manière que le plan sur lequel elles sont tracées , joue par rapport à elles le rôle de surface du second ordre. )
Et en effet, les trois côtés du triangle doivent être considérés comme remplaçant les trois coniques.
(A mettre en note au bas de la page 362 , cette note se rapportant au § VI du n* 3 du chapitre IV ) :
Soit un cercle G auquel on mène une tangente t au point a; d'un point arbitraire m de la tangente t on mène une seconde tangente T touchant le cercle G au
point A; on mène les droites aA et mq^ le point q étant un point fixe ; les droites ak et tnq se coupent en un point p , et Ton demande quel est le Keu des points p obtenus en faisant varier le point m sur la tangente t.
Prenons la droite t pour axe des x et le point a pour origine des coordonnées , Téquation du cercle G sera :
x'+y*- âRtf = 0 (1)
les coordonnées du point m étant y=0 et x=sl ; L'équation d'une droite passant par ce point m sera :
x=n (ir — /)
Pour que cette droite soit tangente au cercle G, il faudra que n soit égal au -/[ tiré de l'équation (1).
— 4«2 On aura donc :
Bt
La tangente T aura donc pour équation :
Pour avoir les coordoooées du point A , il faudra tir«r des équations (l)et (2) les valeurs de « et de y ; et l'on aura pour les coordonnées du point A :
aBV 2Rr
Les coordonnées du point fixe q étant y= 6 et x= a, on aura pour Téquation de la droite mp :
et pour l'équation de la droite oA :
Et en éliminant / (qui particularise la position du point m sur la tangente i) entre les deux équations (3) et (4) , on aura l'équation de la courbe lieu des divers points p.
Cette élimination qui est facile conduit à Téquation :
6a:'+Ry*— aa?y— 6Ry=0 (5)
Ainsi f le lieu des points p est une section conique S.
L'équation (S) nous montre que la courbe S passe par le point a , et que de
, plus elle est tangente au cercle G en ce point a; et en effet, si Ton prend le ^ de
l'équation (5) , on aura :
dy gy-^ ato
5flp~"2Ry— oa? — 6R
qui est nul , lorsqu'on y fait a;=7 0 et y=0 , qui sont les valeurs des coordonnées du point a.
De plus , l'équation (5) montre que ta courbe S passe par le point fixe q, car
— Afiâ —
Içs coordoaoées x=: a ei y=^€ de ce point q, satisfont, à cette équation ; on voit encore que la section conique S coupe i'ax^ deB y eix up point a qqi est distant du pointa de la quantité 6, car si dans l'équation (5) on fait x=0» on trouve y=0 , et y = 6. Ainsi le point n et le point fixe q sont sur une parallèle à Taxe des X ou à la tangente i au point a.
La courbé S sera une parabole lorsque Ton aura : a' — 46R= 0,
Et elle sera une ellipse ou une hyperbole lorsque Ton aura : «' — 46R -^^
Mais il ne serait pas sans intérêt de savoir quelle doit être le lieu du poin q pour que la courbe S soit une parabole. Or, si l'on remarque que a et 6 sont les coordonnées du point 9; et si l'on désigne par D le diamètre du cercle G, on voit de suite que l'équation a'=:2D6 est précisément l'équation de la courbe Q, sur laquelle le point fixe q peut être placé , pour que la courbe S soit toujours une parabole. Ainsi , la courbe 0 est wo parabole aiyant son soi^met 9u point a, ou à l'origine des coordonnées et ayant Taxe des y pour axe infini; suivant que le point fixe q sera placé en dedans ou en dehors de cette parabole Q , la courbe S sera une ellipse ou une hyperbole.
Ayant détern^iné la nature géométrique de la courbe S, s^u moyen de C analyse , dans le cas où la courbe C est un cerçl^ , on pe^t dét;#rmiqei: facilement et au moyen de la géométrie descriptive la nature de la courbe S\ dans le cas où la courbe C sera une section conique C (ellipse, parabole ou hyperbole ).
Et en effet :
Prenons dans l'espace un point s comme sommet d*un cône ayant le cercle C pour base, nous pourrons , par ce sommet a et chacune des lignes droites de la fig. E , Pi. XXX , feire passer un plan P; nous aurons donc de»x cènes du second degré savoir :'(«, G)et («, S), et une série de pians; nous pourrons couper tout le système par un plan oblique quelconque X , lequel coupera le cône («, G) suivant nue section conique G', et le cône (s , S) suivant une section coniqua S', ei chacun des plans P suivant une droite. Les ^lans tangents au cône (9, G) étant coupés par le plan de la courbe G suivant des tangentes l" et T' à la courbe G, seront coupés par le plan X suivant des tangentes l' et T' à la courbe G', et dès lors il est évident que le lieu S', pour la section conique G', sera encore une section conique. ' Ce qui précède nous montre que presque toujours on devra d'abord résoudre au moyen de C analyse les problèmes sur le cercle, pour ensuite , au moyen de la géométrie descriptive , les généraliser p<»ur une section conique , et cela parce que
l'équation du cercle est plus facile à manier que celle qui représente une section conique quelconque et que dès lors les calculs à efTectuer sont moins longs et plus simples.
On peut se demander si pour une position particulière du point ûxe q le cercle G ne serait pas osculateur au point a à la section conique S.
Pour résoudre cette question, calculons le rayon de courbure p, en mettant
dans l'expression analytique p = — les valeurs de -^ et ~- tirées
de l'équation (5) , et dans lesquelles on aura fait a; ;= 0 , et y = 0.
Il est évident que -^ = 0 pour ^ = 0, et y=0, et Ton trouve que pour les
mêmes coordonnées x=:0', et y?=0, et ainsi pour le point a, -^^^ ^•
Dès lors : p = — .
Par conséquent , la valeur de p étant indépendante des coordonnées a et 6 du point fixe f , on doit en conclure que dans aucun cas le cercle G ne sera osculateur au point a à la section conique S, et que dans tous les cas le rayon du cercle G sera le double du rayon de courbure de la section conique S pour le point a.
S IV
Proposons-nous de déterminer la position que doit occuper le point fixe 9, pour que la section conique S ait l'un de ses axes dirigé suivant Taxe des y, l'autre axe étant dès lors parallèle à Taxe des a:, ou, en d'autres termes , pour que le point a soit un sommet de cette section conique S.
L'équation générale des sections coniques ayant le point a pour sommet est :
a:' + Ay« + By = 0 (6)
Il faudra donc identifier cette équation (6) et terme à terme , avec l'équation (5)» après avoir préalablement divisé tous les termes de l'équation (5) par le coefficient de x' ; et ainsi on aura :
x" + jy'—^ — Ky = o (7)
Oo devra donc poser les équations de conditions suivantes :
La deuxième équation donnant a = 0, on voit que le point fixe q doit être sur Taxe des y.
L'équation (7) deviendra donc :
Cette équation (8) sera celle de la section conique S. demandée et ayant le point a pour l'un de ses sommets.
Si dans cette équation (8) on fait a;= 0 , on trouve i/= 0 et t/ =6. Ce qui nous apprend que le point ûxe q sera, dans ce cas, placé au sommet de la section conique S, qui est opposé au sommet a.
Ce qui a été dit dans les paragraphes II et III , précédents y nous conduit à une construction graphique fort simple du rayon de courbure au sommet d'une section conique.
Et en effet :
^y^^^ ifiÇ' ^ ^<^ ) une ellipse S, dont les sommets sont en a et 9, dont le centre est en s, les points p et p' étant les deux autres sommets de la courbe S , il faudra mener la droite qp coupant en m L'axe des x, ou, en d'autres termes, coupant en m la tangente t au sommet a de la courbe S.. Cela fait :
Du point m corhme centre avec ma pour rayon on décrira un arc de cercle coupant la corde ak en un point A , et l'on mènera par le point A uQe droite perpendiculaire à la droite mX, et qui coupera l'axe des y ou l'axe aq de la courbe S, en un point o qui sera le centre du cercle C ayant oA=:oa pour rayon. Et le point o' milieu de ao sera le centre de courbure de la courbe S, pour le sommet a, ou , en d'autres termes , son rayon de courbure sera égal à oo'.
Si la courbe S, est une parabole , alors on aura 6=^; , et la droite pq sera parailèle à l'axe des y, tout en passant par le point p. La construction est indiiquëe (fig. E ier).
