VIII

On pourrait se demander si étant donnée une sectioii ooniqoe S. , on ne pour* rait pas trouver une construction simple de son rayon de «oMirbure pour un

point quelconque et qui fût analogue à celle que nous avons donnée {jig. E bis et ter) pour déterminer le rayon de courbure en Tun de ses sommets.

Et en effet, cela est possible, car si on donne {jig. F) une section conique S., et en un de ses points a, la tangente ax^ et par suite la normale ay, cette normale percera la courbe S. en un point n, et si l'on mène par le point n une parallèle à la tangente ax^ elle coupera la courbe S, en un ^oint 7, qui sera le point fixe.

Si donc par un point quelconque p de la courbe S. on mène la droite pq , elle ira couper la tangente ax au point m , et si du point m comme centre, et avec am

pour rayon, oti décrit un arc de cercle , il coupera la droite ap en un point A, et la droite om^ perpendiculaire sur aÂ, déterminera sur la normale ay le point o qui sera le centre du cercle G, qui reproduira la courbe S, au moyen des constructions employées dans la fig. E.

Le centre de courbure de la courbure S, pour le point a sera donc, en 0 milieu de oa, et m sera le rayon de courbure p de cette section conique donnée S, , •et pour ce même pointa pris arbitrairement sur cette courbe S..

§ IX

Ce que nous avons dit § I sur la parabole Q ayant pour équation : a' =4R6, et ce que nous avons dit même § I , savoir : que la conique S coupait la normale ay en un point n tel que Ton avait toujours a7t=6, nous permet d'énoncer le théorème suivant :

Si Ton a une parabole Q (dont on désignera le sommet par a et Taxe infini par Y), si Ton prend un point q arbitraire sur la courbe Q et que Ton abaisse de ce point q une perpendiculaire sur Taxe Y et le coupant en un point n, on pourra toujours construire une parabole S , et Ton n'en pourra construire qu'une seule passant par les deux points n et 9 et tangente en a à la parabole Q.

En faisant varier ta position du point q sur la conique Q , on (^tiendra , par des constructions analogues à la précédente^ une suite de paraboles S, S', S"... ayant un point commun a et ayant entre elles et en ce point a une osculation du second ordre.

L'équation de la courbe Qé tant a;* = 4Ry, le rayon de courbure de cette conique Q sera pour son sommet a égal à : 2R et le rayon de courbure pour le même

point a des diverses paraboles S, S', S", sera égal à : -•