ITO

On a deux courbes X et X' planes et situées dans un même plan (la courbe X' étant intérieure à la courbe X) , telles que si l'o» mène une sécante quelconque , les parties interceptées entre ces deux courbes seront égales entre elles.

Il est évident que d'après Ténoncé delà propriété dont jouissent par hypothèse les deux courbes données X et X', elles jouissent forcément de la propriété suivante :

Si Ton mène à la courbe intérieure X' une tangente quelconque , le point de contact sera le milieu de la corde interceptée sur cette tangente par la courbe X,

Mais si deux courbes X et X' jouissent de la propriété que nous venons d'énoncer en dernier lieu, il n'est pas évident qu'elles jouissent de la propriété énoncée tout d'abord, savoir : qu'une sécante quelconque aura ses parties interceptées entre les deux courbes données égales entre elles. Gela posé :

Je dis que deux courbes X et X' qui jouissent de la propriété, savoir : qu'une sécante quelconque a ses parties, interceptées par ces deux courbes , ^les entre elles, ne sont autres que deux sections coniques concentriques, semblables et semblablement placées.

Pour le démontrer, rappelons-nous que deux sections coniques concentriques, semblables et semblablement , placées , jouissent précisément de la propriété énoncée (*).

Gela posé :

Par un point b' de la courbe intérieure X! (fig* H, PI. XXX) , menons une sécante quelconque A.

Par ce même point b' et un point/ arbitrairement choisi sur le plan des courbes X et X', menons la sécante B.

La sécante A coupera la courbe X aux points 6 et a, et elle coupera la courbe X' en un second point a'.

La sécante B coupera la courbe X aux points 9 et n , et elle coupera la courbe X' en un second point n.

Gela posé :

(*) Voyei U deuxième partie du Cimrê de géométrie descriptive , chapitre VI , page 114.

MenoDs par le point g une droite A' {araUéle à la droite  , cette sécante À' coupera la courbe X en un second point m , et elle coupera la courbe X' en les deux points d! et tn.

Par le point d' et le point /, qui est le point fixe arbitraire, menons une droite ' B', cette droite B' coupera la courbe X aux points d et e , et elle coupera la courbe X' en un second point e\ Cela posé :

On sait que par 5 points on peut Faire passer une section conique et qu'on n'en peut faire passer qu'une; il passera donc une section conique E parles 5 points 69 9, (/, a, n. Il passera donc une section conique E' par les 5 points 6\ (tj m', a! j e' .

Si les deax sections coniques E et E' étaient concentriques, semblables et semfalaMement placées , la courbe E passerait forcément par les 7 points b, g^d^mj a, itj e] et la courbe E' passerait /orc^menl par les 6 points b' y Jj m\ a y n\ e\ et cela aurait lieu parce que par hypothèse on a :

gdlzsinim^ gVsszn'fiy dd' = ee' Cela posé :

Si par le point fixe et arbitraire/ on fait passer une nouvelle sécante B^^ laquelle

coupera la courbe X aux points 9 et p et la courbe X' aux points q' et p'^ on a ^

par hypothèse :

On pourra faire passer une section conique E. par les 5 points 6, g^p^ Uy n] On pourra aussi faire passer une section conique E/ par les 5 points 6', (/',p', a', <7^ Si les deux courbes E. et E/ étaient concentriques , semblables et semblabtement placées, la courbe E, passerait^rc^ment par les 7 points 6, g^p^ a, n^ '^i»?; et la courbe E/ passerait aussi /orcémen^ par les 6 points b', p\ m'y a^ q\ n. Les deux courbes E etE. auraient donc 5 points communs, savoir : byg^Uy n, m. Les deux courbes E' et E', auraient seulement 4 points communs , savoir : b\ %n\ a\ ni ; dès lors les deux sections coniques E et E^ ne forment qu'une seule et même courbe , et il en sera de même des deux sections coniques E' et E'„ puisque par hypothèse, ayant supposé que les courbes E' et E\ étaient respectivement concentriques, semblables et semblablement placées avec les courbes E et E, , lesquelles ne forment plus qu'une seule et même courbe E, les deux courbes E' et E'. ayant 4 points communs et étant concentriques, semblables et semblablement placées par rapport à une section conique E , doivent forcément se superposer, et ne former qu'une seule section conique E'.

La section conique E aura donc en commun avec la courbe X les 9 points 6, 9, c/, p, m, a, n, e, q.

Et la section conique E' aura donc en commun avec la courbe X' les 8 points b\ d', p', m\ a\ n', e\ q'.

Cela posé :

Par le même point fixe et arbitraire/, nous pourrons mener une sécante B'"' autre que B", celte droite B"'. coupera la courbe X en les points f>, et q, et la courbe X' en les points p\ et q\ , et en vertu de la propriété dont jouissent par hypothèse tes deux courbes données X et X", on aura :

PA' = m'

Il suffira de remplacer les points p, p\ q^ q' par les points p,y p/, q,^ 9/, dans ce qui a été dit précédemment, et Ton voit de suite que les deux sections coniques E et E' passeront, la première par tous les points de la courbe X, et la seconde par tous les points de la courbe X', en supposant que ces deux sections coniques E et E' soient concentriques et semblables.

CequeTonafait en employant deux sécantes A et A' parallèles entre elles et à une direction K , et en employant une série de sécantes divergeant d'un point fixe /, pourra être fait en employant deux sécantes A, el A', parallèles entre elles et à une autre direction K,, et en employant une série de sécantes divergeant d'un autre point fixe / ; et Ton trouvera toujours le même résultat , savoir : que les deux courbes données X et X', en vertu de la propriété dont elles jouissent , se superposent respectivement avec deux sections coniques £ et E', si ces deux sections coniques E et E' sont concentriques et semblables.

De ce qui précède , on est donc en droit de conclure que les deux courbes données X et X' ne sont autres que deux sections coniques concentriques el semblables , en vertu de la propriété dont elles jouissent , savoir : qu'une sécante quelconque a ses parties, interceptées par ces deux courbes, égales entre elles.