CHAPITRE PREMIER
PeOPRIÉTÉS POLAfllBS.
Mémoire ft 1.
Sur lu propriétés polaires de deux courbes du second degré considérées daiM Vtspaee.
§ I. 1. Étant données deux courbes planes «' et a" du deuxième degré et servant de bases à deux cônes C et C" du deuxième degré, ayant leurs sommets respectifs aux points c' et e^' ; étant de plus donné un cône G ayant son sommet c k une distance finie ou infinie et passant par les deux sections coniques a et a", si les trois points c, c', &' sont sur une même droite D , d'ailleurs arbitraire de direction , les deux cônes C et C se couperont toujours suivant une courbe formée de deux branches planes
2. Par une courbe plane « du second degré et trois points a , a\ a" situés arbitrairement dans Tespace et déterminant un plan autre que celui de la courbe « , on peut toxgours faire passer deux surfaces coniques , et l'o* n*en peut faire passer que deux
3. Étant données , sur une surface du second ordre z, deux courbes planes «' et «", on pourra toujours envelopper ces deux courbes par deux surfaces coniques
4. Si Ton a deux courbes planes (du second degré ) « et «' situées sur un cône C, ayant pour sommet un point e , il existe toujours un second cône S qui enveloppe à la fois ces deux courbes
Théorème, Deux cônes qui ont deux plans tangents communs se coupent toujours suivant deux courbes planes ; mais deux cônes qui se coupent suivant deux courbes planes , n'ont pas toujours deux plans tangents communs
5. Rar deux courbes du second degré, situées arbitrairement dans l'espace, on ne peut pas toujours faire passer deux surfaces coniques ; mais cela est toujours possible , si ces deux courbes se coupent en deux points, ou, en d'autres termes , ont une corde commune ; et il n'existe qu'un cône, si les deux courbes ont un seul point commun et une même tangente en ce point ,
6. Lorsque trois courbes du second degré « , «", «'" ont deux a deox nne corde commune , elles ne peuvent pas toujours être enveloppées par une même surface du second degré. 4
Théùrème. On peut toujours faire passer une surface du second degré par trois courbes du second degré enveloppées deux à deux par trois surfaces coniques ayant leurs sommets en ligne droite 4
Déduire des propriétés qui existent dans Tespace pour, deux sections planes d'un c6ne du second degré, les propriétés qui existent pour deux sections coniques tracées sur un plan. 5*7 § II. Quelles sont les droites de Tespace qui correspondent aux droites dites polaires eommunei
de deux sections coniques tracées sur un même plan 7-11
De ce qui a été dit § II , on déduit deux théorèmes sur les transversales situées dans un plan
Jk
Mémoln N* 9.
Problème. Conêtruire les huit courbes planes tangentes à trois sections coniques situées sur une surface du second degré t*
§ 1. I. Trois circonférences quelconques de grands ou de petits cercles étant tracées sur une
sphère , trouver une quatrième circonférence taugente aux (rois premières 12
II. Le problème se résoud de la même manière pour une surface du second ordre. ... 13
§11. Théorème ( il est énoncé , ici , tel qu'il le doit être en ayant égard à la correction faite dans Verrata ) :
Étant donnés une section conique et un triangle , les côtés prolongés du triangle coupent chacun la section conique en deux points. On aura donc six points : chaque sommet du. triangle sera le point en lequel se croiseront les diagonales du quadrilatère dont les sommets sont les points en lesquels la section conique est coupée par les côtés prolongés du triangle qui passent par le sommet considéré. On aura donc trois quadrilatères dont les côtés prolongés donneront six points de concours, qui seront distribués trois à trois sur quatre droites 14
§111. rofftfjE les additions n* 1 459
Mémoire N* 8
Sur les propriétés polaires de trois courbes planes situées sur une surface du second
ordre 14
Théorème. L'espace parcouru par un pl«n qui se meut tangentioUement à une surface du second ordre 2 , et qui passe toujours par un point fixe p, a pour enveloppe une surface conique dont le sommet est le point fixe|9, et dont la courbe de contact avec la surface 2 , est une courbe plane. . 16
Théorème inverse. Si Ton fait mouvoir un plan tangentiellement à une surface du second degré Z , de manière à ce que le point de contact soit , en chaque position du plan tangent , PuQ des points d'une section conique ou plane de cette surface 2, l'enveloppe parcourue par ce plan sera une surface conique . 17
Théorème. Si l'on a n sections planes faites dans une surface du second ordre par n plans passant tons par une même droite , ces n sections pourront être envdoppées deux à deux par 7n cônes dont les sommets seront tous distribués sur une même droite 18
Théorème. Si par une droite L» arbitrairement située par rapport à une surface du second ordre 2 , l'on mène deux plans tangents à cette surface , la droite/" e''^, qui unira les deux
Mémoire H* 5.
Pa|M.
points de oontaot , joaira avec la droite L'» de la propriété suivante , savoir : l'one de ces deux droites contenant les sommets des cônes tangents à' la surface 2 , les plans des courbes de contact passeront par l'autre droite 18
Théorème» Lorsque n droites se coupent en un point p et sont d^ailleurs disposées d^une manière arbitraire par rapport à une surface du second ordre Z , leurs n polaires réciproques sont situées sur un plan unique P, qui est plan polaire de la surface .2 par rapport an pditf p 19
Théorème. Si Ton a deux courbes du second degré G' et C'\ situées sur une surface du
second ordre Z, les sommets p' et p'' des deux cônes tangents à la surface 2 , l'un suivant
O et l'autre suivant G", sont situés sur la droite /" e'» , polaire réciproque de la droite L'" ,
intersection des deux plans P' et P'' qui sont les plans des courbes G' et G" ; et les deux
. cônes p' et p" ( désignant le cône par son sommet ) se couperont suivant deux courbes du
second degré, dont les plans passeront l'un et l'autre par la droite L'" 20
Des plans polaires conjugués ou réciproques 20
MAOlOlM N*" 4.
Sur les propriétés polaires qui existent entre les huit courbes planes tangentes à trois seetiom planes d'une surf ace du second ordre 21
§ 1. Théorème. Les huit courbes planes tangentes à trois sections planes G', G", G'" d'une surface du second ordre 1 , peuvent être enveloppées deux à deux par huit cônes , dont quatre ont pour sommet commun le point p , intersection des plans des trois sections planes; et les quatre sommets des quatre autres cônes sont les intersections du plan polaire P de la surface z ayant le point p pour pôle , et des quatre polaires réciprocités R, R', R", R'" des quatredroitesE, E\ E'', £'" qui unissent trois à trois les sommets des six cônes enveloppant deux a deux les trois sections planes G', G'', C' 26
Théorème, Tout cône qui ayant pour base l'une des trois courbes G\ C\ G"', et pour sommet un point situé sur la droite E, ou sur la droite l\ ou sur la droite I", ou sur la droite 1"', coupera la surface s suivant une courbe plane dont le plan passera par le point pf et ce plan sera tangent , ou à la courbe «% ou à la courbe C , ou a la courbe /*. . 26
§ IL En projetant tout le système de l'espace sur un plan on trouve la solution du problème suivant : construire les huit sections coniques tangentes à trois sections coniques tracées sur un plan
Sur les propriétés polaires qui existent entre les trois sections planes d'une surface du second ordres en vertu des relations de position toutes particulières, qui peuvent exister entre ces trois eections 51
11 peut exister entre les trois sections planes G', G", G'" d'une surface du second ordre 2,
treize relations de position 31
Discussion y relative 32
Théorème, Par deux sections planes G' et G" d'une surface du second ordre 2 , on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre, qui auront toutes leurs centres situés sur un plan unique, lequel passera par la droite qui unit les sommets des deux cônes enveloppant deux à deux les courbes données G' et G" 33
Théorème. Par deux sections parallèles G* et C" d'une surface du second ordre 2 ( les-
quelles sections sont alors deux courbes semblables et semblablement placées) , Ton peut faire passer une infinité de surCaces du seoond ordre qui auront tontes leurs centres situés sur une droite unique , qui ne sera autre que celle qui unit les sommets des deux cônes euTcloppant deux à deux les coniqpies données G' et C 34
Théorème. Beux surfaces do seoond ordre ont toujours pour ligne de contact une courbe plane 36
Théorème. Par une section plane G d^une surface du second ordre 2 on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre , tangentes entre elles et à la surface z snirant cette courbe G * 36
Mémoire N"* s.
Problème! Étant données troii droites Â, B, G «tir un plan , Von demande le lieu des p6c.es des divers cercles tangents à la droite B, ayant leurs centres sur la droite A , et ayant la droite G pour polaire commune 37
Mémoire IT 7.
Sur les propriétés des hyperboles et des paraboles considérées comme étant le lieu des pâles d^uH cercle mobile et variable de rayon , assujetti à passer par un point fixe et dont le centre se meui en ligne droite 40
Problème. Construire une hyperbole ayant pour asymptote une droite CD y et passant de plus par un point p' situé dans Pangle AG'D, ou par un point p^ situé dans Tangle opposé par le sommet A'G'D' 41-
Problème. Gonstruire une hyperbole passant par deux points p et p' «itués du même côté, oup etp^ situés de côtés différents par rapport à la droite donnée A, ayant pour tangente en un point o cette même droite A. , et ayant pour asymptote une droite perpendiculaire à la droite A 41
Problème, Gonstruire une hyperbole ayant pour tangente en un point o une droite donnée A, ayant pour asymptote une droite donnée G'D perpendiculaire à la droite A, et dont les asymptotes comprennent entre elles un angle donné a plus petit qu'un angle droit ; . . 41
. Problème. Gonstruire une hyperbole assujettie à passer par un point p', ayant pour tangente en un point o une droite A donnée de position , ayant pour l'une de ses asymptotes une perpendiculaire à la droite A » et dont les asymptotes comprennent entre elles un angle donné «plus petit qu'un angle droit 41
^ Des problèmes et théorèmes plans cm passe à diTers problèmes et théorèmes de Yespoûe: • 47
Mémoire iT 8.
Sur les propriétés polaires de divers polyèdres « 49
Mémoiro ft Sw
Énoncés de divers théorèmes sur les polaires, r . . . . 5S
Mémoire N"" 10.
Pafct.
PnoBLÉMBs. 1* Étamt dannét 9 potiifi, cofMlmtre un I0« p^ni de la surface du second ordre déierminée par les 9 poinU donnés; 2<' étant donnés 9 plans, construire un 10* plan tangent à la surface du second ordre ^ qui a les 9 plans donnés pour plans tangents €<
